期末模拟试卷【提高卷 】2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 八年级数学期末模拟试卷（提高卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题 1. 下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：题中给出的数，属于无理数的有：，，， ∴无理数的个数为：3个， 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的数有0，1 C．是36的算术平方根 D．立方根等于本身的数有－1，0，1 【答案】D 【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、，立方根是2，存在，故本选项错误； B、平方根等于本身的数是0，故本选项错误； C、6是36的算术平方根，故本选项错误； D、立方根等于本身的数有－1，0，1，故本选项正确； 故选D． 【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，任何实数都有立方根． 3. 下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个实数根，故A符合题意； B、， 方程没有实数根，故B不符合题意； C、由，得， ∵， ∴方程没有实数根，故C不符合题意； D、， 当时，方程没有实数根，故D不符合题意； 故选：A． 4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的　　 A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5. 下列四个结论中，正确的是（ ） A. 斜边上的中线相等的两个直角三角形全等； B. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； C. 面积相等的两个直角三角形全等； D. 周长相等的两个直角三角形全等． 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定分别判断即可． 【详解】A：斜边上的中线相等，只能判断两斜边相等，不能判定全等，故A是假命题； B：可利用来判定全等，故B是真命题； C：面积相等的两个直角三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，故C是假命题； D：周长相等的两个直角三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，故D是假命题； 故选：B． 6. 如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于，求出，推出，，，即可推出A，B正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断D；根据含度角的直角三角形的性质判断C选项． 【详解】解：延长交延长线于， ∵， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ，， ；平分； ∴， 故A，B选项正确， 取中点，连接， ，分别是，的中点， 是梯形是中位线 ， ， ， ，故D选项正确， 当时，，故C选项不一定成立 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，梯形的性质，关键是推出是等腰三角形． 二、填空题 7. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 8. 比较大小：________（填“”或“=”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知两个负数相比较，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 根据负数比较大小的法则解答即可． 【详解】解： ， ， 故答案为： 10. 不等式的解集是________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 即 ∵， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 11. 将根号外的因式移到根号内：_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 12. 若关于的方程有实根．则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当=0时，方程为一元一次方程； 当k≠0时，方程是一元二次方程.分别求出k的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当=0时，方程为，有实根； 当k≠0时，方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式△=b2-4ac=4（k+1）2-4k2=8k+4≥0， 即， 且k≠0． 综合上述两种情况可知，当时，关于的方程有实根. 故答案是：. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．分类讨论是解题关键，此题很容易因考虑不周而出错． 13. 在实数范围内因式分解：=______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式及公式法可进行求解． 【详解】解： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查实数与因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14.已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则的值是_______ 【分析】先通分，再进行同分母的减法运算得到原式，接着根据根与系数的关系得到m+n＝﹣4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解： ， ∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1， ∴4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 15. 某商场三月份的销售额是100万元，计划五月份销售额达到121万元，若每个月的增长率都是，则可以列方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“+”，下降用“”． 可设平均增长率为，则四月份的营业额是，五月份的营业额是，则可以得到方程即可． 【详解】解：设平均增长率为． 根据题意得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于__________． 【答案】8 【解析】 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故答案为8． 点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 17. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB=_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算． 【详解】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图， ∵∠C=90°，AC=2， ∴CD=1,BD=2 ∴, ∴ 当BC边上的中线AE等于BC时， ∵AC2=AE2−CE2， ∴BC2−(BC)2=22， 解得，BC2=， ∴, 综上所述，AB=或AB=, 故答案为或. 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 18. 如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据勾股定理可求，的长，即可求，，分类讨论当点落在上；当点落在上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、旋转的性质，可求的面积． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵在中，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点在边上，， ∴，， 当点在上时，过点作于点， ∵是由旋转得到， ∴，且， 是等边三角形， ∴，且，， ∴，， ∴， 如图，当点在上时， ∵是由旋转得到， ∴， 在中，， ∴， 综上所述：的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 20. 解方程：． 【答案】x1=1，x2=5 【解析】 【分析】先去分母，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】， ， ， ， ∴x1=1，x2=5 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 21. 用配方法解方程：． 【答案】x1＝+3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】根据配方法，两边配上一次项系数一半的平方即可得到，然后利用直接开平方法求解． 【详解】解：x2-2x＝4， x2-2x+5＝4+5，即（x-）2＝9， ∴x-＝±3， ∴x1＝+3，x2＝﹣3． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法与步骤是解题关键． 22.如图，在四边形中，，，，．    (1)求的度数； (2)点B到的距离为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据已知先证明是等边三角形，从而可得，，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，从而利用勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：连接． ∵，， ∴是等边三角形，    ∴，． ∵，， 则，， ∴， ∴是直角三角形，边所对的角是直角 ∴， ∴； 即 （2）过点作，垂足为，    是等边三角形， ， ； ∴点B到的距离为． 23．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 24. 如图，在中，，、边上的高、交于点H，点F、G分别是、的中点． （1）求证：； （2）联结，求证等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据、分别为、边上的高，得到，再根据，得到，即可得到证明； （2）由（1）得，根据点G是的中点得到，，同理得到，从而得到，即可得证明． 【小问1详解】 证明∵、分别为、边上的高 ∴、、是直角三角形， ∴，， ∴ 在中， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∵ ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵； ∴， 在中，点G是的中点， ∴， ∴ 同理，， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查全等三角形性质与判定，直角三角形斜边上中线等于斜边一半及直角三角形两锐角互余，解题的关键是经过角度互余转换等到线段相等． 25. 云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】（1）每间商铺的长为米，宽为米 （2）小王每月需要付给经营者元租金 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 26. 如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点． （1）若点在边上， ①证明：； ②证明：； （2）若，，直接写出边的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，推出，，，证即可； ②连接，根据直角三角形斜边上中线求出，推出，推出，推出即可； （2）求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 ①证明：连接，，是边上的中线，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ； ②证明：连接， ，为的中点， ， ，为的中点， ， ， ． 又， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 如图，当在线段上时， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 如图，当E在线段CA延长线时， ， 综合上述：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 八年级数学期末模拟试卷（提高卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题 1. 下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2．下列说法正确的是（    ） A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的数有0，1 C．是36的算术平方根 D．立方根等于本身的数有－1，0，1 3. 下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的　　 A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5. 下列四个结论中，正确的是（ ） A. 斜边上的中线相等的两个直角三角形全等； B. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； C. 面积相等的两个直角三角形全等； D. 周长相等的两个直角三角形全等． 6. 如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ） A. 平分 B. C. D. 二、填空题 7. 的平方根是____． 8. 比较大小：________（填“”或“=”或“”）． 10. 不等式的解集是________. 11. 将根号外的因式移到根号内：_____________ 12. 若关于的方程有实根．则实数的取值范围是______． 13. 在实数范围内因式分解：=______________． 14.已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则的值是_______ 15. 某商场三月份的销售额是100万元，计划五月份销售额达到121万元，若每个月的增长率都是，则可以列方程是________． 16. 如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于__________． 17. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB=_______． 18. 如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 用配方法解方程：． 22.如图，在四边形中，，，，．    (1)求的度数； (2)点B到的距离为______． 23．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 24. 如图，在中，，、边上的高、交于点H，点F、G分别是、的中点． （1）求证：； （2）联结，求证等腰直角三角形． 25. 云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 26. 如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点． （1）若点在边上， ①证明：； ②证明：； （2）若，，直接写出边的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $