精品解析：河南省新乡市部分学校联考2025-2026学年八年级上学期期末质检数学试卷

河南省2025−2026学年第一学期期末质检试卷 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 传统文化如下为篆书书写的“大美河南”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 极薄规格的锡箔纸厚度可达0.000025毫米，通常用于高灵敏度电子元件．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. “灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，若将右面的灵宝剪纸放在平面直角坐标系中，点与点D关于y轴对称，则点D的横坐标是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ） A. B. C. D. 7. 传统文化如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的角平分线交于点O，于D，若，的周长为17，则的面积为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是__________． 13. 已知长方形的面积为且一边长为4a，则该长方形的周长为___________ 14. 如图，点D为等腰底边上一点，且，如果，，则____________． 15. 如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，等腰中，顶角，平分交于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的度数． 18. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 19. 下面是某同学化简分式的部分运算过程： （1）下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （2）写出正确的化简运算过程； （3）从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 21. 温县铁棍山药是河南省焦作市温县特产，全国农产品地理标志．其含大量氨基酸，味道鲜美，口感“干、绵、甜、香”，被誉为“神仙之食”．某农产品商店用3600元购进一批铁棍山药，销售时发现供不应求，于是又用9600元再购进一批同品种的铁棍山药．已知购进第二批铁棍山药的质量是第一批的3倍，且购进单价比第一批便宜2元/千克． （1）第一批铁棍山药的购进单价是多少元/千克？ （2）若两次购进的铁棍山药按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于6000元，那么销售单价至少为多少元/千克？ 22. 下面是安阳某初中数学小组对某教材一道习题的交流片段，请你仔细阅读并完成任务． 试题：已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求M． 文文：根据两数和或差的平方公式，分两种情况：当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，；当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方，∵， 综上所述，M为或或 亮亮：你的思路没有问题，从你的解法中我进行了反思：①上述解答过程得到等式：观察等式左边多项式的系数发现：②结合多项式的因式分解又如：，发现这两个多项式的系数规律：③一般地：若关于x的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． 任务： （1）请你根据亮亮的反思，写出系数a、b、c之间存在的关系式 （2）若多项式加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，求出满足条件的单项式N； （3）若关于x的多项式是一个含x的多项式的平方，直接写出实数m的值． 23. 在中，，点D为的中点．射线与射线交于点E，过点D作 交射线于点F． （1）观察猜想 如图1，当点E在边上时，线段与的数量关系是 ； （2）类比探究 如图2，当点E在延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 如图3，连接，点P在的延长线上，点Q在上，且若，，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025−2026学年第一学期期末质检试卷 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 传统文化如下为篆书书写的“大美河南”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：C中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，符合题意； A、B、D都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 极薄规格的锡箔纸厚度可达0.000025毫米，通常用于高灵敏度电子元件．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：A． 3. 已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设第三边为x，根据关系求出x的取值范围，再判断选项． 【详解】解：设第三边长为x， 由题意：， 即， ∴此三角形第三边的长可能是， 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：左边为，是积的形式，右边为，从左到右的变形过程是整式乘法，故不是因式分解； 选项C：左边为，是积的形式，右边为，是整式乘法，故不是因式分解； 选项D：左边为多项式，右边为，是积的形式，故属于因式分解； 故选：D． 5. “灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，若将右面的灵宝剪纸放在平面直角坐标系中，点与点D关于y轴对称，则点D的横坐标是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：∵点与点D关于y轴对称， ∴点D的横坐标是3； 故选A． 6. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 7. 传统文化如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用．一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．根据全等三角形的判定定理SAS解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵考古学家将两根细木条的中点固定在一起， ∴，， 在和中， ， ∴， 依据的数学基本事实是， 故选：B． 8. 如图，的角平分线交于点O，于D，若，的周长为17，则的面积为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，连接，作，垂足分别为，根据角平分线的性质，得到，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：作，垂足分别为， ∵的角平分线交于点O，于D，， ∴， ∴ ； ∵的周长为17， ∴， ∴； 故选B． 9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．解分式方程，得到解x关于k的表达式，根据解为非负数且分母不为零，得到k的取值范围． 【详解】解：， 两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴k的取值范围是且， 故选：D． 10. 如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵的内角与外角的平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得，… 以此类推，得到， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 12. 将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等． 根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知长方形的面积为且一边长为4a，则该长方形的周长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，理解题意是关键．根据长方形面积公式求出另一边长，再根据周长公式计算周长． 【详解】解：另一边长为， 周长为． 故答案为：． 14. 如图，点D为等腰底边上一点，且，如果，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，推出为含30度角的直角三角形，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点D为等腰底边上一点，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在上截取，连接，作于点，证明，得到，进而得到，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，作于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当，即点与点重合时，最小， ∵ ∴，即：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，等腰中，顶角，平分交于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的度数． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作平行线，等边对等角，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点作，即可； （2）根据等边对等角，求出的度数，角平分线求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵等腰中，顶角， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知：． 18. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ； ； 到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 19. 下面是某同学化简分式的部分运算过程： （1）下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （2）写出正确的化简运算过程； （3）从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）五 （2） 解：原式 ； （3）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【小问1详解】 解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当时，． 20. 新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 【答案】（1）福建土楼占地面积：；山西大院占地面积： （2）①组同学想法正确 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【小问1详解】 解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴①组同学想法正确． 21. 温县铁棍山药是河南省焦作市温县特产，全国农产品地理标志．其含大量氨基酸，味道鲜美，口感“干、绵、甜、香”，被誉为“神仙之食”．某农产品商店用3600元购进一批铁棍山药，销售时发现供不应求，于是又用9600元再购进一批同品种的铁棍山药．已知购进第二批铁棍山药的质量是第一批的3倍，且购进单价比第一批便宜2元/千克． （1）第一批铁棍山药的购进单价是多少元/千克？ （2）若两次购进的铁棍山药按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于6000元，那么销售单价至少为多少元/千克？ 【答案】（1）第一批购进单价为18元/千克 （2）销售单价至少为24元/千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设第一批购进单价为元/千克，根据题意列分式方程求解即可； （2）求出两批的质量，设销售单价为元/千克，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设第一批购进单价为元/千克， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批购进单价为18元/千克； 【小问2详解】 解：第一批质量：千克，第二批质量：千克， 设销售单价为元/千克， 根据题意可得：， 解得， 答：销售单价至少为24元/千克． 22. 下面是安阳某初中数学小组对某教材一道习题的交流片段，请你仔细阅读并完成任务． 试题：已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求M． 文文：根据两数和或差的平方公式，分两种情况：当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，；当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方，∵， 综上所述，M为或或 亮亮：你的思路没有问题，从你的解法中我进行了反思：①上述解答过程得到等式：观察等式左边多项式的系数发现：②结合多项式的因式分解又如：，发现这两个多项式的系数规律：③一般地：若关于x的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． 任务： （1）请你根据亮亮的反思，写出系数a、b、c之间存在的关系式 （2）若多项式加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，求出满足条件的单项式N； （3）若关于x的多项式是一个含x的多项式的平方，直接写出实数m的值． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解，找到一个完全平方式中系数之间的关系，是解题的关键： （1）根据亮亮给出的等式，作答即可； （2）分2种情况进行讨论求解即可； （3）利用（1）中的规律列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：系数a、b、c之间存在的关系式为； 【小问2详解】 解：①当N为含字母y的一次单项式时：则， ∴或； ②当N为含字母y的四次单项式时：则； ∴； 综上：或或； 【小问3详解】 解：由（1）可知：， ∴， 解得． 23. 在中，，点D为的中点．射线与射线交于点E，过点D作 交射线于点F． （1）观察猜想 如图1，当点E在边上时，线段与的数量关系是 ； （2）类比探究 如图2，当点E在延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 如图3，连接，点P在的延长线上，点Q在上，且若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 解：由题意，作图如下， （1）中结论仍然成立，证明如下： 连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三线合一，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）连接，根据等边对等角，三线合一，同角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，同（1）法证明，即可得证； （3）过点作，交的延长线分别于点，证明，进而推出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线分别于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $