精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级数学18周周测试卷（元旦练习）

元旦练习 一、选择题： 1. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的整数部分为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 由于今年重庆受到洪水袭击，造成南滨路水电站损害，重庆市政府决定对南滨路水电站水库进行加固．现有5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（　　） A. B. C. D. 6. 直线：和直线：在同一坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 小宏和小帆积极参加学校组织的科普大赛，如图是根据5次预赛成绩绘制的折线统计图，以下说法不合理的是（ ） A. 与小宏相比，小帆5次成绩的方差大 B. 与小宏相比，小帆5次成绩的极差小 C. 与小宏相比，小帆的成绩比较稳定 D. 小宏的极差为11分 8. 如图，的斜边在直线上，点在轴上，点坐标为．先将沿较长直角边翻折得到，再将沿斜边翻折得到，再将沿较短直角边翻折得到；…；按此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 已知一次函数经过第一、二、三象限，且关于x的不等式组恰有5个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和为（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 18 二、填空题： 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 12. 点关于轴的对称点的坐标为______． 13. 已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为______． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 15. 已知，，则的值为 _____． 16. 不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 17. 如图，点为等边外一点，连接，，．若，，，则______． 18. 对于一个三位正整数，若十位数字与个位数字之和减去百位数字的差为，则称这个三位数为“顺心数”，例如：，因为，所以是“顺心数”：若（，，，且、、均为整数），记．若是“顺心数”，且，则的值为_______；已知，是两个不同的“顺心数”（，，，，且、、、均为整数），且能被整除，则的最大值为______． 三、计算题： 19. 解方程组： （1） （2） 20. 解下列不等式（组）： （1）； （2）． 四、解答题： 21. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形． （1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出； （2）求四边形的面积． 22. 为了解学生线上学习期间居家劳动的开展情况，北关中学对该校1200名七年级学生和1500名八年级学生的平均每天居家劳动时间进行了调查，现从中各随机抽取20名学生的平均每天居家劳动时间（）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的平均每天居家劳动时间为： 30，30，35，40，40，40，40，40，40，40，40，45，45，50，55，55，55，60，60，60． 八年级20名学生的平均每天居家劳动时间的统计图如下： 七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 45 a 40 八年级 45 45 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）如果学校要从中选取一个年级进行居家劳动活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪个年级较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）平均每天居家劳动时间大于或等于的学生会被授予“劳动达人”的称号，请估计此次七、八年级的学生被授予此称号的人数共有多少？ 23. 如图，在中，，是的角平分线． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点D作于点E．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，点F为线段上一点，，连接．求证：．为证明，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程） 证明：， ． ， ① ， ， 又 ② ， 且，， ， 在与中， ， （ ④ ）， ． 24. 如图，在菱形中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 25. 农历新年初一吃汤圆，象征幸福团圆．某超市为迎接即将到来的春节，准备购进A、两种汤圆．已知每袋A汤圆的成本比每袋汤圆的成本贵5元，且购进3袋A汤圆与购进4袋汤圆的成本相同． （1）A、两种汤圆每袋的成本分别为多少元? （2）该超市决定采购A、两种汤圆共180袋，要求购进A汤圆的数量不少于46袋且为偶数，采购A、两种汤圆投入的资金不超过2960元．为促销两种汤圆，将两袋A汤圆捆绑销售，购买两袋A汤圆后加10元换购一袋汤圆．已知A汤圆售价为28元/袋，汤圆售价为20元/袋，且购买两袋A汤圆的顾客一定会换购一袋汤圆，则超市应该如何进货，才能使得全部售完后利润最大？最大利润为多少? 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且，直线过点C且与y轴交于点D，与直线l1交于第二象限内的点E，已知点E到x轴的距离为． （1）求点D的坐标； （2）如图2，在直线上存在一点M，使，求出点M的坐标； （3）如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q为x轴上一动点，连接，，，当为以为腰的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 27. 如图1，在等腰中，，点是外一点，点在射线上，其关于线段的对称点刚好落在线段上． （1）求证：； （2）如图2，连结，交于点，若，请探索、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，线段与交于点（在线段上），在线段上取点，使得．已知，，当的值最小时，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 元旦练习 一、选择题： 1. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项成立，符合题意； C、∵，当时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(，向右画；，向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．根据不等式的基本性质求得不等式组的解集为，从而得解． 【详解】解：依题意得：不等式组的解集为． 故选C． 4. 的整数部分为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先算出此题结果为，再由进行求解、辨别即可． 【详解】解：，且， 的整数部分为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及减法运算，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数的估算是解决本题的关键． 5. 由于今年重庆受到洪水袭击，造成南滨路水电站损害，重庆市政府决定对南滨路水电站水库进行加固．现有5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 6. 直线：和直线：在同一坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案． 【详解】A、直线：中，，：中，，不一致，故本选项不符合题意； B、直线：中，，：中，，则，一致，故本选项符合题意； C、直线：中，，：中，，则，不一致，故本选项不符合题意； D、直线：中，，：中，，则，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数图象，解本题的关键在根据一次函数的图象，得出k和b的符号． 7. 小宏和小帆积极参加学校组织的科普大赛，如图是根据5次预赛成绩绘制的折线统计图，以下说法不合理的是（ ） A. 与小宏相比，小帆5次成绩的方差大 B. 与小宏相比，小帆5次成绩的极差小 C. 与小宏相比，小帆的成绩比较稳定 D. 小宏的极差为11分 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、极差、方差等知识点，掌握极差、方差的计算方法是解题的关键． 先分别求出小宏和小帆的平均数、方差、极差，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵小宏次的平均成绩为：（分）， 极差为：（分）， 方差为：， 小帆次的平均成绩为：（分）， 极差：（分）， 方差为：， ∴由此可知，与小宏相比，小帆5次成绩的方差大，故不符合题意； 与小宏相比，小帆5次成绩的极差大，故符合题意； 与小宏相比，小帆成绩的方差大，所以小宏的成绩稳定，故C符合题意； 小宏的极差为分，故符合题意． 故选BCD． 8. 如图，的斜边在直线上，点在轴上，点坐标为．先将沿较长直角边翻折得到，再将沿斜边翻折得到，再将沿较短直角边翻折得到；…；按此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，，根据勾股定理得，，，由翻折的性质得到同理可得，，，，即可判断出规律，即可解答． 【详解】当时，， ∴， ∵的斜边在直线上， ∴， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 再由翻折可知，，， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，勾股定理，翻折的性质，根据图象得出坐标变化规律是解题的关键． 9. 如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，当时，根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，解出x即可；当时， 根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，则，解出y即可． 【详解】解：当时， 根据折叠的性质可知， 设， ∵， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时， 根据折叠的性质可知， 设， ∵， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的度数为或， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键． 10. 已知一次函数经过第一、二、三象限，且关于x的不等式组恰有5个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和为（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限，求参数的范围，根据不等式组解集的情况求出参数的范围，根据题意，求出的取值范围，进而确定所有整数a的值，再求和即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴， ∴， 解，得：， ∵不等式组恰有5个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值的和为； 故选C． 二、填空题： 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 12. 点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：由题意得，点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 13. 已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象得出中的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的下面， ∴中的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式之间的关系，解题的关键是根据函数图象，利用数形结合的思想解决问题． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】②①得：，然后将其代入，再来解关于k的不等式即可的解． 【详解】解：， ②①得：， ∵方程组的解满足不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变． 15. 已知，，则的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】先因式分解得到式子形式与条件关系，再代入求解即可． 【详解】解：，代入，得： 原式 故答案为2． 【点睛】本题考查因式分解及代入求值，在不了解条件与问题关系时可先通过化简、因式分解、拆分等方法进行摸索，得到关联后代入求解． 16. 不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，得出，，进而即可求解． 【详解】解：， 得， 不等式的解集为， ， ， ，， 的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解集求参数，掌握不等式的性质是解题的关键． 17. 如图，点为等边外一点，连接，，．若，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】延长至E，使，过A作，易证是等边三角形，根据三线合一及勾股定理求出，即可得到，易得即可得到答案； 【详解】解：延长至E，使，过A作， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是作出辅助线结合手拉手模型得到． 18. 对于一个三位正整数，若十位数字与个位数字之和减去百位数字的差为，则称这个三位数为“顺心数”，例如：，因为，所以是“顺心数”：若（，，，且、、均为整数），记．若是“顺心数”，且，则的值为_______；已知，是两个不同的“顺心数”（，，，，且、、、均为整数），且能被整除，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除的运算，不等式等知识，理解题意是解题的关键．根据“顺心数”得到关于、的二元一次方程组即可求出，由，是两个不同的“顺心数”，得到，再求出，根据题意可到能被整除，根据，得到，结合，，确定的值即可． 【详解】解：是“顺心数”， ，即， ，， ， ， 解得， ，是两个不同的“顺心数”， ，， ， ，， ， 能被整除， 能被11整除， ， ， ， ，， ，或，或，或，， 要使最大，则要最大，此时，， ， ， 的最大值为， 故答案为：，． 三、计算题： 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查求解二元一次方程组的方法，加减消元法及代入消元法，熟练掌握解方程组的方法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组化简，然后利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为：； 【小问2详解】 解：原方程组整理为：， 得：， 解得：， 将代入①解得：， 方程组的解为：； 20. 解下列不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可； （2）分别解两个不等式，根据公共部分确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 未知数系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集是：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式或一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键，注意不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号方向发生改变． 四、解答题： 21. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形． （1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2）9 【解析】 【分析】(1)根据平移方式找到的对应点，顺次连接，即为所求； (2)根据题意，连接，根据四边形的面积,结合网格，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形的面积为：． 【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 22. 为了解学生线上学习期间居家劳动的开展情况，北关中学对该校1200名七年级学生和1500名八年级学生的平均每天居家劳动时间进行了调查，现从中各随机抽取20名学生的平均每天居家劳动时间（）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的平均每天居家劳动时间为： 30，30，35，40，40，40，40，40，40，40，40，45，45，50，55，55，55，60，60，60． 八年级20名学生的平均每天居家劳动时间的统计图如下： 七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 45 a 40 八年级 45 45 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）如果学校要从中选取一个年级进行居家劳动活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪个年级较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）平均每天居家劳动时间大于或等于的学生会被授予“劳动达人”的称号，请估计此次七、八年级的学生被授予此称号的人数共有多少？ 【答案】（1），， （2）八年级较好； （3）此次七、八年级的学生被授予“劳动达人”称号的共有人． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图求出居家劳动时间为分和分的人数，进而求出居家劳动时间为分的人数，即可求出；根据七年级名学生的平均每天居家劳动时间求出，根据八年级名学生的平均每天居家劳动时间求出； （2）根据七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的众数、中位数判断八年级较好； （3）分别计算七、八“劳动达人”的人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：八年级居家劳动时间为分的人数为：（人）， 居家劳动时间为分的人数为：（人）， ∴居家劳动时间为分的人数为：（人）， ∴， 由七年级名学生的平均每天居家劳动时间可得， 八年级20名学生的平均每天居家劳动时间（）为： 30，35，35，40，40，40，40，40，45，45，45，45，45，45，50，50，55，55，60，60． ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：∵七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的平均数相同，而众数和中位数八年级高于七年级， ∴八年级较好． 【小问3详解】 解：（人）， ∴此次七、八年级的学生被授予“劳动达人”称号的共有人． 【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，用样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． 23. 如图，在中，，是的角平分线． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点D作于点E．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，点F为线段上一点，，连接．求证：．为证明，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程） 证明：， ． ， ① ， ， 又 ② ， 且，， ， 在与中， ， （ ④ ）， ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）①；②是的角平分线；③；④ 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理和角平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据垂线的定义可得，由角平分线的性质可得，则可利用证明，则可证明结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：， ． ， ， ∴， 又是的角平分线， 且，， ， 在与中， ， ， ． 故答案为：①；②是的角平分线；③；④． 24. 如图，在菱形中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：该函数图象如图所示： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质： （1）当点P在，点Q在上运动时，即时，证明是等边三角形，即可求解；当时，同理可解； （2）当时，，当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 正确理解动点问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵菱形 ∴ ∴总的运动时间为：（秒）， 当点P在，点Q在上运动时，即时，连接， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴； 当点P在，点Q在上运动时，即时，如图所示：是等边三角形， ∴， ∴； 综上可得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：从图象看，当时x的取值范围为：或． 25. 农历新年初一吃汤圆，象征幸福团圆．某超市为迎接即将到来的春节，准备购进A、两种汤圆．已知每袋A汤圆的成本比每袋汤圆的成本贵5元，且购进3袋A汤圆与购进4袋汤圆的成本相同． （1）A、两种汤圆每袋的成本分别为多少元? （2）该超市决定采购A、两种汤圆共180袋，要求购进A汤圆的数量不少于46袋且为偶数，采购A、两种汤圆投入的资金不超过2960元．为促销两种汤圆，将两袋A汤圆捆绑销售，购买两袋A汤圆后加10元换购一袋汤圆．已知A汤圆售价为28元/袋，汤圆售价为20元/袋，且购买两袋A汤圆的顾客一定会换购一袋汤圆，则超市应该如何进货，才能使得全部售完后利润最大？最大利润为多少? 【答案】（1）A种汤圆每袋的成本为20元，则B种汤圆每袋的成本为15元 （2）购买A种汤圆46袋，B种汤圆134袋，全部售完后利润最大，且最大利润为808元 【解析】 【分析】（1）设A种汤圆每袋的成本为x元，则B种汤圆每袋的成本为元，根据购进3袋A汤圆与购进4袋汤圆的成本相同列出方程，解方程即可； （2）设购进种汤圆x袋，则购进种汤圆袋，全部售完后利润获利为W元，根据购进A汤圆的数量不少于46袋且为偶数，采购A、两种汤圆投入的资金不超过2960元，列出不等式组，求出x的取值范围，根据利润售价进价求出W与x的函数解析式，根据一次函数的增减性，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设A种汤圆每袋的成本为x元，则B种汤圆每袋的成本为元，根据题意得： ， 解得：， （元）， 答：A种汤圆每袋的成本为20元，则B种汤圆每袋的成本为15元； 【小问2详解】 解：设购进种汤圆x袋，则购进种汤圆袋，全部售完后利润获利为W元，根据题意得： ， 解得：， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W最大，且最大值为：， （袋） 答：购买A种汤圆46袋，B种汤圆134袋，全部售完后利润最大，且最大利润为808元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且，直线过点C且与y轴交于点D，与直线l1交于第二象限内的点E，已知点E到x轴的距离为． （1）求点D的坐标； （2）如图2，在直线上存在一点M，使，求出点M的坐标； （3）如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q为x轴上一动点，连接，，，当为以为腰的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点P的坐标为：或 或或 【解析】 【分析】（1）先用直线以及，求出点E和点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标； （2）过点E作直线交轴于点H，在点H的上方(下方)取点L或(N)，使或，过点L或N作直线，直线交于点，则点为所求点进而求解； （3）当为直角时，则，存在点Q在的左侧和右侧两种情况，证明，得到和，即可求解；当为直角时，同理可解． 【小问1详解】 解：直线∶， 令，则， 令，则， 即点A、B的坐标分别为、， 当时，即， 解得∶，即点； ∵， ∴点， 设直线的解析式为， 由点C、E的坐标得∶，解得， 直线的解析式为∶， 令，则， 即点． 【小问2详解】 由点A、D的坐标得，直线的解析式为：， ∵， ∴以为底是高的， 过点E作直线交轴于点H，在点H的上方(下方)取点L或(N)，使或，过点L或N作直线，直线交于点，则点为所求点，如下图： 将直线向上平移a各单位得，经过点，则直线m的解析式为：， 则点， 则， 则， 则点， 同理可得，点， 则直线的解析式为：， 直线n的解析式为：， 联立直线l的解析式和直线的解析式得：， 解得：， 则点， 同理可得：点． 综上，点或 【小问3详解】 旋转后点、的坐标分别为、， 点、的坐标得，直线的解析式为∶， 设点，点 当为直角时，则，存在点Q在的左侧和右侧两种情况，如下图： 当点Q在的右侧(左侧)时，过点Q作轴，交过点E与轴的平行线于点M，交过点P与t轴的平行线于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则且， 即且， 解得∶或， 即点P的坐标为∶或 当为直角时，则，存在点Q在的左侧和右侧两种情况， 同理可得∶， 即， 解得∶或， 即点P的坐标为∶或， 综上，点P的坐标为：或 或或 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形旋转变换、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的存在性，解题的关键是将代数问题转化为几何的距离和分类讨论思想的应用． 27. 如图1，在等腰中，，点是外一点，点在射线上，其关于线段的对称点刚好落在线段上． （1）求证：； （2）如图2，连结，交于点，若，请探索、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，线段与交于点（在线段上），在线段上取点，使得．已知，，当的值最小时，的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） ，证明如下： 如图2，过作于，作于， 同理（1）可得，， ∴； 由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过作于，作于，则，由对称可得，，证明，则； （2）如图2，过作于，作于，同理（1）可得，，；证明，，则，，由，可得； （3）如图3，过作，使，连接，证明，则，，，可知当三点共线时，的值最小，如图3，连接，交于，交于，根据角度之间的关系可得，，如图4，延长交于，证明，，，由四边形内角和求得，根据角度之间的关系可得重合，则，，由，，可得是等腰三角形，，，如图4，连接，，证明，则，，，则，勾股定理得，，则，，，由勾股定理得，，，则，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图3，过作，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图3，连接，交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图4，延长交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴重合， ∴，， ∵，， ∴是等腰三角形，，， 如图4，连接，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $