精品解析：西藏自治区昌都市2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试卷

昌都市2025年高二年级秋季质量监测考试 数学 注意事项： 1.全卷共4页，19道题，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，已知，，数列的公比为（ ）. A B. C. 2 D. 4. 中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 17 D. 16 6. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上，直线与圆相切 B. 点在圆内，直线与圆相交 C. 点在圆外，直线与圆相切 D. 点在圆上，直线与圆相交 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ） A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C. 从一副不含大、小王扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D. 甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若是直线l的方向向量，是直线m的方向向量，则l与m垂直 B. 若）是直线l方向向量，是平面的法向量，则 C. 若，分别为平面，的法向量，则 D. 若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面 11. 已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 以为圆心，为半径的圆的方程是_______． 13. 已知数列满足，则______. 14. 如图，已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，求： （1）直方图中a值； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数． （3）此年度消费金额的平均值． 16. 如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 18. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌都市2025年高二年级秋季质量监测考试 数学 注意事项： 1.全卷共4页，19道题，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得. 【详解】因为，则 故选：C 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程． 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 故选：C. 3. 等比数列中，已知，，数列的公比为（ ）. A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式列方程求解即可 【详解】数列是等比数列，则，（为数列的公比），则，解得. 故选：C. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得， 由，得，则， 所以或. 故选：D 5. 在等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 17 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列求和公式及性质即可求解； 【详解】， 故选：A 6. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 7. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上，直线与圆相切 B. 点在圆内，直线与圆相交 C. 点在圆外，直线与圆相切 D. 点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ） A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D. 甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解. 【详解】对于A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故A正确； 对于B，点数之和大于7和点数之和小于7概率相等，但点数等于7时乙胜， 所以甲胜概率小，所以游戏不公平，故B错误； 对于C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故C正确； 对于D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的，故D正确. 故选：ACD 10. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若是直线l的方向向量，是直线m的方向向量，则l与m垂直 B. 若）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则 C. 若，分别为平面，的法向量，则 D. 若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算和相关概念结合空间中线面关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 可知，所以l与m垂直，故A正确； 对于选项B：因为， 可知，所以或∥，故B错误； 对于选项C：因为， 所以平面，不相互垂直，故C错误； 对于选项D：若存在实数x，y，使， 则为共面向量，所以P，M，A，B共面，故D正确； 故选：AD. 11. 已知点在抛物线（）上，F为抛物线焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 以为圆心，为半径的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 13. 已知数列满足，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由递推关系代入计算可得． 【详解】因为，， 所以，，同理 故答案为：3. 14. 如图，已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，根据正方形和抛物线的对称性，得到点和点关于轴对称，求得点的坐标，代入计算，即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 根据抛物线和正方形的对称性，不妨设在坐标原点，则点和点关于轴对称， 由正方形的边长为2，所以，， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，求： （1）直方图中a的值； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数． （3）此年度消费金额的平均值． 【答案】（1）30 （2）6000人 （3）0.537万元 【解析】 【分析】（1）根据各组频率之和为1即可求得答案； （2）根据频数的求法即可得答案； （3）根据平均数的求法，即可得答案. 【小问1详解】 根据各组频率之和为1，得，解得； 【小问2详解】 由图可知消费金额在区间内的购物者的人数为人； 【小问3详解】 由图可得此年度消费金额的平均值为（万元）. 16. 如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. 【小问2详解】 因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 17. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式； （2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为成等比数列，则， 且，则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以. 18. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【小问1详解】 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离， 因为，所以当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 所以的最小值为． 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； 【小问3详解】 由，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $