安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高二上学期数学统一作业（四）试题

合肥八中2025-2026学年高二上学期数学统一作业（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：李孔莹 审题人：阮正浩 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线：的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 4．已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 8．已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9．下列说法错误的是（   ） A．若空间向量，满足，则与夹角为锐角. B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底. C．若，则存在唯一的实数，使. D．向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1. 10．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D．符合条件的点有且仅有2个 11．已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（   ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．过点作圆的切线，切线方程为或 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线，若，则值为 . 13．已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且在抛物线的准线上的一点满足，则 . 14．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 四、解答题（共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知两个定点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16．已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 17．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值： (2)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 19．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2025-2026学年高二上学期数学统一作业（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：李孔莹 审题人：阮正浩 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线：的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 4．已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 8．已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9．下列说法错误的是（   ） A．若空间向量，满足，则与夹角为锐角. B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底. C．若，则存在唯一的实数，使. D．向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1. 10．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D．符合条件的点有且仅有2个 11．已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（   ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．过点作圆的切线，切线方程为或 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线，若，则值为 . 13．已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且在抛物线的准线上的一点满足，则 . 14．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 四、解答题（共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知两个定点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16．已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 17．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值： (2)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 19．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《合肥八中2025-2026学年高二上学期数学统一作业（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C D B D D C 题号 9 10 11 答案 ABC AC BCD 1．A 【分析】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：A 2．C 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 3．C 【分析】连接，根据向量的线性运算与共线定理运算即可. 【详解】连接，    因为点为的中点， 所以 即，. 故选：C. 4．D 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，则直线的斜率，直线的斜率，    因为直线过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 5．B 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 6．D 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解直线与直线所成角的余弦值即可. 【详解】连接 在圆锥中有平面，平面，所以 又是底面圆直径，所以为中点，因为，所以， 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为.    故选：D. 7．D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 8．C 【分析】由椭圆定义可得，，由焦距为，得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，根据，解得，从而得，在中，由余弦定理求得，即可得答案. 【详解】由椭圆定义得， 又， 则，， 又因为焦距为， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 同理在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 又， 则， 即 解得， 又因为， 即， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以． 故选：C. 9．ABC 【分析】举例判断AC；根据共面向量的定义求解判断BD. 【详解】对于A，当与方向相同时，且都不为零向量时满足， 但与夹角为0，故A错误； 对于B，由于是空间中的一组基底，则不共面， 因为，所以共面， 所以不是空间的一组基底，故B错误； 对于C，当时，，但不存在唯一的实数，使，故C错误； 对于D，若向量，，共面，则， 即， 则，解得，故D正确. 故选：ABC 10．AC 【分析】由椭圆的定义、方程和性质，结合直线的斜率公式和向量数量积的性质，对选项分析即可得到结论． 【详解】由题知，因为，即，解得，所以离心率，故A正确； 若，连接，在中，由勾股定理得，      又因为点在椭圆上，所以，所以， 又，解得，所以，故B错误； 设，    则， 又因为点在椭圆上，所以， 因为，所以，从而， 所以为定值，故C正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，    又因为， 所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】A：将问题转化为求的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果. 【详解】A：因为，当最小时，取最小值， 取最小值时即为到直线的距离，所以最小值为， 所以的最小值为，故A错误； B：设，，所以中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 又圆，两圆方程相减可得， 即为 令，解得， 所以公共弦所在直线过定点，故B正确； 对于C：对于， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以中点的坐标为，， 故以为直径的圆的方程为， 又因为，且， 所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即， 因为与圆相切，所以，所以，解得， 所以切线方程为或，故D正确； 故选：BCD. 12．2 【详解】由得:：； 由得，解得：或 由得,所以 13．2 【分析】由所给向量关系可得点C在直线AB上，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出即可作答. 【详解】过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为N，M，令准线交x轴于点K，如图：    则有，因点C在准线上且满足，即点C是直线AB与准线的交点， 于是有，得，从而有，即点F是线段AC的中点， 而，则有,又， 所以. 故答案为：2 14． 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 15．(1) (2)或 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【详解】（1）设点， ， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； （2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 16．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 17．(1) (2)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （2）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【详解】（1）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）存在点，使得点到平面的距离为，且，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E，使得点到平面的距离为，此时. 18．(1)； (2). 【分析】(1) 利用实轴长和离心率求双曲线的基本量，进而得方程； (2) 联立直线与双曲线，结合韦达定理和距离公式求参数，进而求得的坐标，从而求得三角形面积. 【详解】（1）由实轴长为，得. 离心率，故. 由，得. 因此双曲线的方程为. （2）直线与轴交于， 联立与双曲线方程得， 设、，双曲线渐近线方程为， 由直线与右支相交于两点，得. ， 由韦达定理，. ，同理， 故：， 解得（）. 将代入联立方程，得， 解得、，对应、. 即， 因此的面积为：. 19．(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 答案第8页，共16页 答案第7页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $