精品解析：江苏省南京市第一中学　2024-2025学年上学期八年级十二月月考数学卷

八年级数学 一、选择题 1. 下列六个数：，，，，0，，其中无理数的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是一组勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. ，， C. 1，1， D. 5，13，13 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（ ） A. (1，－2) B. (2，1) C. (－2，1) D. (2，－1) 6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作直线交于点E，交于点F，过点O作于D，有下列四个结论： ①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 7. 数23500精确到千位为_________ 8. 函数的自变量x的取值范围是______． 9. 点在函数的图象上，则点的坐标是________． 10. 已知等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长是_________． 11. 如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 12. 将一次函数的图象向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度后得到的函数表达式是__________． 13. 如图所示，数轴上点所表示的数为__________． 14. 下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为__________． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 求的值： （1）； （2）． 18. 一次函数，当时，；当时，．求和的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出C点坐标； （2）先将沿x轴翻折，再沿x轴向右平移4个单位长度后得到，请在网格内画出； （3）在（2）的条件下，的边上一点的对应点的坐标是 ． 20. 已知，如图，在中，是的中点，于，于，且，求证：是等腰三角形． 21. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 已知：如图，在中，． 求证：． 22. 已知一次函数． （1）在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； （2）若，当时，求的取值范围． （3）若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 23. 如图，．请你连结． （1）求线段的长； （2）求四边形的面积 24. 如图，中，，，． （1）尺规作图：在边上找一点，使点到的距离等于点到点的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若边的垂直平分线与边交于点，求的长． 25. 【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题 1. 下列六个数：，，，，0，，其中无理数的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查无理数的定义，立方根，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断每个数． 【详解】解：∵，为整数， ∴是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵3.1415是有限小数， ∴是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵0是整数， ∴是有理数； ∵3不是完全平方数， ∴是无理数. ∴无理数有和，共2个． 故选：C． 2. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等．已知一组边和一组角，添加条件后判断是否满足，或即可． 【详解】解：A．添加后，结合已知，满足，能判定全等； B．添加后，结合已知，满足，不能判定全等； C．添加后，结合已知，满足，能判定全等； D．添加后，结合已知，满足，能判定全等； 故选：B． 3. 下列各组数中，是一组勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. ，， C. 1，1， D. 5，13，13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：A、，是一组勾股数，故选项符合题意； B、，，都是分数，不是正整数，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； C、不是正整数，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； D、，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键．函数通常表示为一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的映射关系据此解答即可． 【详解】解：A、由图可得，任意一个x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； B、由图可得，存在x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； C、由图可得，任意一个x对应着一个y的值，能表示y是x的函数，符合题意； D、由图可得，存在x对应着三个（或两个）y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 5. 若点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（ ） A. (1，－2) B. (2，1) C. (－2，1) D. (2，－1) 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出点的横、纵坐标的符号，再根据点到轴、轴的距离即可得． 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标为正数，纵坐标为负数， 点到轴的距离为1，到轴的距离为2， 点的纵坐标为，横坐标为2， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握各象限内的点坐标的符号规律是解题关键． 6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作直线交于点E，交于点F，过点O作于D，有下列四个结论： ①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得②正确；与不一定平行，进而得出①不正确；过点O作于M，作于N，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出④正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论③正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴②符合题意； ∵和的平分线相交于O， ∴， ∵与不一定平行， ∴与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定相等，与不一定相等， ∴， ∴故①错误； 如图： 过点O作于M，作于N，连接， ∵和的角平分线相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴④符合题意； 由， 即点O到各边的距离相等， ∴③符合题意； ∴正确的结论有：②③④，共3个， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点． 二、填空题 7. 数23500精确到千位为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：数23500精确到千位是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式． 8. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】x≤3 【解析】 【详解】由题意可得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3． 9. 点在函数的图象上，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质． 将代入计算即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 即点A的坐标为． 故答案为：． 10. 已知等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长是_________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据2和6可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，6，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形， 当6为腰时，三边为6，6，2，符合三角形三边关系定理，周长为：6+6+2＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，6，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论． 11. 如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，再证明垂直平分，得到，，求得，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 将一次函数的图象向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度后得到的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 根据一次函数图象的平移规律：“上加下减，左加右减”求解即可得． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移4个单位长度，得到，再向左平移3个单位长度，得到， 故答案为：． 13. 如图所示，数轴上点所表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为， ∴数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 14. 下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，设一次函数解析式为，根据对应点代入解析式，可得：，，，利用整体代入法求的值． 【详解】解：设一次函数解析式为， 当时，， 可得：， 当时， ， 可得：， 当时，， 可得：， ． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点H使，连接，构造可得，即可得的最小值为，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长至点H使，连接如图： ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 在中， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短等知识，解题关键是构造全等三角形，题目难度大，是中考常考题型． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根，乘方，立方根，绝对值，准确理解运算顺序，并正确计算是解答本题的关键． （）本题可根据算术平方根、立方根以及零指数幂的定义分别计算各项，再进行求和； （）本题可根据算术平方根、立方根以及绝对值的定义分别计算各项，再进行运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 17. 求的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）根据立方根的定义进行解方程，即可得到答案； （2）先移项，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得． 18. 一次函数，当时，；当时，．求和的值． 【答案】, 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法把点和代入即可求得． 【详解】一次函数解析式为， 把，；，代入得 ， 解得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出C点坐标； （2）先将沿x轴翻折，再沿x轴向右平移4个单位长度后得到，请在网格内画出； （3）在（2）的条件下，的边上一点的对应点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】此题考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用A，B点坐标建立平面直角坐标系得出答案； （2）利用轴对称以及平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）先求出关于x轴对称的点的坐标，再利用平移的性质得出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在（2）的条件下，的边上一点沿x轴翻折后的坐标为，再向右平移4个单位的坐标是：． 故答案为：． 20. 已知，如图，在中，是的中点，于，于，且，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵D是的中点， ∴， ∵于E，于点F， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质是解题的关键． 先用证明，则有，即，是等腰三角形． 【详解】略 21. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 已知：如图，在中，． 求证：． 【答案】 证明：如图，取的中点，连接. 是边上的中线， . ， . 是等边三角形． . ， . . 【解析】 【分析】本题考查的是证明直角三角形的角和等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形角的性质的证明是关键． 取中点，连接，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出等边三角形，求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】略 22. 已知一次函数． （1）在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； （2）若，当时，求的取值范围． （3）若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系，掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键． （1）由一次函数图象的增减性解答． （2）若，则一次函数，根据增减性即可求出最值． （3）根据一次函数的性质列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：若随的增大而增大，则， 解得，． 【小问2详解】 解：若，则一次函数， 由于，所以随的增大而减小； 所以当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 所以的取值范围为 ； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得，． 23. 如图，．请你连结． （1）求线段的长； （2）求四边形的面积 【答案】（1）5 （2）24 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，直角三角形面积计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． 24. 如图，中，，，． （1）尺规作图：在边上找一点，使点到的距离等于点到点的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若边的垂直平分线与边交于点，求的长． 【答案】（1）则点P即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，交于点，即可得解； （2）设，则，根据勾股定理，得，计算即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，勾股定理，角的平分线基本作图和性质，点到直线的距离的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：作的角平分线，交于点． 【小问2详解】 解：由， 得， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 25. 【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①②存在， 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）①根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；②求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）①∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ②∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $