精品解析：北京市海淀区首都师范大学第二附属中学2025-2026学年七年级上学期数学12月月考试题

首师大二附中初一年级数学自我检测 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列图形中，是圆锥的展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握各个几何体的展开图是解题的关键． 【详解】解：圆锥的展开图的是， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了去括号法则和合并同类项法则，熟练掌握去括号的符号变化规则、准确判断同类项是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则判断各选项的计算是否正确即可． 【详解】A、，∴ A错误，故该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，即，∴ B错误，故该选项不符合题意； C、，∴ C错误，故该选项不符合题意； D、 ，∴ D正确，故该选项符合题意． 故选：D． 3. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 4. 如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法与线段间的计算，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，利用B是线段上靠近点A的三等分点，求出的长，再根据科学记数法的表示方法表示即可得答案． 【详解】解：∵B是线段上靠近点A的三等分点， ∴, 故选：D． 5. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值与有理数的运算法则，掌握有理数与数轴的基本知识是解题的关键． 根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：如图，根据数轴可得， ， ∴A，B，D不符合题意，C符合题意； 故选：C． 6. 小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（ ） A. 小艇A在游船的北偏东，距游船处 B. 小艇B在游船的北偏西，距游船处 C. 小艇A在游船的北偏东，距游船处 D. 小艇B在游船的南偏西，距游船处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解方向角的表示方法是解题关键，利用方向角的表示方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故A错误，不符合题意； B、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故B错误，不符合题意； C、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故C正确，符合题意； D、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故D错误，不符合题意； 故选：C． 7. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（ ） 0 1 2 4 0 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键． 由，解得，根据表格中数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 8. 如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（ ） A. A处 B. B处 C. C处 D. D处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； ∵A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人． 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为． ∵观察线段可得， ∴当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 9. 如图，要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是__________________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题主要考查了直线的性质，根据两点确定一条直线即可得到答案． 【详解】解：要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 10. 写出一个关于的二次三项式，使它的二次项系数为，则这个二次三项式为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次三项式的定义以及多项式的项、系数、次数的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 首先明确二次三项式需包含二次项、一次项、常数项这三项，且最高次项为二次项，再根据题目要求确定二次项系数为，即二次项为，最后任意选取不为的一次项系数和常数项，组合成包含这三项的多项式即可，由于一次项系数和常数项的取值不唯一，因此答案也不唯一． 【详解】解：满足题意的二次三项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，为直线上一点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用邻补角计算可得． 【详解】解：∵∠COB+∠1=180°，， ∴∠1=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求一个角的邻补角，正确掌握邻补角定义：和为180°的两个角互为邻补角是解题的关键． 12. 已知是方程的解，则_________ 【答案】2 【解析】 【分析】把x=3代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把x=3代入方程得：9-2a=5， 解得：a=2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，的余角为，那么________（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的性质，网格中角的大小比较．取格点E，F，使，作射线，，则，由图知的余角为，，进而即可得解． 【详解】解：如图，取格点E，F，使，作射线，，则， 由图知的余角为，， ∴， 故答案为： ． 14. 炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要________分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 ①. 19 ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据生产和冷却要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据产品A，B，C生产和冷却的时间，结合加工要求分情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：生产产品的同时可以冷却其他多个产品， 生产A产品需要2分钟，生产B产品需要7分钟，可在生产B产品的同时冷却A产品， 生产1个A产品1个B产品并冷却1个A产品共需要9分钟，即分钟； 生产C产品的同时冷却B产品，冷却B产品需要10分钟，生产C产品需要6分钟， 生产C产品后还需冷却B产品1分钟， 冷却C产品需要3分钟， 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟， 故答案为：19； （2）由（1）知按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 同理：按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照“”的顺序生产，并完成冷却， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，15，16，17题每题6分；18，21题每题7分；19，20题每题8分；22题10分） 15. 计算：． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决此题的关键，先算乘方，去绝对值，然后进行乘除运算，最后再算加减即可． 【详解】解： ． 16. 解下列方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 对方程依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项，即可求解． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：的值，其中． 【答案】，12 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整数的加减运算法则成为解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 如图，已知四个点A，B，C，D. （1）读下列语句，按要求用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）. ①画线段，画射线，画直线； ②在线段的延长线上取点E，使； （2）在（1）的条件下，比较线段的大小：____（填“”“”或“”），理由是__________. 【答案】（1） ①如图所示，线段，射线，直线即为所求； ②如图所示，点E即为所求； （2），两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了线段，直线，射线的画法，两点之间，线段最短， （1）①根据线段，直线，射线的画法画图即可；②根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）根据两点之间，线段最短可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由两点之间，线段最短可知， 故答案为：，两点之间，线段最短。 19. 如图，已知，且点是的中点． （1）求的长； （2）若线段上有一点，且，求的长． 【答案】（1）10 （2）2或4 【解析】 【分析】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键． （1）先根据线段的和差得到，再由线段中点的定义即可求解． （2）先求出的长，再根据线段的和求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ， 点是的中点， ； 【小问2详解】 解：， ∴， 当点在之间时，； 当点在之间时，； 综上，的长为2或4． 20. 某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于30人，其中有15名男同学，景点门票全票价为50元，对集体购票有两种优惠方案． 方案一：所有人按全票的九折购票； 方案二：前30人全票，从第31人开始每人按全票价的八折购票； （1）若共有40名同学，则选择哪种方案较省钱？ （2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？ 【答案】（1）方案一更省钱 （2）当女同学人数是45人时，两种方案付费一样多 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）分别求出两种方案的费用，再比较大小即可； （2）设当女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，依题意列出一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：方案一：（元）， 方案二：， ∴方案一更省钱． 【小问2详解】 设当女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，依题意，得 ， 解得． 答：当女同学人数是45人时，两种方案付费一样多． 21. 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有________. ① ② ③ （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 【答案】（1）②；（2）；（3）m=n=－2 【解析】 【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）根据和解方程得出方程的解，代入方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解以及已知，分别代入原方程，联立即可求出答案． 【详解】（1）的解是，而 ,则方程不是“和解方程”； 的解是，而，则方程是“和解方程”； 的解是，而，则方程不是“和解方程”； 故填：② （2）由题意可知方程的解x=3＋m， 将x=3＋m代入到方程可得3（3＋m）=m. 解得 （3）由题意可知，方程的解可以表示为x=2＋m＋n， 所以 2（2＋m＋n）=m＋n 4＋2m＋2n=m＋n m＋n=－4 又因为方程的解为x=n, 所以 2n=m＋n. 所以m=n. 所以m=n=－2. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解得应用，读懂题意，正确理解和解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键． 22. [阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] （1）如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； （2）如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】（1）是；不是 （2）①t的值为或；②的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可； （2）①由题意得：，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：，，，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； ∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：是；不是． 【小问2详解】 解：①由题意得：，． ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； 如图所示：当时，即：，则：，解得：， ∴； 综上，当射线位于射线左侧且射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首师大二附中初一年级数学自我检测 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列图形中，是圆锥的展开图的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（ ） A. 小艇A在游船的北偏东，距游船处 B. 小艇B在游船的北偏西，距游船处 C. 小艇A在游船的北偏东，距游船处 D. 小艇B在游船的南偏西，距游船处 7. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（ ） 0 1 2 4 0 A. B. C. D. 8. 如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（ ） A. A处 B. B处 C. C处 D. D处 二．填空题（共6小题，每小题3分） 9. 如图，要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是__________________． 10. 写出一个关于的二次三项式，使它的二次项系数为，则这个二次三项式为________． 11. 如图，为直线上一点，，则______． 12. 已知是方程的解，则_________ 13. 在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，的余角为，那么________（填“>”，“<”或“=”）． 14. 炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要________分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照________的顺序生产． 三．解答题（共8小题，15，16，17题每题6分；18，21题每题7分；19，20题每题8分；22题10分） 15. 计算：． 16. 解下列方程：． 17. 先化简，再求值：的值，其中． 18. 如图，已知四个点A，B，C，D. （1）读下列语句，按要求用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）. ①画线段，画射线，画直线； ②在线段的延长线上取点E，使； （2）在（1）的条件下，比较线段的大小：____（填“”“”或“”），理由是__________. 19. 如图，已知，且点是的中点． （1）求的长； （2）若线段上有一点，且，求的长． 20. 某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于30人，其中有15名男同学，景点门票全票价为50元，对集体购票有两种优惠方案． 方案一：所有人按全票的九折购票； 方案二：前30人全票，从第31人开始每人按全票价的八折购票； （1）若共有40名同学，则选择哪种方案较省钱？ （2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？ 21. 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有________. ① ② ③ （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 22. [阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] （1）如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； （2）如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $