精品解析：江西省赣州市赣县区白鹭中学2025-2026学年上学期九年级12月阶段评估数学试题

江西省2026届九年级第三次阶段适应性评估 数学上册全部 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列诗句所描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 床前明月光 3. 如图，与分别相切于点，则的长为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知二次函数，当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 9. 如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 10. 点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 11. 如图，正五边形的边长为1，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点的长为___________． 12. 已知抛物线，是抛物线上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，，，，，内切于，切点分别为，，，设内切圆半径为，求的值． 14. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） （2）若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 15. 中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 16. 江西省城市足球超级联赛（简称赣超联赛）进入第二阶段的八强赛，第十一轮对阵情况分别是九江VS新余，抚州VS上饶，景德镇VS宜春，南昌VS赣州，甲和乙都是资深球迷，通过网上预约购票，各自选择去现场观看其中一场球赛，且每场比赛被选到的可能性相等． （1）甲从这四场球赛中选到“南昌VS赣州”的概率是________． （2）用画树状图或列表的方法，求甲和乙选择观看同一场球赛的概率． 17. 如图，等边三角形内接于圆，，分别是，的中点，，的延长线相交于点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出圆的圆心． （2）在图2中的线段上找一点，连接并延长，使与圆相切． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 19. 将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． （1）请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． （2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 20. 如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． （1）请判断与的位置关系，并说明理由． （2）连接，为上一点，且满足，求证：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 项目学习 项目主题：金丝琥珀蜜枣的最优销售单价 项目背景：金丝琥珀蜜枣是安徽省歙县特产，以当地马枣为原料，经八道传统工序制成．某校学习小组以探究“金丝琥珀蜜枣的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究歙县某特产超市金丝琥珀蜜枣销售总利润与销售单价的关系．研究步骤： ①学习小组通过咨询该特产超市了解到购进金丝琥珀蜜枣的成本价为40元/千克． ②该特产超市在试营业期间，不断调整销售单价，并对金丝琥珀蜜枣的销售量进行统计（不考虑其他因素，本题默认为散装销售）． ③数据分析，得出结论． 收集数据： 金丝琥珀蜜枣销售价/（元/千克） ．．． 50 55 60 65 70 ．．． 每月销售数量/千克 ．．． 500 450 400 350 300 ．．． 问题解决： （1）根据表中信息，金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为___________． （2）现计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （3）通过计算说明金丝琥珀蜜枣的销售单价定为多少时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润（单位：元）最大，并求出最大利润． 22. 如图，在矩形中，，点在上，且，点为的外心． （1）求点到的距离． （2）如图2，在下方取一点，连接，若，且，求证：平分． （3）如图3，点，分别为，上的动点，连接，，，求四边形周长的最小值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． 特例感知 如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）的形状是________． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究 （3）如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段，和的数量关系． 拓展应用 （4）如图3，在四边形中，，是对角线，若，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026届九年级第三次阶段适应性评估 数学上册全部 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 2. 下列诗句所描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 床前明月光 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．判断诗句描述的事件是否可能发生，不可能事件指一定不会发生的事件． 【详解】解：A. 黄河入海流为自然现象，是必然事件； B. 锄禾日当午为农业活动，是随机事件； C. 手可摘星辰，星辰遥远无法触及，不可能发生； D. 床前明月光为自然现象，是随机事件． ∴ 不可能事件是C． 故选：C． 3. 如图，与分别相切于点，则的长为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理可得，结合，可得为等边三角形，据此即可求得的长． 【详解】解：∵与分别相切于点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选：A． 4. 一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形和长方形的面积公式求出阴影部分的面积与总面积，再根据概率公式即可得到结论． 【详解】解：∵阴影区域的面积为×4×1+×2×2＝4，长方形的面积为4×3＝12， ∴飞镖落在阴影区域的概率是＝， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据三角形面积公式和长方形面积公式求出阴影部分的面积与总面积的比． 5. 如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，进而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴该铜镜的直径为． 故选：B． 6. 已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知二次函数，当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案。 【详解】解：∵二次函数， ， ∴二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 9. 如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 【答案】M 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 10. 点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 11. 如图，正五边形的边长为1，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和问题，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，先证明是等边三角形，推出，根据正五边形的内角和，求得，从而得到，最后通过弧长公式计算出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正五边形的边长为1， ∴， ∵分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知抛物线，是抛物线上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用问题，切线的性质，由与轴相切，可得点P到x轴的距离等于半径2，即点P的纵坐标为2或，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：∵与x轴相切，且半径为2， ∴点P到x轴的距离为2，即， ∴或． 当时， ， 解得，， ∴点P坐标为或． 当时， ， 解得， ∴点P坐标为． 综上所述：点的坐标为或或； 故答案为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，，，，，内切于，切点分别为，，，设内切圆半径为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的内切圆，正方形的判定及性质，切线长定理等；掌握一元二次方程的解法，三角形的内切圆的有关知识是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）连接，，由正方形的判定及性质，由切线长定理得，，即可求解． 【详解】（1）解：． ∴， 即， ∴或， ∴，． （2）解：如图，连接，． ∵内切于， ，，， ， ∴四边形为正方形， ， ∴，， ， 解得． 14. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） （2）若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【答案】（1） （2）白球的个数为个 【解析】 【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握以上知识是做题的关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据该盒子里摸到白球的概率为，令其乘以即可． 【小问1详解】 解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右， 估计该盒子里摸到白球的概率为， 盒子里白球约有（个）． 15. 中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【详解】解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 16. 江西省城市足球超级联赛（简称赣超联赛）进入第二阶段的八强赛，第十一轮对阵情况分别是九江VS新余，抚州VS上饶，景德镇VS宜春，南昌VS赣州，甲和乙都是资深球迷，通过网上预约购票，各自选择去现场观看其中一场球赛，且每场比赛被选到的可能性相等． （1）甲从这四场球赛中选到“南昌VS赣州”的概率是________． （2）用画树状图或列表的方法，求甲和乙选择观看同一场球赛的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求简单概率，画树状图或列表法求概率，掌握概率公式是关键； （1）求出所有等可能的结果及选到“南昌VS赣州”的结果，用概率公式求解即可； （2）画出树状图，即可得到所有等可能的结果及选择观看同一场球赛的结果，用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总共有4种等可能的结果，选到“南昌VS赣州”的结果有1种，则选到“南昌VS赣州”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：用，，，分别表示四场球赛，甲和乙各自独立选择一场球赛观看，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择观看同一场球赛的结果有4种， ∴（甲和乙选择观看同一场球赛）． 答：甲和乙选择观看同一场球赛的概率为． 17. 如图，等边三角形内接于圆，，分别是，的中点，，的延长线相交于点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出圆的圆心． （2）在图2中的线段上找一点，连接并延长，使与圆相切． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接与交于点，点即为所求； （2）如图所示，设与交于，与交于，连接并延长交于，连接，则即为圆的切线； 【小问1详解】 解：∵点是等边三角形的外接圆圆心， ∴点是线段和线段的垂直平分线的交点， 即，， ∵点分别是中点， ∴，， ∴直线与直线重合，直线与直线重合， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，设与交于，与交于，连接并延长交于，连接，则即为圆的切线； 由垂径定理可知为的中点，为的中点， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是圆的切线； 【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定矩形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，切线的判定，等边三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1） （2）216度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【小问1详解】 解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； 【小问2详解】 解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 19. 将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． （1）请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． （2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】（1） 列表如下： 第一次 第二次 （2） 不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性． （1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． （1）请判断与的位置关系，并说明理由． （2）连接，为上一点，且满足，求证：． 【答案】（1） 与相切． 理由：为半径， ． ， ， 与相切； （2） 证明：如图，连接，则． AI ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆心角定理，圆周角定理，垂径定理逆定理等知识，综合性强，难度较大． （1）根据垂径定理逆定理得到，结合，得到，即可证明与相切； （2）连接，则．根据得到．根据得到，从而得到．再证明，，得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 项目学习 项目主题：金丝琥珀蜜枣的最优销售单价 项目背景：金丝琥珀蜜枣是安徽省歙县特产，以当地马枣为原料，经八道传统工序制成．某校学习小组以探究“金丝琥珀蜜枣的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究歙县某特产超市金丝琥珀蜜枣销售总利润与销售单价的关系．研究步骤： ①学习小组通过咨询该特产超市了解到购进金丝琥珀蜜枣的成本价为40元/千克． ②该特产超市在试营业期间，不断调整销售单价，并对金丝琥珀蜜枣的销售量进行统计（不考虑其他因素，本题默认为散装销售）． ③数据分析，得出结论． 收集数据： 金丝琥珀蜜枣销售价/（元/千克） ．．． 50 55 60 65 70 ．．． 每月销售数量/千克 ．．． 500 450 400 350 300 ．．． 问题解决： （1）根据表中信息，金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为___________． （2）现计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （3）通过计算说明金丝琥珀蜜枣的销售单价定为多少时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润（单位：元）最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）销售单价应定为80元/千克 （3）当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用等，正确求出函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）根据（1）中的销售量表达式，结合总利润每千克利润销售量，得到一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）同（2）得到利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质得出最值． 【小问1详解】 解：观察表格可知金丝琥珀蜜枣每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．设一次函数关系式为， 代入，，得 ， 解得， ∴金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：月销售成本不超过10000元，成本价为40元/千克， ，解得 由题意得， 解得（舍去）， 答：销售单价应定为80元/千克． 【小问3详解】 解： ， 当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元． 22. 如图，在矩形中，，点在上，且，点为的外心． （1）求点到的距离． （2）如图2，在下方取一点，连接，若，且，求证：平分． （3）如图3，点，分别为，上的动点，连接，，，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：，点为的外心， 四点在以点为圆心，为半径的圆上， ． ， ， ， 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，连接，根据矩形的性质，以及直角三角形的外心，可以知道点在斜边的中点上，然后结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，接着证明是的中位线，从而算得答案； （2）先证明四点在以点为圆心，为半径的圆上，得到，接着通过，证明即可得证； （3），作点关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接，当点共线时，四边形的周长最小，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，连接． 在矩形中，，点为的外心， ， ∵， ， 是的中位线， ， 点到的距离为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接， 当点共线时，四边形的周长最小． ， ， 在中，， ， ， 四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，同弧所对的圆周角相等，中位线的判定与性质，三角形的外心，斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称图形的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． 特例感知 如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）的形状是________． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究 （3）如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段，和的数量关系． 拓展应用 （4）如图3，在四边形中，，是对角线，若，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）直角三角形； （2）． 理由：由旋转可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）； （4）3． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据旋转的性质可得，推出，，然后可求得，即可得到答案； （3）过点作，易证，，然后证得，可知，得到，结合勾股定理即可推出结论； （4）根据题意可知是等边三角形，将绕点顺时针旋转得到，连接，则有，，，进而得到为等边三角形，然后结合已知易得，从而根据勾股定理得到，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴ ， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）略 （3）如图1，过点作， 则． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴． （4）如图2．将绕点顺时针旋转得到，连接． ∵，， ∴是等边三角形． 由旋转的性质知，，， 则为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质和判定，灵活运用以上知识点并利用辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $