精品解析：云南省文山市第一初级中学教育集团2025-2026学年上学期12月考九年级数学试题

文山市第一初级中学教育集团2025学年上学期九年级课后 服务检测单 数学（人教版）试卷 范围：九年级上册 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分；共30分） 1. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解答的关键． 根据圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径求解即可． 【详解】解：∵ 点P在上，且的半径为， ∴ 点P到圆心O的距离为． 故选：C． 2. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 4. 若抛物线的图象经过点，则的值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的概念与图象，掌握好相关知识是关键． 将点代入抛物线方程，解出 a 的值即可． 【详解】解：将，代入抛物线解析式得， ， 解得，． 故选： B． 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 6. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半可得答案． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴， 故选：C． 7. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 9. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 10. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 11. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 12. 如图，正六边形内接于．若，则的直径为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，正确得出是等边三角形是解题关键． 直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于 ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：A． 13. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 14. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 15. 如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 方程的解为， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据开口方向和对称轴可判断A、C；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断B；求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标即可判断D． 【详解】解：A、∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故原说法正确，符合题意； B、∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故原说法错误，不符合题意； C、由A选项可知，故原说法错误，不符合题意； D、∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线 ∴二次函数的图象经过点， ∴方程的解为，，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（2，﹣1） 【解析】 【详解】点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1）， 故答案为（2，﹣1）． 【点睛】本题考查了对称点坐标的特点，关于原点对称，是横纵坐标都变成原来的相反数． 17. 分别写有数字0，，，1的四张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好概率的计算公式是关键． 根据概率公式，计算抽到负数的概率，即负数卡片数量与总卡片数量的比值． 【详解】解：总卡片数为4，负数卡片有和，共2张， 故抽到负数的概率为． 故答案为：． 18. 将抛物线向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，得：； 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式． 19. 正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为24，篓高（圆锥高）为16，则这个竹篓的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式及勾股定理．先根据勾股定理求出圆锥的母线，再利用圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面直径为24，圆锥高为16， 圆锥的母线， 这个竹篓的侧面积为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握好一元二次方程的解法是解题关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， 解得，，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 两边同时加上16，得， 配方，得， 两边开方，得， 解得，，． 21. 如图，与相切于点，点在上，连接、，且．求证：是的切线． 【答案】 证明：∵与相切于点， ∴， ∵点、在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质． 由切线的性质，可得，证明，可得，即可证得结论． 【详解】略． 22. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作了一本抗日战争胜利纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽．求封面四周边衬的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，设封面四周边衬的宽度为，结合封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽．进行列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：设封面四周边衬的宽度为， ∵封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽． ∴， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去） ∴封面四周边衬的宽度为， 23. 云南是一个多民族聚居的地区，拥有丰富多彩的民族文化和传统节日．为使学生更加了解云南的特色文化，学校开展了特色节日文娱活动，活动节目设有“A火把节，B泼水节，C三月街”，甲、乙两名同学准备从这三个节目中选一个参加．假设这两名同学选择哪种节目不受任何因素影响，且每一种节目被选到的可能性相等，记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两名同学选择同一种节目的概率P． 【答案】（1）共有9种 （2） 【解析】 【分析】（1）用列表法或画树状图法解答即可； （2）根据列表法或画树状图法计算即可． 本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握基本方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：所有可能出现的结果如下表： 由表格可知共有9种等可能出现的结果． 【小问2详解】 解：由（1）表格可知，在9种等可能出现的结果中，选择同一种节目的有，，共三种； ∴甲、乙两名同学选择同一种节目的概率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出将绕原点逆时针旋转得到的图形，并求出点经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 点经过的路径长为． 【解析】 【分析】（1）由已知可得点，，的位置，用线段顺次连接，即可得； （2）分别找到点，，绕着点逆时针旋转的对应点，顺次连接，即可得，根据题意可知，点经过的路径为以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，代入弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：根据题意可知，点经过的路径为以点为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∵，， ∴， ， ∴点经过的路径长为． 【点睛】本题考查画已知图形关于某点的中心对称图形，画旋转图形，勾股定理，求某点的弧形运动路径长度． 25. 猫哆哩酸角糕是云南特色糖果；以云南哀牢山野生酸角（罗塑子）为原料，果肉厚实饱满，富含天然果胶和糖分，柔软有弹性，入口先酸后甜；无人工色素、香精、防腐剂，保留水果原香与营养，深受消费者喜爱、某超市购入一批进价为10元/盒的酸角糕进行销售，经市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求关于的函数表达式： （2）若销售单价不低于进价，且日销售量至少40盒时，酸角糕的销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，掌握好二次函数的性质与最值是解题关键． （1）设一次函数的解析式为，从表格中选取两组数据，算出k和b的值； （2）设日销售利润为元，写出关于x的关系式，其形式为二次函数．根据题干的条件，计算出x的取值范围，结合二次函数的增减性计算出最大利润． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 将，；，代入解析式得， ， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元， 由题意可知，，， ∴，解得，， ∴， ， 这是一个二次函数，其开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时元 答：酸角糕的销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元． 26. 已知抛物线的顶点在轴上． （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1）或 （2）5796 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程与代数式变形，掌握好二次函数的顶点公式是解题关键． （1）根据二次函数的顶点公式表示出顶点，结合顶点在轴上，求出的值； （2）由（1）可得，对该代数式进行变形，并利用同底数幂的运算法则和乘法公式，依次表示出各个指数的值，计算出结果． 【小问1详解】 解：， 由顶点公式可得，顶点的纵坐标为， ∵顶点在轴上， ∴， 化简得，， 由公式法解得，或； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 由于，故等式两边同除以，得， ∴， 将①移项得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴． 27. 如图，，，，在上，，点在的延长线上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）是否存在常数，使等式成立？若存在，直接求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的度数为； （2） 证明：连接， ∵，，，在上，， ∴，，为的直径， ∴，点在线段， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线． （3）存在常数，使等式成立． 【解析】 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等，可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）连接，则，可得由（1）得，可得，为的直径，等量代换，可得，即可证得结论； （3）延长至，使，由圆内接四边形对角互补，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，可得，根据勾股定理，等量代换，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，，在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在常数，使等式成立． 延长至，使， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，在上， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在常数，使等式成立． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山市第一初级中学教育集团2025学年上学期九年级课后 服务检测单 数学（人教版）试卷 范围：九年级上册 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分；共30分） 1. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为（ ）． A. B. C. D. 2. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 4. 若抛物线的图象经过点，则的值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 9. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A. B. C. 1 D. 2 11. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 12. 如图，正六边形内接于．若，则的直径为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 13. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 15. 如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 方程的解为， 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______． 17. 分别写有数字0，，，1的四张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是________． 18. 将抛物线向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为______． 19. 正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为24，篓高（圆锥高）为16，则这个竹篓的侧面积为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程． （1）； （2）． 21. 如图，与相切于点，点在上，连接、，且．求证：是的切线． 22. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作了一本抗日战争胜利纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽．求封面四周边衬的宽度． 23. 云南是一个多民族聚居的地区，拥有丰富多彩的民族文化和传统节日．为使学生更加了解云南的特色文化，学校开展了特色节日文娱活动，活动节目设有“A火把节，B泼水节，C三月街”，甲、乙两名同学准备从这三个节目中选一个参加．假设这两名同学选择哪种节目不受任何因素影响，且每一种节目被选到的可能性相等，记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两名同学选择同一种节目的概率P． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出将绕原点逆时针旋转得到的图形，并求出点经过的路径长． 25. 猫哆哩酸角糕是云南特色糖果；以云南哀牢山野生酸角（罗塑子）为原料，果肉厚实饱满，富含天然果胶和糖分，柔软有弹性，入口先酸后甜；无人工色素、香精、防腐剂，保留水果原香与营养，深受消费者喜爱、某超市购入一批进价为10元/盒的酸角糕进行销售，经市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求关于的函数表达式： （2）若销售单价不低于进价，且日销售量至少40盒时，酸角糕的销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 26. 已知抛物线的顶点在轴上． （1）求的值： （2）求的值． 27. 如图，，，，在上，，点在的延长线上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）是否存在常数，使等式成立？若存在，直接求出这个值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $