精品解析：浙江省杭州市西湖区紫金港中学2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

杭州市紫金港中学2025学年第一学期12月形成性练习 八年级数学试题卷 考生须知： 1.本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号． 3.所有答案都做在答题卷规定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后只需上交答题卷． 一、选择题．本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量的取值范围，理解题意是解决本题的关键． 函数为分式形式，分母不能为零，据此求解即可． 【详解】解：∵，分母， ∴． 故选D． 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 4. 将直线向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的平移即可判断. 【详解】根据”上加下减”可得,向下平移一个单位后的表达式: . 故选B. 【点睛】本题考查一次函数平移的题型,关键在于熟悉平移的技巧. 5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 6. 一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，图象过一，三象限，时，图象过二，四象限，当图象与y轴交于正半轴，当图象与y轴交于负半轴，据此可求解． 【详解】解：∵，， ∴图象过二，三，四象限， 故选：C． 7. 若点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标为（　　） A. （，） B. （，﹣） C. （，﹣5） D. （，5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，根据到x轴距离是到y轴的距离2倍，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴的距离2倍， ∴|2a﹣4|＝2|a+3|， ∴2a﹣4＝2（a+3）或2a﹣4＝﹣2（a+3）， 方程2a﹣4＝2（a+3）无解； 解方程2a﹣4＝﹣2（a+3），得a＝﹣ ， ， ∴点M的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查点到坐标轴的距离，利用方程的思想是关键． 8. 在中，，点在边上（不与点，点重合），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形和直角三角形的性质逐项判定可求解． 【详解】解：如下图， A、∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，该选项正确，符合题意； B、∵，且， ∴，但不一定成立，该选项错误，不符合题意； C、当时，不一定成立，该选项错误，不符合题意； D、当时，不一定成立，该选项错误，不符合题意． 故选A． 9. 如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A. 2或+1 B. 3或 C. 2或 D. 3或+1 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论． 【详解】解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2， ∴A（1，0），B（0，2）． ∴OA＝1，OB＝2． ∴AB＝． ∵AP⊥AB，点C是射线AP上， ∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°， ∵∠OAB＋∠OBA＝90°， ∴∠CAD＝∠OBA， 若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°， 即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO． 如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB， ∴OD＝AD＋OA＝＋1； 如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2， ∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3． 综上所述，OD的长为3或＋1． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 10. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 二、填空题．本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，理解题意是解决本题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 12. 函数是关于的一次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的外角的性质、含的直角三角形的性质，作交于，由角平分线的性质和平行线的性质可得，由含有的直角三角形的性质可得，由角平分线的性质定理可得． 【详解】解：如图，作交于， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， 故答案为：5． 14. 若不等式组无解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 15. 在中，，边上的高为4，将放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴的正半轴上，那么点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质，解题的关键是要先建立直角坐标系． 建立平面直角坐标系，再以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于四点，即为所求． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于点，即为所求． 由图可得，点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 同理可得，点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为． 综上所述，点B的坐标是． 故答案为：． 16. 如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，已知正方形、正方形和正方形中，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而证明，设，则，，分别表示出，，然后作比值求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ，四边形是正方形， ，四边形是矩形， ， 四边形，四边形，四边形都是正方形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ，， ， 又， ， ， ，， 四边形的面积 ， 正方形的面积为： ， ， 故答案为：． 三、解答题．本大题有8个小题，共72分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键． （1）设，把，代入，求出，即可得出答案； （2）把点的坐标代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设， 把，代入得：， 解得：， ， 与之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：点在这个函数图象上， 把点代入得：， ． 18. 如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小． 【答案】（1）证明：∵BA⊥CA，CD⊥BD， ∴∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC与Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）； （2）60° 【解析】 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB； （2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC＝30°，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵△ABC≌△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC＝30°， ∴∠AOB＝∠DBC+∠ACB＝60°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 19. 某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． （1）若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． （2）设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 【答案】（1）选择方案一更划算，理由： 方案一：按标价的九折优惠，购买标价为800元的商品需支付（元）， 方案二：购物金额满500元，超出部分为（元）， 这部分按八折优惠，则需支付（元）； 因为， 所以选择方案一更划算； （2）方案一：；方案二：；当时，方案二更优惠 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，读懂题目信息，理解两种优惠方法是解题的关键． （1）分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的金额，然后再比较即可； （2）先列出方案一：需支付元，方案二：需支付（元），再根据方案二更优惠得，解一元一次不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设顾客购买商品的标价为x元（）， 方案一：需支付元； 方案二：需支付（元）； 若方案二更优惠，则， 移项可得：， 即， 解得， 所以当时，方案二更优惠． 20. 已知：如图，在中，于点F，于点G，D是的中点，于点E．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，． ，D是的中点， 是斜边上的中线， ． 同理，，D是的中点， 是斜边上的中线， ． ． 又， ． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”可得． 【详解】略 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 21. 甲、乙两车分别从相距的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往B地，乙车从地经过小时直达地的同时，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示． （1）分别求出甲、乙两车的速度及关于x的函数表达式． （2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇． 【答案】（1）甲车的速度为，乙车的速度为， （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从函数图象中获取正确的信息． （1）根据路程除以时间可得甲、乙两车的速度，用总路程减去乙行驶的路程可列出函数表达式． （2）通过计算可知乙车在甲车停留时和甲车相遇，再列出式子计算即可． 【小问1详解】 解：甲车的速度为， 乙车的速度为， 根据题意得． 【小问2详解】 解：甲从A地出发，行驶80千米到达C地时，小时， 此时乙车行驶的路程为千米， ∵甲车停留了小时， ∴甲车停留时，乙车又行驶了千米， ∵ ∴乙车在甲车停留时和甲车相遇， 即小时， ∴乙车出发小时后与甲车相遇． 22. 先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：；；， （1）_____；_____； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2）的取值范围为 （3）的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义列出关于的不等式组，解之可得； （3）分情况讨论，分别列出关于的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得； ，， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，即； 当时，，即； 又∵， ∴， 当时，， 当时，； 当时，，， ∴， 解得，满足； 当时，，， ∴， 解得，不满足，舍去； ∴的值为． 23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或或12 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）分3种情况进行讨论求解即可； （3）分两种情况：①点P在线段上时，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，当时，， ∴， 在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，， ∵，，， ∴， 当为等腰三角形时，分3种情况： ①，如图，则：，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得； ②，则； ③，如图： ∵，即， ∴， ∴； 综上：或或12； 【小问3详解】 解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 24. 如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． （1）若，求的度数． （2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． （3）探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 设，， 如图2，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明如下： 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等边对等角可得，再由三角形外角的性质得，最后由直角三角形的性质与角的和差关系即可解答； （2）设，，如图2，延长至点F，使，连接，先证明是的垂直平分线，得，，再证明，即可解答； （3）由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市紫金港中学2025学年第一学期12月形成性练习 八年级数学试题卷 考生须知： 1.本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号． 3.所有答案都做在答题卷规定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后只需上交答题卷． 一、选择题．本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 将直线向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 6. 一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标为（　　） A. （，） B. （，﹣） C. （，﹣5） D. （，5） 8. 在中，，点在边上（不与点，点重合），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A. 2或+1 B. 3或 C. 2或 D. 3或+1 10. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. B. 3 C. D. 9 二、填空题．本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 点关于轴对称的点的坐标为________． 12. 函数是关于的一次函数，则______． 13. 如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则等于______． 14. 若不等式组无解，则实数的取值范围是________． 15. 在中，，边上的高为4，将放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴的正半轴上，那么点的坐标是________． 16. 如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，已知正方形、正方形和正方形中，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为________． 三、解答题．本大题有8个小题，共72分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 18. 如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小． 19. 某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． （1）若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． （2）设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 20. 已知：如图，在中，于点F，于点G，D是的中点，于点E．求证：． 21. 甲、乙两车分别从相距的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往B地，乙车从地经过小时直达地的同时，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示． （1）分别求出甲、乙两车的速度及关于x的函数表达式． （2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇． 22. 先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：；；， （1）_____；_____； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的值． 23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 24. 如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． （1）若，求的度数． （2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． （3）探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $