期末模拟试卷【培优卷】 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 八年级数学期末模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题 1. 下列根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．=2，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，不是最简二次根式； 故选C． 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，关键是能准确地求一个数的平方根、算术平方根和立方根． 根据平方根、算术平方根和立方根的知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、负数也有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、64的立方根是4，原说法错误，故此选项不符合题意； D、∵，25的算术平方根是5，∴的算术平方根是5说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ） A. 8，15，17 B. ，2， C. ，， D. 1，2， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意； B、∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项符合题意； C、∵，∴此三角形是直角三角形，故选项不符合题意； D、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 下列关于的方程中，一定有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ， ∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意； B. ， ∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意； C. ，，当时，， ∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意； D. ，， ∴原方程有实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足，分别进行判断即可； 【详解】的，故A错误； 的，可能大于0，也可能小于0，故B错误； 的，故C正确； 的，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键． 6. 如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ） A. ∠ACD=∠B B. CM= C. ∠B=30 D. CD= 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的余角相等判断A；根据勾股定理和直角三角形的性质判断B；根据三角形的面积公式计算，判断D． 【详解】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°． ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，故A正确，不符合题意； 在Rt△ACB中，AB2． ∵∠ACB=90°，CM是斜边上的中线，∴CM，故B正确，不符合题意； 在Rt△ACB中，AB=2，AC=2，∴∠B≠30°，故C错误，符合题意； 2×42CD，解得：CD，故D正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 二、填空题 7. 下列各式中，是的有理化因式的是______ 【答案】 【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可。 【详解】的有理化因式是， 【点睛】本题考查分母有理化，如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫互为有理化因式，解题的关键是熟知其定义． 8.在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，之间用较大的数减去较小的数即可得到答案． 【详解】解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是， 故答案为：． 9.已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 10. 将根号外的因式移到根号内：_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 11. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键． 12. 等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握一边分别为腰长和底边两种情况，进行分类讨论是解题的关键． 分别讨论当1为底时，腰长为方程的两个相等的实数根，根据判别式的意义得出，解方程；当腰长为1，则为方程的一个根，求出k，转化一元二次方程，求出解，并根据三角形三边关系判断，即可得出三角形周长．， 【详解】当底边为1时，则腰长为方程的两个相等的根， ，解得， 方程转化为，解得： ∴1、3、3符合三角形三边关系， 当腰长为1时，则为方程的一个根， ，解得， 方程转化为，解得，， ， 1、1、5不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 三角形的周长为， 故答案为：7 13.已知、满足，则 ． 【答案】或34 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：依题意，得：， 解得：； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； ∴的值为或34， 故答案为：或34． 14. 随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，由题意列出关于x的方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，则10月份完成投送的快递件数为万件，则11月份完成投送的快递件数为万件，根据11月份完成投送的快递件数为24.2万件，列出一元二次方程即可 【详解】解：设该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，根据题意得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出一元二次方程是解题的关键． 15. 若满足且，则 _____________ 【答案】 【解析】 【分析】配方法解一元二次方程得，；因为，可知有两种取值组合，；，；分别代入求值即可． 【详解】解：由，解得； 由，解得； ，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，根式加减中分母有理化，绝对值等知识点．解题的关键在于正确的配方求值以及用平方差将分母有理化． 16. 如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______． 【答案】26°##26度 【解析】 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 17. 如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转角相等可得，进而勾股定理求解即可 【详解】解：四边形是正方形 将绕点B顺时针方向旋转,能与重合， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键． 18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当落在边上时，如图（1）： 设交于点， 由折叠知：, ,, ，， 设，则在中， 在中， 即． 当落在边上时，如图（2） 因为折叠， ． 故答案为：或 【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、分母有理化和去绝对值的方法，可以解答本题． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 20. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先对方程进行整理，然后根据因式分解法进行求解即可． 详解】解：， ， ． 解得 或． 所以 原方程解为，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 21. 用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用配方法解一元二次方程即可得． 详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 22.如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1）的度数为； （2）的长为1.4． 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，是边上的中线， ， ， ， 的度数为； （2）在中，，， ， 的面积， ， ， 解得：， ， ， 的长为1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 23．如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明． 【详解】（1）如图：连接、， 、分别是、边上的高， ,， 在与中， M是线段的中点， ,， ， 是等腰三角形， 又因为N是线段的中点， ； （2）在中，， ， 由（1）可知： ， ，， ， ， ， 由（1）可知是等腰三角形， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键． 24.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）求：m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值； （3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，结合m的取值范围即可得出m的值； （3）将x＝7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长． 【解答】解：（1）由题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0， 解得：m≥2； （2）由题意可知：x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5， 由（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得： x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，即m2﹣2m﹣24＝0， 解得：m＝6或m＝﹣4， 由（1）知m≥2， ∴m＝6； （3）由题意，当7是底边时，x1＝x2， ∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解之m＝2， 此时原方程为x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵3+3＜7，不能组成三角形； 当7 是腰时，x1＝7或x2＝7，即7是方程的一个根， 将x＝7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得：m＝4或m＝10， 当m＝4时方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3， 周长为17； 当m＝10时，方程的另一个根为15，7+7＜15，此时不能构成三角形； 综上述，三角形的周长为17． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，等腰三角形性质，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出Δ＝8m﹣16≥0；（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程；（3）熟悉方程的解及三角形三边关系． 25.为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 26. 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G． （1）求证：EA=EG； （2）若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，试用x的关系式表示y. （3）联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在BA上截取BM=BC=2，在Rt△ACB中，由勾股定理，可得AB=4，进而可得∠A=30°，∠B=60°；由DE=DB，可证△DEB是等边三角形，∠BED=60°，由外角和定理得∠BED=∠A+∠G，进而得∠G=30°，所以∠A=∠G，即可证EA=EG； （2）由△DEB是等边三角形可得BE=DE，由BD=x，FC=y，得BE=x， DE=x，AE=AB-BE=4-x，在Rt△AEF中，由勾股定理可表示出 ，把相关量代入FC=AC-AF，整理即可得x的关系式。 （3）连接DF，根据等腰三角形的判定定理，有两条边相等的三角形是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时③当时，分别计算即可得BD的长． 【小问1详解】 如图，在BA上截取BM=BC=2， Rt△ACB中，∠C=90° ∵AC=2，BC=2， ∴AB= ∴AM=AB-BM=2， ∴CM=BM=AM=2， ∴△BCM等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠A=30°， ∵DE=DB，∴△DEB是等边三角形， ∴∠BED=60°， ∵∠BED=∠A+∠G， ∴∠G=30° ∴∠A=∠G， ∴EA=EG． 【小问2详解】 ∵△DEB是等边三角形， ∴BE=DE 设BE=x，则DE=x，AE=AB-BE=4-x ∵∠A=30°，∠AEF=90°， ∴EF=， Rt△AEF中， ∴ ∵FC=AC-AF， ∴ y = 【小问3详解】 连接DF， Rt△ACB中，∠C=90° ∴ ∵AC=2，BC=2，BD=x， ∴AB=4，EA=EG=4-x，，， ①当时，在Rt△DCG中， ∴， ， 解得：（舍去），； ②当时， 在Rt△DCG中，∠G=30°， ∴DG=2DC， ∴CG= ∴， 解之得：； ③当时，在Rt△DCF中， ， ∴， ， 解得：； 综上所述：BD的长为或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定等有关知识，正确进行分析，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 八年级数学期末模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题 1. 下列根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 3. 用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ） A. 8，15，17 B. ，2， C. ，， D. 1，2， 4. 下列关于的方程中，一定有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ） A. ∠ACD=∠B B. CM= C. ∠B=30 D. CD= 二、填空题 7. 下列各式中，是的有理化因式的是______ 8.在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是______． 9.已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 10. 将根号外的因式移到根号内：_____________ 11. 不等式的解集是___________． 12. 等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是________． 13.已知、满足，则 ． 14. 随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，由题意列出关于x的方程：______． 15. 若满足且，则 _____________ 16. 如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______． 17. 如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______． 18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________． 三、解答题 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 用配方法解方程：． 22.如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 23．如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 24.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）求：m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值； （3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 25.为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 26. 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G． （1）求证：EA=EG； （2）若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，试用x的关系式表示y. （3）联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $