精品解析：浙江省温州市第二中学2025－2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2025学年第一学期九年级第三次阶段性练习数学试题卷 考生须知：1．本卷评价内容范围是《数学》九年级上册、九年级下册第1章；全卷满分120分． 2．考试时间120分钟．试题卷共4页，答题卷共6页．解答题请在答题卷答题区域作答，不得超出答题区域边框线． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为，点在外，则线段的长度可能是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 4. 在中，，则的值是（） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（ ） A. 正十八边形 B. 正十五边形 C. 正十二边形 D. 正九边形 8. 某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点E为重心，过点E作于点F，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 10. 已知点，点均在二次函数的图像上，若，则n的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，是锐角，则_______． 12. 如图，点A，B在上，，，则的长为______． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 14. 一个不透明袋中仅装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入5个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为______个． 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为_____． 16. 如图，在中，，将绕点B旋转，使点C的对应点恰好落在的中线上，此时，若，则______． 三．解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）已知，求的值． （2）． 18. 我校滨江校区食堂实行自主排队取餐．如图所示，为方便学生取餐，食堂开设3个窗口，分别记为①，②，③，现假设学生从这3个窗口中随机选取一个取餐． （1）小明去食堂用餐时，选择②号窗口取餐的概率是 ． （2）若小红和小丽一起去食堂用餐，求小红和小丽在同一窗口取餐的概率．请通过画树状图或列表的方式说明你的理由． 19. 如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 如图，已知抛物线过原点O，格点A是该抛物线的顶点． （1）求出该二次函数表达式． （2）点，都在该抛物线上，求m的值． 21. 如图，等腰内接于． （1）请用无刻度直尺和圆规作图：作弦，使过弦的中点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，求的长． 22. 已知y关于x的二次函数． （1）当时， ①求二次函数的顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求m的值． （2）当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值． 23. 为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． （1）求水平路段的长．（精确到） （2）已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 24. 如图1，在中，直径弦于点E，P是中点，交于点F，连接． （1）当时，求的度数． （2）求证：． （3）如图2，连接交于点G，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级第三次阶段性练习数学试题卷 考生须知：1．本卷评价内容范围是《数学》九年级上册、九年级下册第1章；全卷满分120分． 2．考试时间120分钟．试题卷共4页，答题卷共6页．解答题请在答题卷答题区域作答，不得超出答题区域边框线． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为，点在外，则线段的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离）当，点在圆内；当，点在圆外；当，点在圆上；据此作答即可． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴线段的长度． 故选：D． 2. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，令，即可求得该抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：在中，令，得， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：D． 3. 在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的， 因而这是一个不可能事件． 故选C． 【点睛】本题主要了事件，解题的关键在于能够熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 4. 在中，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．先根据正弦函数的定义确定的表达式，再结合已知条件得出结果． 【详解】解：在中，，的对边是，斜边是，所以， 已知，将其代入可得， 所以答案选． 5. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：该抛物线向左平移4个单位，则新的函数表达式为 ， 再向下平移1个单位，则新的函数表达式为， ∴新抛物线的函数表达式为 ． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 7. 如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（ ） A. 正十八边形 B. 正十五边形 C. 正十二边形 D. 正九边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接正多边形等知识，连接，根据圆周角定理确定的度数，然后计算以弦为边所作的内接正多边形的边数，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴， ∴若以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正九边形． 故选：D． 8. 某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接， 由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理计算圆的半径即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 则该干果盘的直径为． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，点E为重心，过点E作于点F，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，连接并延长，交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明，进行求解即可． 【详解】解：连接并延长，交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接， ∵点E为重心， ∴为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 已知点，点均在二次函数的图像上，若，则n的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，由点N在二次函数上且，求得m的取值范围，结合点M的横坐标为，代入函数得n关于m的表达式，结合m的取值范围可得n的取值范围． 【详解】解：∵点在二次函数的图像上， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 令，则， ∴， ∵该函数二次项系数为，且， ∴该函数图像开口向下， 又∵该函数图像的对称轴为， ∴当时，函数随的增大而增大， 当时，可有， 当时，可有， ∴． 故选：B． 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，是锐角，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可获得答案． 【详解】解：因为是锐角，且， 根据特殊角的三角函数值， 所以． 故答案为：45． 12. 如图，点A，B在上，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长的知识，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的长． 故答案为：． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 14. 一个不透明袋中仅装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入5个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为______个． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率的知识，摸到白球的频率为，即白球的概率约为，设红球个数为，则总球数为，列出方程求解． 【详解】解：设袋中红球个数为，则总球数为， 所以摸到白球的概率为， 根据频率估计概率，有，解得 ， 经检验，是原方程的解， 故袋中红球约为30个． 故答案为：30． 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据题意得出顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值，当顶点为B点时，设函数解析式为： ，得出，由于开口大小不变，确定顶点为A点时，则 ，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值， 当顶点为B点时，设函数解析式为： ， 令,则 ，即 ， 设点， 则此时 ， ∵线段的最小值为2， ， ， ， 解得， ， 顶点为A点时，则 ， 令，则 ，即 ， 则此时 ， ， ， （负值舍去）， ∴线段的最大值为 ， 故答案为： ． 16. 如图，在中，，将绕点B旋转，使点C的对应点恰好落在的中线上，此时，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质、直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、旋转的性质，解决本题的关键是利用旋转的性质找到边之间的关系． 根据题意得出可知，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据旋转的性质可证，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，确定，继续利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：点C的对应点恰好落在的中线上，， ，， 又在中，， ， ， ， 由旋转可知：，，， 又， ， ， 由旋转可知：， ， ， ∴， ， 又， ， ． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． ∴， 故答案为： ． 三．解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）已知，求的值． （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】题目主要考查比例的性质及特殊角的三角函数的计算，熟练掌握是解题关键． （1）利用比例的性质计算； （2）利用特殊角的三角函数值计算． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 原式． 18. 我校滨江校区食堂实行自主排队取餐．如图所示，为方便学生取餐，食堂开设3个窗口，分别记为①，②，③，现假设学生从这3个窗口中随机选取一个取餐． （1）小明去食堂用餐时，选择②号窗口取餐的概率是 ． （2）若小红和小丽一起去食堂用餐，求小红和小丽在同一窗口取餐的概率．请通过画树状图或列表的方式说明你的理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：食堂开设了3个窗口，小明去食堂用餐时，选择②号窗口取餐的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 共有9种等可能的结果，其中小红和小丽恰好在同一窗口取餐的结果有3种，所以，P（小红和小丽恰好在同一窗口取餐）． 19. 如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：根据题意得：， ∵， ， （2） 【解析】 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 20. 如图，已知抛物线过原点O，格点A是该抛物线的顶点． （1）求出该二次函数表达式． （2）点，都在该抛物线上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的图像与性质， （1）设该抛物线解析式为，将点代入并求解即可； （2）根据题意可知，进而可知，N关于对称轴对称，易得，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：是顶点， ∴设该抛物线解析式为，将点代入，得：， 解得， ∴该二次函数表达式为； 【小问2详解】 ， ，N关于对称轴对称， ， ， ． 21. 如图，等腰内接于． （1）请用无刻度直尺和圆规作图：作弦，使过弦的中点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1） 解：如下图，弦即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰直角三角形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确理解题意并作出相应图形是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，作直线交于点，连接并延长交于点E，即可获得答案； （2）连接，首先确定的长度，再证明，由相似三角形的性质可得，进而解得，然后计算的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ，且为等腰直角三角形， ，， ∴， ∵点D为弦的中点， ， ∴， 又， ， ∵， ， ，即 ， ． 22. 已知y关于x的二次函数． （1）当时， ①求二次函数的顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求m的值． （2）当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据题意，当时，可得，即可确定该二次函数图像的顶点坐标；②结合，易知当时，y随x的增大而减小，进而可得，且当时，，可知，求解即可获得答案； （2）首先确定该二次函数图像的对称轴为直线，进一步可知当和3时，y有最值，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【小问1详解】 解：①当时， ∴该二次函数图像的顶点坐标为； ②， ∴当时，y随x的增大而减小， ，且当时，， ，解得，（舍去）， ； 【小问2详解】 ∵对称轴直线，且， ∴当和3时，y有最值， 分和两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，最小值为，最大值为， 由题意得，解得，符合； 当时，抛物线开口向下，最大值为，最小值为， 由题意得，解，不符合，故舍去， 综上所述，的值为1． 23. 为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． （1）求水平路段的长．（精确到） （2）已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 【答案】（1） （2） 解：过A分别作于G，于H， ∴四边形为矩形， 设，则，， ， ， ， ， ∴超速了． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）直接根据正切函数计算即可； （2）过A分别作于G，于H，设，则，，根据正切函数得出，再由勾股定理计算得出，然后求速度即可． 【小问1详解】 解：，， ． 【小问2详解】 略 24. 如图1，在中，直径弦于点E，P是中点，交于点F，连接． （1）当时，求的度数． （2）求证：． （3）如图2，连接交于点G，若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 连接，如下图， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ； （3）最小值为4 【解析】 【分析】1）首先根据，P是中点，易得，进而可得，然后根据圆周角定理，即可获得答案； （2）连接，首先证明，再证明，进而可知，结合易得，即可证明； （3）连接，证明，易得，设，则，进而可知，结合即可获得答案． 【小问1详解】 解：， ，且P是中点， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，如下图， ∵， ∴ 又∵， ， ， 设，则， ∴， ， ， ， ∴最小值为4． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定、完全平方公式的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $