精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题

北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 一、选择题（本题共20分，每小题2分） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，据此建立关系式求解，即可解题． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对选项逐个判断即可． 【详解】解：，A选项不能构成三角形，不符合题意； ，B选项不能构成三角形，不符合题意； ，C选项不能构成三角形，不符合题意； ，D选项能构成三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键熟练掌握三角形三边关系． 3. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 在下列四个选项中，数值最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的估算先判断，进而根据，，进而可以判断，即可求得答案 【详解】解：，，， ，即更接近2 故选A 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质与运算法则逐项计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. 被开方数要为非负数，故故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的性质与除法运算，熟知二次根式的性质与运算法则是解题关键． 7. 如图，在中，，直线经过点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中的两个锐角互余，对顶角相等，根据图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据对顶角相等可得， 不能得出，， 故选：C． 8. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积； 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 9. 在的边上找一点，使得．下面找法正确的是（ ） A. 如图①以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 B. 如图②以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 C. 如图③作的垂直平分线交于点，点为所求 D. 如图④作的垂直平分线交于点，点为所求 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，作线段；根据题意得到，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可． 【详解】解：A、由作图知，不会得到，故该选项不正确，不符合题意； B、由作图知，不会得到，故该选项不正确，不符合题意； C、由作图知点在线段的垂直平分线上， ， ，故该选项正确，符合题意； D、由作图知点在线段的垂直平分线上， ， 不会得到，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵ 代数式 有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 12. 比较大小：7______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算 ，，然后进行比较即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 13. 已知，化简______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的两条边为3和6，这个三角形的腰的长度为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，分情况讨论腰可能为3或6，再结合三角形三边关系进行判断，即可解题． 【详解】解：若腰为3，则三边为3、3、6， ，不满足三角形三边关系，舍去； 若腰为6，则三边为6、6、3， ∵，满足三角形三边关系； 综上这个三角形的腰长为6． 故答案为：6． 15. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据________可证明． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等的定理证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解∶在和中， ， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定理是解题的关键． 16. 如图，在中，作线段的对称轴分别交于点D，E，连接．如果的周长是12，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握数形结合思想与转化思想是解题的关键． 由题意可知垂直平分，进而得到，，结合的周长是12，得到,再计算的周长即可． 【详解】根据题意，垂直平分， ，， 的周长是12， ，即， ， 则的周长为． 故答案为：． 17. 有下列关于特殊三角形的命题： ①等腰三角形，两腰上的高相等； ②等边三角形，任意一条边上的高和中线都重合； ③直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积； ④过等腰直角三角形的直角顶点，有且只有一条直线把这个三角形分为两个等腰三角形． 其中正确的是________．（填所有正确命题的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形的面积逐个判断即可． 【详解】解：命题①：等腰三角形中，两腰相等，根据三角形面积公式，两腰上的高相等，故正确． 命题②：等边三角形中，高、中线、角平分线三线合一，故任意边上的高和中线重合，正确． 命题③：直角三角形斜边上的高h满足，其中a、b为直角边，c为斜边，因此由于斜边c不总等于1，故h不等于，故错误． 命题④：等腰直角三角形中，过直角顶点作斜边上的中线，将三角形分为两个全等的等腰直角三角形，又等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，则此分割线唯一，故正确． 故答案为①②④． 18. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 【答案】45 【解析】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共64分，其中19--27题每题5分，28，29每题6分，30题7分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值等知识点，灵活运用 运算法则是解题的关键． 先运用乘方、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的运算法则计算并化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的基本性质等知识点，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 先通分，然后再计算，最后约分即可． 【详解】解： ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 23. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．根据解分式方程的一般步骤解方程即可，注意验根． 【详解】解： ， 经检验，使得， 是该方程的解． 24. 如图，在中，，D是内一点，且．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 【详解】略 25. 若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴，解得：， 又∵，即， ∴，解得：． ∴且． 26. 尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹） （1）在中，作边的中线，并延长至点N，使； （2）在中，作角平分线； 【答案】（1） 如图，中线，点N如图所示： （2） 的角平分线如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、作一条线段等于已知线段、作已知角的平分线，掌握基本作图的方法是关键； （1）先利用尺规作线段的垂直平分线，交于点M，再在射线上截取即可； （2）利用尺规作已知角的平分线的作图方法解答即可. 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 27. 某校购买同样台数的A型和B型图形计算器．已知A型图形计算器的单价比B型图形计算器的单价低50元，购买A型图形计算器花了36000元，购买B型图形计算器花了38250元．两种图形计算器单价各是多少元？ 【答案】A型图形计算器单价为800元，B型图形计算器单价为850元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设B型图形计算器的单价为x元，则A型图形计算器的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型图形计算器的单价为x元，则A型图形计算器的单价为元， 根据题意可得： ， ， 经检验，是原分式方程的解． ． 答：A型图形计算器单价为800元，B型图形计算器单价为850元． 28. 【阅读学习】（本题中作图不要求使用尺规作图） 阅读：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （1）在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （2）图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 【答案】（1）是 （2） 每个三角形的“两分线”及底角度数，如图所示； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． （1）根据新定义画出图形即可判断； （2）根据新定义结合等腰三角形性质和判定画出图形即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 作的角平分线交于点， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， 则是“可两分三角形”； 故答案为：是． 【小问2详解】 解：略． 29. 已知：如图，在中，，点D为上的一点，，点E为延长线上一点且，连接并延长交于点F，连结． （1）求证：； （2）作A点关于的对称点M，分别连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （2）①依题意补全图形即可； ②，理由如下： ∵，又， ∴，即， ∵点A、点M关于对称， ∴，，， ∴， 在上截取点N，使， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴和是腰长相等的两个等腰直角三角形， ∴， ∴， 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）①依题意补全图形即可； ②证明，在上截取点N，使，证明，得出和是腰长相等的两个等腰直角三角形，推出，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 30. 若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． （1）如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 【答案】（1）①，是； ②， 作于点， ， 点为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）①连接，作垂直平分线交于点， 连接，与即为所求； ② 【解析】 【分析】（1）①由与互为“底余等腰三角形”和三角形内角和定理得到，根据四边形内角和可得，即可得到答案； ②作于点，通过证明求解即可； （2）①作垂直平分线交于点； ②连接，延长交于点，先证明为等边三角形，然后通过含角的直角三角形的关系求解． 【小问1详解】 解：①和互余， ， ， ， ， ， ， 与是“底余等腰三角形”， 故答案为：，是； ② 略 【小问2详解】 解：① 略 ②连接，延长交于点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 一、选择题（本题共20分，每小题2分） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列四个选项中，数值最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，直线经过点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 在的边上找一点，使得．下面找法正确的是（ ） A. 如图①以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 B. 如图②以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 C. 如图③作的垂直平分线交于点，点为所求 D. 如图④作的垂直平分线交于点，点为所求 10. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 12. 比较大小：7______．（填“”“”或“”） 13. 已知，化简______． 14. 已知等腰三角形的两条边为3和6，这个三角形的腰的长度为______． 15. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据________可证明． 16. 如图，在中，作线段的对称轴分别交于点D，E，连接．如果的周长是12，，则的周长为______． 17. 有下列关于特殊三角形的命题： ①等腰三角形，两腰上的高相等； ②等边三角形，任意一条边上的高和中线都重合； ③直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积； ④过等腰直角三角形的直角顶点，有且只有一条直线把这个三角形分为两个等腰三角形． 其中正确的是________．（填所有正确命题的序号） 18. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 三、解答题（本题共64分，其中19--27题每题5分，28，29每题6分，30题7分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 计算：． 23. 解方程：． 24. 如图，在中，，D是内一点，且．求证：． 25. 若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 26. 尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹） （1）在中，作边的中线，并延长至点N，使； （2）在中，作角平分线； 27. 某校购买同样台数的A型和B型图形计算器．已知A型图形计算器的单价比B型图形计算器的单价低50元，购买A型图形计算器花了36000元，购买B型图形计算器花了38250元．两种图形计算器单价各是多少元？ 28. 【阅读学习】（本题中作图不要求使用尺规作图） 阅读：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （1）在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （2）图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 29. 已知：如图，在中，，点D为上的一点，，点E为延长线上一点且，连接并延长交于点F，连结． （1）求证：； （2）作A点关于的对称点M，分别连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 30. 若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． （1）如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $