精品解析：山东省聊城市阳谷县实验中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年八年级第一学期数学第二次测评卷 一、单选题（共48分） 1. 科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革．以下四款人工智能软件图标是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 3. 若分式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4. 在给出的一组数：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 7. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 8. 如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 10 9. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将含的直角三角板的直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为，，．若点，在直尺上对应的刻度分别为，，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 12. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 二、填空题（共24分） 13. 的平方根是_______． 14. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 15. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 16. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为_______度． 17. 如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是________． 18. 如图，为内一点，平分，若，则的长为__________． 三、解答题（共78分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 20. 已知一个正数的平方根是与， （1）求a的值和这个正数 （2）求的平方根 21. 如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线对称； （2）在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 22. 如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 24. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 25. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 26. 【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 27. （1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接，求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级第一学期数学第二次测评卷 一、单选题（共48分） 1. 科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革．以下四款人工智能软件图标是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、该图形中找不到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项A不符合题意； B、该图形中找不到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项B不符合题意； C、该图形能找到一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以该图形是轴对称图形，故选项C符合题意 D、该图形中找不到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项D不符合题意． 故选：C． 2. 下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依次分析各选项中原命题与逆命题即可作出判断. A. 原命题“等腰三角形的两个底角相等”，逆命题“两个角相等的三角形是等腰三角形”，均成立，B.原命题“直角三角形的两个锐角互余”，逆命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，均成立，D.原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，逆命题“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，均成立，不符合题意； C.原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立，本选项符合题意. 考点：互逆命题 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握原命题与逆命题的关系，即可完成. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：B． 4. 在给出的一组数：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数的类型是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数，然后统计个数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴是无理数；是无理数（不是完全平方数）；是有理数（有限小数）；是无理数（不是完全立方数）；是有理数（分数）；是有理数（循环小数）；是无理数（无限不循环小数）， ∴ 无理数有4个：，， ，． 故选：B． 5. 仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．由作法可知，，，再加上公共边，即可利用“”判定三角形全等． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， 平分 故选：A 6. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 7. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 8. 如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积． 故选：A． 9. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，过作于，过作于，可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 在中，， ∴， 同理可得，， ∵点与之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：． 10. 如图，将含的直角三角板的直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为，，．若点，在直尺上对应的刻度分别为，，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和矩形的性质，利用直尺判断平行关系和线段长是关键． 由题意可得，，．因为直尺是矩形，所以，从而，因此是等边三角形，根据其性质得到． 【详解】解：由题意可知，，， ∵直尺是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，在直尺上对应的刻度分别为，， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 12. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据作图方法可知，是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 二、填空题（共24分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．根据等边三角形的判定定理填空即可． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 若，则为等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 16. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，掌握以上知识是解答本题的关键．根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，，继而即可求出答案． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：； 17. 如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据中点的定义得，然后根据含直角三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：在等边中，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 18. 如图，为内一点，平分，若，则的长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 三、解答题（共78分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、乘方、立方根、分式化简求值等知识点，掌握相关运算法则、平方差公式和完全平方公式成为解题的关键． （1）先根据算术平方根、乘方、立方根化简，然后再计算即可； （2）先通分计算括号里的分式减法，再将除法变乘法进行约分化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当时，原式． 20. 已知一个正数的平方根是与， （1）求a的值和这个正数 （2）求的平方根 【答案】（1） ，这个正数是100 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【小问1详解】 解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． 【小问2详解】 解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 21. 如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线对称； （2）在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，作，使它与关于直线对称； （2） 点D为所作求的点． 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 22. 如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． （1）根据题意，得到是线段的垂直平分线，进而推出，利用角平分线，得到，进而求出． （2）利用所对的直角边是斜边的一半，进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵于点E，E为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴． 23. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行结合角平分线得到等腰三角形进行论证即可； （2）根据角平分线结合平行可得，进而得到，最后利用三角形内角和求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 24. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 26. 【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【答案】 （1）方法一：； 方法二：； 整理得：，即． （2）证明：由已知可得，， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示，进而得到等式即可； （2）利用全等三角形的性质，得出是直角三角形，再用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】解：（1）略 （2）略 27. （1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接，求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 【答案】（1）， （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，； ； 在中，由勾股定理，得：， ∴； （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，推出，利用勾股定理和等量代换，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）∵为等腰直角三角形， ∴， ①当点在线段上时，连接，如图 同（2）可得：， ∴，， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： 同理：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形，进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $