精品解析：吉林省四平市伊通满族自治县2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

伊通满族自治县2025——2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 试卷满分120分 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 在二次函数中，函数与自变量部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 6. 如图，都是的弦，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 8. 如图，已知是圆内接三角形，若，则______度． 9. 如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 11. 若一个圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为____． 三、解答题（共87分） 12. 如图，是的直径，的半径为，的长为，求弦的长． 13 解方程：． 14. 某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 15. 甲、乙、丙三名选手参加“飞花令”比赛，他们通过摸球方式决定首场比赛的对手：在一个不透明的口袋中放入两个黑球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，三人从中各摸出一个球，摸到黑球的两人即为首场比赛的对手． （1）若甲第一个摸球，则他摸到黑球的概率是______； （2）求乙、丙两人成为首场比赛对手的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）直接写出该抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标． 17. 将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放在一起，上面这张纸片绕着直径的一端顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，点的对应点为点，圆心的对应点为点，弧与直径交于点，连接点与圆心，求弧的长． 18. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 19. 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E． （1）求证：∠CDB=∠A； （2）若BD=5，AD=12，求CD的长． 20. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t(s)，四边形PBDQ的面积为S(cm2). (1)当点P到达边AB的中点时，求PQ的长； (2)求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)连接DP，当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值． 22. 如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． （1）①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； （2）若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； （3）若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊通满族自治县2025——2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 试卷满分120分 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角度数和外接圆的定义，找到正多边形的外接圆圆心和正多边形的关系是解题关键． 利用先求出正六边形的内角度数，再通过正六边形的外接圆中边所对圆心角的度数，得到正六边形的边与外接圆的半径的关系即可． 【详解】解：如图，正六边形每个边所对圆心角为， 故图中正六边形的任意两个相邻顶点与外接圆圆心之间的连线构成的三角形是等边三角形， 所以正六边形的边长等于外接圆半径， 所以半径为， 故选：C． 5. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 6. 如图，都是的弦，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3， 解得：a=3． 故答案是：3． 考点：根与系数的关系． 8. 如图，已知是圆内接三角形，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】由，，根据等边对等角，即可求得，又由三角形内角和定理，求得的度数，然后利用圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 9. 如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】由条件可知，， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11. 若一个圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°，根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】如图，∵圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°， ∴∠DAC=120°，扇形ACD的半径为AD=12， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题（共87分） 12. 如图，是的直径，的半径为，的长为，求弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理由是的直径得到，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：是的直径， ， 中，，， ， 即弦的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，也考查了勾股定理的运算． 13. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 先去括号，整理成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的解法解方程即可． 【详解】解：， 整理，得， 配方，得， ， 于是，得， 解得． 14. 某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 【答案】50% 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 根据增长率问题的公式，列方程求解即可． 【详解】解：设该工厂二、三月份的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得（舍去）， 答：该工厂二、三月份的月平均增长率为50%． 15. 甲、乙、丙三名选手参加“飞花令”比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的对手：在一个不透明的口袋中放入两个黑球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，三人从中各摸出一个球，摸到黑球的两人即为首场比赛的对手． （1）若甲第一个摸球，则他摸到黑球的概率是______； （2）求乙、丙两人成为首场比赛对手的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2）乙、丙两人成为首场比赛对手的概率为 【解析】 【分析】对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列表表示出所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，最后根据概率公式结算． 【小问1详解】 一共有3个球，黑球有2个，所以他摸到黑球的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 黑1 黑2 白 黑1 （黑2，黑1） （白，黑1） 黑2 （黑1，黑2） （白，黑2） 白 （黑1，白） （黑2，白） 所有可能的结果有6种，其中符合题意的结果有2种． 所以． 【点睛】本题主要考查了列表法求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 17. 将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放在一起，上面这张纸片绕着直径的一端顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，点的对应点为点，圆心的对应点为点，弧与直径交于点，连接点与圆心，求弧的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，弧长的计算，通过旋转的性质求出的度数是解题关键． 利用旋转性质，得到的度数，再通过等边对等角求出的度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由旋转可知，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵的半径为10， ∴弧的长为． 18. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 【答案】（1） （2）当矩形花园的面积为时，的长为或 （3）如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），矩形花园面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）根据矩形面积长宽求解； （2）令，解一元二次方程求解； （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴的长为或； 【小问3详解】 解：∵点P在矩形内部， ∴， 解得， ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 19. 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E． （1）求证：∠CDB=∠A； （2）若BD=5，AD=12，求CD的长． 【答案】（1）∠CDB=∠A；（2）CD=． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等得出结论； （2）根据直径得出∠ADB=90°，根据勾股定理得出AB的长度，根据等面积法求出DE的长度，根据垂径定理可得CD=2DE，求出CD的长度． 【详解】（1）∵AB为直径， ∴AB⊥CD， ∴， ∴； （2）∵AB为直径， ∴， 又∵BD=5，AD=12， ∴AB=13， 又∵AB⊥CD， ∴， 又∵AB为直径，AB⊥CD， ∴． 【点睛】考点：垂径定理的应用. 20. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由可得，于是可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出的度数；由旋转的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，根据即可求出四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，由旋转的性质可得：，， ， ， 是等边三角形， ； 如图，由旋转的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ； 故答案为：，； （2）如图，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长为； （3）如图，连接， 由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，， 点落在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t(s)，四边形PBDQ的面积为S(cm2). (1)当点P到达边AB的中点时，求PQ的长； (2)求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)连接DP，当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，直接写出t值，并写出此时S的值． 【答案】（1）cm；（2）S==-6t2+24t-18（1＜t＜2）；（3）t的值为s或s，S=4cm2． 【解析】 【分析】（1）根据题意用t表示出AP、AQ，求出AP，计算即可； （2）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算； （3）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，当点P在线段AB上时，AP=4t，AQ=3t， 当点P到达边AB的中点时，AP=2，即4t=2， 解得，t=， ∴AQ=， ∴PQ=（cm）； （2）当点P在边AB上时， S=×AB×AD-×AP×AQ =6-6t2（0＜t＜1）； 当点P在边BC上时， CP=3-3（t-1）=6-3t，CQ=4-4（t-1）=8-4t， S=×BC×CD-×CP×CQ =-6t2+24t-18（1＜t＜2）； （3）当点P在边AB上时，由题意得，×3t×4t=×3×4， 12t2=4， 解得，t=， 当点P在边BC上时，由题意得，×[3-3（t-1）]×[4-4（t-1）]=×3×4， 解得，t1=（舍去），t2= 答：当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，t值为s或s，S=4cm2． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22. 如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． （1）①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； （2）若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； （3）若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 【答案】（1）①；②；③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②把函数解析式化为顶点式，即可求解；③利用待定系数法解答即可； （2）设点P的坐标为，可得，再求出，然后根据，结合二次函数的性质解答即可； （3）根据平行四边形的性质可得轴，从而得到点M的纵坐标为3，即可求解． 【小问1详解】 解：①把分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 故答案为： ②∵， ∴顶点D的坐标为； 故答案为： ③设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为： 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 对于，当时，， ∴点C坐标为， 即， ∴四边形面积， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵点C的坐标为， ∴点M的纵坐标为3， 对于，当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $