精品解析：天津市第二十一中学2025-2026学年上学期第二次月考八年级数学试卷

天津市第二十一中学2025-2026学年度第一学期学案 八年级数学 一、选择题 1. “生于中国，影响世界”，下面是我国四家企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和不全等的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都不全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】解∶由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选∶A． 3. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法计算即可． 【详解】A． ，故本选项错误； B． ，故本选项错误； C． ，故本选项正确； D． ，故本选项错误． 故选C． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法是解决此题的关键． 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用指数运算性质，将已知条件转化为以9为底的幂，然后代入所求表达式求解． 【详解】解： 故选：A． 6. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是整式的乘法，则此项不符合题意； B、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，则此项符合题意； C、是整式的乘法，则此项不符合题意； D、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题关键，注意因式分解与整式乘法的区别． 7. 已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值为( ) A. 53 B. 45 C. 47 D. 51 【答案】A 【解析】 【详解】因为(x－y)2= x2-2xy＋y2=49，所以x2＋y2=49+2xy=49+2×2=53，故选A. 8. 计算 的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是关键．利用积的乘方的逆用将灵活运用即可． 【详解】解： 故选：B． 9. 如图，在中，，作的角平分线和作于，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，故不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线，是的平分线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：，，不符合题意，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 10. 下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 11. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，由等边三角形的性质可得，，，即得，作点关于的对称点，连接交于，则，可得，即得的最小值即为线段的长，再证明是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是中线， ∵，，， ∵， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接交于，则， ∴ 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 12. 已知，，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 二、填空题 13. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：因为， 所以根据零指数幂的定义，得． 故答案为：1． 14. 将一个含角的三角尺和直尺按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，三角板的角度计算等知识点，熟练掌握对顶角相等是解决此题的关键．由对顶角的性质得到，，再求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知代数式与的积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解： 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 16. 如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为______． 【答案】92 【解析】 【分析】根据已知条件证明，可得，再根据，可得，然后证明是等边三角形，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：92． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 17. 若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【答案】9或12或21 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 18. 观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算：________． 【答案】1023 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据给定的等式规律得出，从而可得，本题中 ，，代入公式计算，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：根据给定的等式规律，， ∴， ∴， 故答案为：1023． 三、解答题（解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法、多项式的乘法、单项式乘多项式运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，同底数幂的乘法计算即可； （2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式展开合并计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是解题的关键． （1）提取公因式后用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 21. 已知：点与点关于y轴对称，请化简：．并求出该代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查点关于轴对称的特点“关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变”，解二元一次方程组，整式的化简求值的综合运用，掌握点关于轴对称的特点，解二元一次方程组，整式的混合运算法则是解题的关键． 根据点关于y轴的对称的特点，解二元一次方程组的方法解求出的值，再根据整式的混合运算化简，最后代入求值即可． 【详解】解：点与点关于y轴对称， ∴， 解得：， ∵ ， 当时，原式． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，． （1）求证：为线段的中点． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形， ， 是的中点， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分，得出，根据已知，得出，根据等腰三角形的性质即可得证； （2）设，得出，根据，以及三角形内角和定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设； ， ， ， ， ， 在三角形中，， 解得， ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为，当时，，其中分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码192021． （1）根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后形成的数字密码是________． （2）已知多项式，当分别取正整数时，用题目所示方法生成密码，若密码的前两个因式码为，求第三个因式码． （3）将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，求的值． 【答案】（1） （2）125 （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）由题干方法对其分解因式后代入数值计算即可； （2）把因式分解得到，根据题意得到关于的方程组，解方程组即可得到的值，即可得到第三个因式码； （3）依题意，x的最高次项系数为1，因为时，密码为，所以，所以 ，求出的值，问题即可解决． 【小问1详解】 解： 当时， 可得到数字密码是， 故答案为： 【小问2详解】 ∵分别取正整数， ∴， ∵密码的前两个因式码为， ∴ 解得 ∴， 即第三个因式码为． 【小问3详解】 当时，密码为，且的系数是 即 答：． 24. 如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． （1）的长度为_______； （2）求的度数； （3）当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 是等边三角形，理由如下： ∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同理可得：是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由折叠的性质可得，，结合题意求出，即可得出结果； （3）由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，同理可得是等边三角形，得出，，求出，结合题意得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：略． 25. 如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． （1）分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； （2）如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； （3）分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； 【小问3详解】 解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第二十一中学2025-2026学年度第一学期学案 八年级数学 一、选择题 1. “生于中国，影响世界”，下面是我国四家企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和不全等的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都不全等 3. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4 6. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值为( ) A. 53 B. 45 C. 47 D. 51 8. 计算 的结果为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，作的角平分线和作于，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A. B. C. D. 10. 下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2025 D. 二、填空题 13. 计算：________． 14. 将一个含角的三角尺和直尺按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 15. 已知代数式与的积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为________． 16. 如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为______． 17. 若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 18. 观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算：________． 三、解答题（解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）； （2） 20. 因式分解： （1）； （2） 21. 已知：点与点关于y轴对称，请化简：．并求出该代数式的值． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，． （1）求证：为线段的中点． （2）若，求的度数． 23. 在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为，当时，，其中分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码192021． （1）根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后形成的数字密码是________． （2）已知多项式，当分别取正整数时，用题目所示方法生成密码，若密码的前两个因式码为，求第三个因式码． （3）将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，求的值． 24. 如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． （1）的长度为_______； （2）求的度数； （3）当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 25. 如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． （1）分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； （2）如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； （3）分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $