精品解析：福建省泉州市石狮市永宁中学2025--2026学年八年级上学期第二阶段考数学试题

永宁中学八年级（上）第二次阶段性数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. 3.14159 D. 4. 下列调查中，选取的调查方式不合适的是（ ） A. 为了了解全班同学的睡眠状况，采用普查的方式 B. 为了了解一批LED节能灯的使用寿命，采用抽样调查的方式 C. 对“天宫二号”空间实验室零部件的检查，采用抽样调查的方式 D. 为了了解全市中学生的视力情况，采用抽样调查的方式 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 我们在《白昼时长规律的探究》这节综合实践课中，通过整理数据、描述数据，得到了如图所示的北京2024年二十四节气日的白昼时长的折线图，根据统计图分析数据，下列描述错误的是（　　） A. 夏至白昼时长最长，约为15小时 B. 冬至白昼时长最短，约为9时20分 C. 从小寒到夏至，白昼时长持续增加 D. 从夏至到冬至，白昼时长持续增加 7. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ） A. B. C. D. 9. 周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（ ） A. 7 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的正确结果是_____． 12. 如图，已知，若 ，则的长为______． 13. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 14. 杂交水稻之父袁隆平为我国粮食安全和世界粮食安全做出了巨大的贡献．他和他的团队为了考察某种杂交水稻穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了100个谷穗作为样本，测得它们的长度（单位：cm），并对样本数据适当分组后，列出了如下频数分布表 谷穗长 频数 8 16 24 26 20 6 由此可算出这块试验田里谷穗长在范围内的谷穗所占的百分比为 ____________ ． 15. 如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 16. 如图，在中，，，，其中，，，则的值为_____（用含，的代数式表示）． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 【调查统计】某学校计划某天同时开展四项竞赛，分别是A． 法律知识竞赛；B． 国际象棋大赛；C． 花样剪纸大赛；D． 创意书签设计大赛．要求每位同学必须参加且只能选一项，最后把统计结果绘制成了两幅统计图，请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）求共调查了多少名学生？求选择“D”学生的人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“创意书签设计大赛”部分所对应的圆心角度数是多少度？ 【解决问题】该学校有名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你根据调查结果，补全此次活动日程表，并说明理由． “学科月活动”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（座） 2号多功能厅（座） A C 22. 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究． （1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：______． （2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明． 23. 如图，在中，． （1）在上求作一点D，连接，使得线段最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 24. 材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： （1）写出图2中所表示的数学等式____________． （2）根据图4，分解因式：____________． （3）已知，求的值． （4）如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 25. 如图，在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．线段的延长线与射线交于点E，连接．若点不与点B、O重合． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接交于点，猜想三条线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁中学八年级（上）第二次阶段性数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，熟知平方根的定义是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，正确，故符合要求； D、，错误，故不符合要求； 故选：C ． 3. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. 3.14159 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数，立方根及无理数，熟练掌握无理数及实数，立方根的概念是解题的关键；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，选项A、C、D均为有理数，只有B选项是无理数，然后问题可求解． 【详解】解：A.是分数，属于有理数； B.是非完全平方数的平方根，属于无理数； C.3.14159是有限小数，可化为分数，属于有理数； D.，是整数，属于有理数； 故选B． 4. 下列调查中，选取的调查方式不合适的是（ ） A. 为了了解全班同学的睡眠状况，采用普查的方式 B. 为了了解一批LED节能灯的使用寿命，采用抽样调查的方式 C. 对“天宫二号”空间实验室零部件的检查，采用抽样调查的方式 D. 为了了解全市中学生的视力情况，采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】对于意义重大、具有破坏性的、人数较少的事件采用普查的方式，即可解答. 【详解】A. 为了了解全班同学的睡眠状况，人数较少，应采用普查的方式，该选项正确； B. 为了了解一批LED节能灯的使用寿命，采用抽样调查的方式，该选项正确； C. 对“天宫二号”空间实验室零部件的检查，由于意义重大，故应选用普查方式，该选项错误； D. 为了了解全市中学生的视力情况，人数较多，采用抽样调查的方式，该选项正确； 故选C 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，对于意义重大、具有破坏性的、人数较少的事件采用普查的方式. 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 6. 我们在《白昼时长规律的探究》这节综合实践课中，通过整理数据、描述数据，得到了如图所示的北京2024年二十四节气日的白昼时长的折线图，根据统计图分析数据，下列描述错误的是（　　） A. 夏至白昼时长最长，约为15小时 B. 冬至白昼时长最短，约为9时20分 C. 从小寒到夏至，白昼时长持续增加 D. 从夏至到冬至，白昼时长持续增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据统计图所给的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可得夏至白昼时长最长，约为15小时，原说法正确，不符合题意； B、由统计图可得冬至白昼时长最短，约为9时20分，原说法正确，不符合题意； C、由统计图可得从小寒到夏至，白昼时长持续增加，原说法正确，不符合题意； D、由统计图可得从夏至到冬至，白昼时长持续减少，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 8. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理逐一分析各选项是否满足直角三角形的判定条件．本题考查直角三角形的判断，掌握三角形内角和定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】A、由，代入内角和公式得，化简得，故，能判定为直角三角形． B、设，则，解得，得，均非直角，无法判定为直角三角形． C、设，验证得，满足勾股定理，能判定为直角三角形． D、展开得，即，符合勾股定理逆定理，能判定为直角三角形． 综上，只有选项B不能作为判定条件． 故选：B． 9. 周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解一元一次不等式， 设等腰三角形两腰长为a，底边长为b，根据三角形三边关系和边长是整数求出或4，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：设等腰三角形两腰长为a，底边长为b，a、b为正整数，且满足三角形三边关系， ∵周长等于10， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即． ∴， ∵a为整数， ∴或4， 当时，，三边为3、3、4，，满足三角形三边关系； 当时，，三边为4、4、2，，满足三角形三边关系． 综上所述，共有2个满足条件的等腰三角形． 故选：B． 10. 如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点C作，且使，连接，由勾股定理逆定理可知，以及勾股定理可得，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点C作，且使，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点F，E，B共线时，为最小，最小值是， ∴的最小值是． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的正确结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算． 根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，已知，若 ，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 13. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 14. 杂交水稻之父袁隆平为我国粮食安全和世界粮食安全做出了巨大的贡献．他和他的团队为了考察某种杂交水稻穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了100个谷穗作为样本，测得它们的长度（单位：cm），并对样本数据适当分组后，列出了如下频数分布表 谷穗长 频数 8 16 24 26 20 6 由此可算出这块试验田里谷穗长在范围内的谷穗所占的百分比为 ____________ ． 【答案】70% 【解析】 【分析】由百分比的计算方法求解即可． 【详解】谷穗长在范围内的谷穗所占的百分比为:． 故答案为：70%． 【点睛】此题考查了频率的计算方法，解题的关键是熟练掌握频率的计算方法． 15. 如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，在中，，，，其中，，，则的值为_____（用含，的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一的性质并结合已知可得出，则可求出，结合，可求出，然后根据可证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， ∴，即 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴，即， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质化简是解题的关键．先分别求出、、，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴． ， ， ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 【点睛】题目主要考查利用提公因式及公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 19. 如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】 证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式，多项式除以单项式运算法则，进行化简，然后再代入数据进行计算即可．熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 21. 【调查统计】某学校计划某天同时开展四项竞赛，分别是A． 法律知识竞赛；B． 国际象棋大赛；C． 花样剪纸大赛；D． 创意书签设计大赛．要求每位同学必须参加且只能选一项，最后把统计结果绘制成了两幅统计图，请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）求共调查了多少名学生？求选择“D”学生的人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“创意书签设计大赛”部分所对应的圆心角度数是多少度？ 【解决问题】该学校有名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你根据调查结果，补全此次活动日程表，并说明理由． “学科月活动”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（座） 2号多功能厅（座） A C 【答案】[调查统计]（1）人，人， 补全条形统计图如下： （2）度； [解决问题]： 由题意知，喜欢B类型的人数（人）， 喜欢D类型的人数为（人）， 补全此次活动日程表如下： “学科月活动”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（座） 2号多功能厅（座） A B D C 【解析】 【分析】[调查统计]（1）由题意知，共调查的学生人数为（人），D类型的人数为（人），然后补图即可； （2）根据，计算求解即可； [解决问题]由题意知，喜欢B类型的人数（人），喜欢D类型的人数为（人），然后判断，补图即可． 【详解】[调查统计]（1）解：由题意知，共调查的学生人数为（人）， D类型的人数为（人）， （2）解：， ∴扇形统计图中“创意书签设计大赛”部分所对应的圆心角度数是度； [解决问题]略 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体等知识．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体是解题的关键． 22. 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究． （1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：______． （2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明． 【答案】（1）15 （2） 证明：∵C上的数为x， ∴B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算减法即可得到答案； （2）先根据日历的特点得到B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为，据此计算出的结果即可证明结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，． （1）在上求作一点D，连接，使得线段最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，线段即为所求， （2）33.8 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键是； （1）过C作于D即可； （2）在中，根据勾股定理求出，然后在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴， 解得． 24. 材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： （1）写出图2中所表示的数学等式____________． （2）根据图4，分解因式：____________． （3）已知，求的值． （4）如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】解题思路是通过“几何面积的两种表示方法”推导代数公式，结合“换元法”和“完全平方公式变形”求解代数式或图形面积，核心是利用“几何与代数的对应关系”和“公式变形技巧”． 【小问1详解】 图2是边长为的正方形，面积为；同时可拆分为个小图形的面积和（、、各个，、、各个），即．因此等式为： 【小问2详解】 图4是长为、宽为的长方形，面积为； 同时该长方形面积可拆分为（1个、3个、2个）． 因此：． 【小问3详解】 设，，则，． 根据完全平方公式变形：． 【小问4详解】 由题意：，， 设，，则，且长方形的面积． 阴影部分是两个正方形的面积和（）， 根据完全平方公式：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义与代数变形，涉及知识点包括完全平方公式、因式分解、代数式求值．解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形（如），并准确将几何图形的边长、面积与代数表达式对应． 25. 如图，在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．线段的延长线与射线交于点E，连接．若点不与点B、O重合． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接交于点，猜想三条线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵由旋转可得， ∴． （2） 证明：连接， 由旋转可得 ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在四边形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由等腰三角形的“三线合一”可得是的垂直平分线，因此，又由旋转可得，即可得证； （2）连接，证明，得到，由得到，即可证明，从而在四边形中，，得到是等腰直角三角形，即可得证； （3）证明得到，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，证明，结合，，可得，从而．根据旋转可得，，从而，因此在中，，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵，，，点O是的中点， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∵在中， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $