精品解析：山东省济南市莱芜区花园学校2025-2026学年上学期八年级数学综合学习成果展示（一）

2025－2026学年度第一学期八年级数学 综合学习成果展示（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分） 1. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 2. 如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵菱形ABCD的周长是16， ∴AB=AD=CD=BC=4， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB=AD=BD=4． ∴对角线BD的长度为4． 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，积的乘方，二次根式的乘法，二次根式的加法． 根据单项式的乘法法则，积的乘方法则，二次根式的乘法法则，二次根式的加法法则逐一判断即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C正确； D：不是同类二次根式，无法相加，D错误； 故选：C． 4. 已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（ ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A. ①和② B. ①和③和④ C. ②和③ D. ②和③和④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法，结合已知，逐一分析各附加条件是否足以证明四边形为平行四边形． 【详解】解：如图， ∵， ①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误． ②若， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确． ③若， ∵， ∴，， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故③正确． ④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误． ∴正确条件为②和③， 故选：C． 5. 如图，矩形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°,则∠BAE的大小为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的余角相等易证∠BAE=∠ADE，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得∠OAB=∠OBA，在Rt△ABD中，已知∠OBA即可求得∠ADB的大小，从而得到结果. 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AE⊥BD， ∴∠BAE+∠ABD=90°，∠ADE+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠ADE ∵矩形对角线相等且互相平分， ∴∠OAB=∠OBA=， ∴∠BAE=∠ADE=90﹣67.5°=22.5°， 故选 B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分. 6. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴得：，得到，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原式 ． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 7. 若关于的方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将根代入方程求解a的值即可． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 即， 解得． 故选：A． 8. 某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中符合题意的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设平均每月降低开支的百分率为x，用x表示出第二个月的开支为，根据在两个月内将开支从每月2500元降到1600元列出方程即可． 【详解】解：∵原开支为2500元，平均每月降低的百分率为x， ∴第一个月的开支为元， ∴第二个月的开支为元， ∴可列方程为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用x表示出第二个月的开支． 9. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 10. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．下面结论： ① ② ③ ④ ⑤正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故③正确， 在上取点，使用， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故①错误； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故②正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故④正确； ， 设，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ，故⑤错误． 故选：C． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 11. 如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是__米. 【答案】25 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，周长也就不难得到． 【详解】∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米， ∴BC=2EF=10米， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴BE=CF=BC=5米， ∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米． 故答案为25． 【点睛】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解． 12. 已知x2﹣2x﹣5=0，则2x2﹣4x的值为_____． 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：由x2﹣2x﹣5=0得，x2﹣2x=5，所以代入2x2﹣4x=2（x2﹣2x）即可求得它的值． 解：∵x2﹣2x﹣5=0， ∴x2﹣2x=5， 又知：2x2﹣4x=2（x2﹣2x） =2×5 =10． 故答案为10． 考点：一元二次方程的解． 13. 如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表示出周长．过点A作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形的周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形的周长， 当的值最小时，四边形的周长最小， ∴当时，有最小值，此时， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 14. 正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD＝1＋．其中正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定EB⊥ED；③由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF；④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD，根据S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD即可判定． 【详解】解：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠EAB=∠PAD， 又∵AE=AP，AB=AD， ∵在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确； ∴∠ADP=∠ABE，而对顶角相等， ∴∠BED=∠BAD=90°，即EB⊥ED，故②正确； 由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°， 所以∠BEP=90°， 过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离， 在△AEP中，由勾股定理得PE=， 在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE==PD， ∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP， ∴∠AEP=45°， ∴∠BEF=180°-45°-90°=45°， ∴∠EBF=45°， ∴EF=BF， 在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，故③错误； 连接BD，则S△BPD=PD×BE=， ∵S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP==， 所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=， 所以S正方形ABCD=2S△ABD=，故④错误； 综上可知，正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】 此题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题． 15. 如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点H，连接，过F作于点M，由中位线定理可得，，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出，，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：中，为的中点，， 如图，取中点H，连接，过F作于点M， ∴为的中位线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 先计算完全平方公式和二次根式的乘法，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形． （1）猜想四边形的形状是________，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 猜想四边形的形状是矩形. 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键. 19. 【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容． 如图1，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点、，依次连接、、、，四边形看上去是菱形． 图1 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流． 定理 四边相等的四边形是菱形． 请你完成这个定理的证明． （1）结合教材图1，完成这个定理证明： （2）应用上述定理解决实际问题 周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图2所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，． ①求证：四边形外框是菱形； ②若外框的周长为，，，直接写出的长． 图2 【答案】 （1）证明：由作图步骤可知， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵点、、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ② 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）由作图步骤可知，再由平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，利用菱形的判定即可证明； （2）①根据菱形的性质得出，，．再由全等三角形的判定和性质得出，即可证明； ②连接，交于点，根据勾股定理及菱形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②． 解：连接，交于点， ∵四边形是菱形，外框的周长为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 20. 已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． （1）如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据题意用t表示与，证明四边形为平行四边形得，由此列出t的方程即可； （2）根据题意用t表示与，证明得，由此列出t的方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 当互相平分时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴t的值为． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即t的值为． 21. 如图，小长方形的长为a，宽为b，将七个这样的小长方形放在大长方形ABCD中，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积分别记为和． （1）若，求的值（用含有a，b的字母表示）； （2）若的值为ab，求a与b的数量关系． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设S1的长为x，宽为a，S2的长为y，宽为2b，则，，，，由，可得：，，，根据长方形面积公式即可求得答案； （2）由题意可得：，可得：． 【小问1详解】 解：设S1的长为x，宽为a，S2的长为y，宽为2b， 则，，， 在大长方形ABCD中，AB=CD=10， ∴， ∴，， ∴ ． 即： 【小问2详解】 解：由（1）知：， 又∵的值为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的面积公式和整式的混合运算的应用，弄清题意是解题关键． 22. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价5元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利1600元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 【答案】（1）30；（2）30 【解析】 【分析】（1）根据“每降价1元,商场平均每天可多售出2双”解答即可； （2）设每双鞋子应降价x元，根据“商场每天要盈利1600元”列方程求解即可. 【详解】解：（1）由题意可得：20＋5×2=30(双)； 答：每天可售出30双鞋子； （2）设每双鞋子应降价x元，得(20＋2x)(50－x)=1600，即 解得：x1=10，x2=30， ∵顾客要尽可能得到实惠， ∴x1=10舍去， ∴每双鞋子应降价30元 ， 答：每双鞋子应降价30元. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量. 23. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 24. （1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 【答案】（1）75；4；（2）CD=4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解． 【详解】解：（1）∵BD∥AC， ∴∠ADB=∠OAC=75°． ∵∠BOD=∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴． 又∵AO=3， ∴OD=AO=， ∴AD=AO+OD=4． ∵∠BAD=30°，∠ADB=75°， ∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB， ∴AB=AD=4． 故答案为75，4 （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC=∠BEA=90°． ∵∠AOD=∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴． ∵BO：OD=1：3， ∴． ∵AO=3， ∴EO=， ∴AE=4． ∵∠ABC=∠ACB=75°， ∴∠BAC=30°，AB=AC， ∴AB=2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2， 解得：BE=4， ∴AB=AC=8，AD=12． 在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2， 解得：CD=4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度． 25. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　． （2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG； （2）证明：∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD=∠DAG， ∴∠BAE=∠DAG， ∵AD=2AB，AG=2AE， ∴， ∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE=∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE=90°， ∴∠AGB+∠ADG=90°， ∵∠AGB=∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG=90°， ∴∠DHB=90°， ∴BE⊥DG； （3） 【解析】 【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出BE，进而得出BE=AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE=∠DAG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE=DG； ②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H， 由①知，△ABE≌△ADG， ∴∠ABE=∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE=90°， ∴∠AGB+∠ADG=90°， ∵∠AGB=∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG=90°， ∴∠DHB=90°， ∴BE⊥DG （2）略 （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） ∵EG∥AB， ∴∠DME=∠DAB=90°， 在Rt△AEG中，AE=1， ∴AG=2AE=2， 根据勾股定理得，EG=， ∵AB=， ∴EG=AB， ∵EG∥AB， ∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF， ∴点B，E，F在同一条直线上如图5， ∴∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2， 由（3）知，△ABE∽△ADG， ∴， ∴， ∴DG=4． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期八年级数学 综合学习成果展示（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分） 1. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（ ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A. ①和② B. ①和③和④ C. ②和③ D. ②和③和④ 5. 如图，矩形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°,则∠BAE的大小为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 6. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则（　　） A. 2 B. C. D. 7. 若关于的方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中符合题意的是（　　） A. B. C. D. 9. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．下面结论： ① ② ③ ④ ⑤正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 11. 如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是__米. 12. 已知x2﹣2x﹣5=0，则2x2﹣4x的值为_____． 13. 如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 14. 正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD＝1＋．其中正确结论的序号是________． 15. 如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 解方程：． 17. 计算：． 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形． （1）猜想四边形的形状是________，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 19. 【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容． 如图1，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点、，依次连接、、、，四边形看上去是菱形． 图1 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流． 定理 四边相等的四边形是菱形． 请你完成这个定理的证明． （1）结合教材图1，完成这个定理证明： （2）应用上述定理解决实际问题 周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图2所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，． ①求证：四边形外框是菱形； ②若外框的周长为，，，直接写出的长． 图2 20. 已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． （1）如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 21. 如图，小长方形的长为a，宽为b，将七个这样的小长方形放在大长方形ABCD中，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积分别记为和． （1）若，求的值（用含有a，b的字母表示）； （2）若的值为ab，求a与b的数量关系． 22. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价5元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利1600元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 23. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 24. （1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 25. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　． （2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $