精品解析：2026年辽宁省鞍山市立山区中考一模数学试题

九年级十二月份限时作业训练 数学试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程化成一般式后的值为（ ） A. 3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 【答案】A 【解析】 【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得． 【详解】解：， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 则化成一般式后的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键． 2. 两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可． 【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2 ∴ 故选B． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键． 3. 如图，点D，F在△ABC的边AB上，点E，G分别在AC，BC上，DE与FG交于点H，DE∥BC，FG∥AC，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A.∵DE∥BC， ∴，故选项A正确，不符合题意； B. ∵DH//BG ∴ ∵DE∥BC，FG∥AC，即HG//EC，HE//GC ∴四边形HGCE是平行四边形 ∴HG=EC ∴，故B正确； C.∵DE∥BC ∴，故C不正确，符合题意； D.∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴，故选项D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判断和性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 4. 在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 连接，根据的圆周角所对的弦为直径，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴由勾股定理得， ∴此圆的半径约为， 故选：B． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴当时，；当时，， ∵， ∴，故最小， 又∵在时，函数随着的增大而增大，且， ∴， ∴． 故选 ：D． 6. 如图，在中，于，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可得，由外角的性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵将边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 8. 如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 9. 小睿同学画二次函数（，）的图象，列出表格如下： … 0 1 2 … … 3 2 3 3 … 他发现有一组对应值计算有误，则错误的那一组对应值化成点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下可得抛物线不能同时经过、、求解即可． 【详解】解：当抛物线经过、、时，抛物线开口向上，不符合题意； ∵抛物线不能同时经过、、， ∴不在抛物线上， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 10. 如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 12. 如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到， 然后利用得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高， 由题意可得，， ∴. 即物体的高为， 故答案为：． 13. 如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.依据题意，由是的中点，，从而，进而设，再表示出，进而代入反比例函数解析式可以得解． 【详解】解：由题意，∵由是的中点，， ∴， 设， 又， ∴， 又∵在函数， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 将绕点逆时针旋转， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 点到的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质和判定，二次函数图象的性质， 先求出点A，B的坐标，即可表示出点C，D的坐标，再分两种情况：当点E在x轴下方时，作轴，可得是等腰直角三角形，然后表示出点E的坐标，最后代入关系式得出答案；当点E在x轴上方时，仿照第一种情况解答即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点，则． 如图，当点E在x轴下方时，过点E作轴于点F， 由抛物线的对称性可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵点E在抛物线上， ∴， 解得（不合题意，舍去）； 如图，当点E在x轴上方时，过点E作轴于点F， 同理可得点． ∵点E在抛物线上上， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值是2或6． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 其中，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， ， ，． 17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 【答案】（1）作图如下： （2）作图如上； （3）24． 【解析】 【分析】（1）连接AO并延长一倍即可得到； （2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段； （3）连接，由求出四边形面积． 【详解】（1）作出点A关于点O的对称点； （2）连接，画出线段； （3）连接，过点A作于点E，过点作于点F； ． ∴四边形的面积是24． 【点睛】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键． 18. 解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ （1）求的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， 补全表格如下： （2）或【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出的值，进而求出函数解析式，再补全表格即可； （）画出函数图象，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可得，， 解得， 即，， ∴一次函数为， 当时，， 把，代入，得， ∴， ∴反比例函数为， 当时，， 【小问2详解】 解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当的图象在的图象上方时，的取值范围为或． 19. 如图，在中，，延长到点，使，延长到点，连接，，且，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，由，得，则，而，即可证明∽，得，由，，得，求得，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 20. 某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． （1）设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （2）求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 【答案】（1） （2）原料的质量是24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，正确列出利润的函数关系式，并利用二次函数的性质求最值是解决本题的关键． ()根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； ()设销售总利润为，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【小问1详解】 解：根据题意，得． ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 设销售利润是万元． ∴ ． ∵， ∴当时， ． 答：原料的质量是吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 21. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． 【答案】（1） 证明：∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF， ∴∠DAF=∠ACD， ∴∠DAF+∠DAC=90°， ∴， ∵AC是直径， ∴AF是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明，即可证明结论； （2）作于点H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点H， ∵⊙O的半径为5， ∴AC=10， ∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD， ∴△ADH～△ACD， ∴， ∴， ∵AD＝6， ∴， ∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°， ∴AD=ED， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键． 22. （1）如图1，四边形的对角线，相交于点O，，且，．求证：； （2）如图2，点E是的中线上一点，连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，此时，连接，．求证：； （3）如图3，在中，，E是边上一点，交的延长线于点H，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：延长、交于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴． （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理． （）方法一：延长、交于点，证明，利用全等三角形性质可得，，由此即可证明结论， （）证明出，得到，由是中线得到，由此利用等腰三角形三线合一的性质得出； （）先通过作辅助线构造矩形，利用矩形性质得到边与角的等量关系，再通过角的代换证明三角形相似，得，结合已知比例设，，最后利用相似三角形的性质列方程求解，进而得出的长度． 【详解】（）略 （）略 （）如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作于点，得四边形是矩形． ∴，， ∵，交的延长线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴，，， ∵， ∵， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 23. 已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． （1）求m，n的值及抛物线的解析式； （2）若与恰好有2个公共点，求的值； （3）若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 【答案】（1）， （2）或1 （3）2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，待定系数法求出的值和二次函数的解析式即可； （2）根据对称性，求出，根据与恰好有2个公共点，分2种情况，画出图象，数形结合进行求解即可； （3）根据与恰好有3个公共点，得到与有一个交点，与有两个交点，联立两条直线的解析式，求出，联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系求出，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； ∵反比例函数经过A点， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴直线经过点， ∵点关于的对称点为，直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线， ∴直线过点和， ∴，解得， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 当与恰好有2个公共点时，分2种情况： ①当经过点时，如图， 则：； ②当直线与只有一个交点时，满足题意，如图， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； 【小问3详解】 由（2）可知：， 当与恰好有3个公共点时，则与有一个交点，与有两个交点，如图， 令，则，即， 令，整理，得， 由题意，方程的两个根为，故， ∵， ∴，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级十二月份限时作业训练 数学试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程化成一般式后的值为（ ） A. 3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 2. 两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点D，F在△ABC的边AB上，点E，G分别在AC，BC上，DE与FG交于点H，DE∥BC，FG∥AC，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，于，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（ ） A. B. C. 6 D. 10 8. 如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 小睿同学画二次函数（，）的图象，列出表格如下： … 0 1 2 … … 3 2 3 3 … 他发现有一组对应值计算有误，则错误的那一组对应值化成点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 12. 如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 13. 如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是_______． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______． 15. 抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 18. 解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ （1）求的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 19. 如图，在中，，延长到点，使，延长到点，连接，，且，，，求的长． 20. 某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． （1）设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （2）求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 21. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． 22. （1）如图1，四边形的对角线，相交于点O，，且，．求证：； （2）如图2，点E是的中线上一点，连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，此时，连接，．求证：； （3）如图3，在中，，E是边上一点，交的延长线于点H，若，，，求的长． 23. 已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． （1）求m，n的值及抛物线的解析式； （2）若与恰好有2个公共点，求的值； （3）若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $