专题1.7 空间距离的向量求法导学案 -2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学“空间距离的向量求法”专题导学案，以点到直线、点到平面、异面直线距离的向量求解为核心，通过必备知识梳理公式原理，考点专练分层次设题，巩固练习综合应用，构建“基础-应用-提升”的递进式学习路径，帮助学生系统掌握空间距离向量求法的完整知识体系。 亮点在于结合正方体、直三棱柱等具体几何体设计例题与变式，引导学生用数学眼光抽象向量关系，通过“求距离步骤总结”培养数学思维的逻辑性，以“异面直线距离公式推导”强化数学语言表达。每课时设“方法提炼”与“思维拓展”，既支持学生深度学习，又为教师单元教学提供清晰的实施框架和资源支撑。

专题1.7 空间距离的向量求法 高中数学辅导资料 专题1.7 空间距离的向量求法 一、必备知识： 1．点到直线的距离: 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，是直线外一点.如图，设，则向量在直线上的投影向量，到直线的距离.   2．点到平面的距离: 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 注：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 二、考点专练： 地 城 考点01 利用空间向量求点线距离 【例题1-1】1．若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则与向量同向的单位向量为，由直线过原点，则取，即，，所以点到直线的距离.故选：B. 【例题1-2】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，则，且，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为，故选：C. 向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 【变式1-1】1．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又,于是，点A到直线的距离是.故选：B. 【变式1-2】如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，所以，所以在上的投影向量的长度为：，所以到直线的距离为.故选：C.   【变式1-3】11．在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 【答案】/ 【详解】由题意知，直线的方程可变形为，所以直线经过点，方向向量为，则.又，，，所以.所以点到距离为：.故答案为： 地 城 考点02 利用空间向量求点面距离 【例题2-1】已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得.又因为平面的一个法向量为，所以.所以点到平面的距离为. 故选：B 【例题2-2】在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则， 令，则，，所以，设点到平面的距离为，则，故直线到平面的距离为.故选：D 求点到平面的距离的常用方法 1.直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. 2.转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. 3.等体积法. 4.向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【变式2-1】若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点到平面的距离.故选：A. 【变式2-2】已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图，由，所以，所以，设平面的法向量为，所以，令得，所以点C到平面的距离为,故选：C. 5．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，则，设平面的法向量为，则有，即，取，则，即.则点到平面的距离.故选：B. 【变式2-3】在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，因为，平面与平面不重合，故平面平面，，所以，平面与平面间的距离为.故答案为：. .则点到平面的距离.故选：B. 【变式2-4】如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点 A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为 ．   【答案】 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如下图，则， 所以，不妨设平面的法向量为且，分别表示点到平面的距离，由已知，所以，则，所以顶点到平面的距离为.故答案为：.   .则点到平面的距离.故选：B. 【变式2-5】已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（    ） A． B． C． D．17 【答案】C 【详解】易知平面的法向量，而由可得，于是，所以，故点到的距离.故选：C. 【例题3-1】已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为 地 城 考点03 利用空间向量求异面直线间的距离 【答案】 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则.所以， 设为直线和的公垂线的方向向量，则有，可取， 所以异面直线和的距离为.故答案为： 【例题3-2】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是 . 【答案】/ 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，，则 ， 因为，所以，即 ， 所以，所以，所以， ， ， ∴当时， 取得最小值，所以直线与之间的距离是故答案为： 求异面直线距离的方法： 1.公式法：运用向量投影公式，设两直线的方向向量分别为和，在两直线上分别取点，得向量。利用求公垂线方向的法向量，则距离。此公式本质是两点连线在公垂线方向上的投影长。 2.转化法：将其转化为点到平面的距离。具体操作为：过其中一条直线作一个平面平行于另一条直线，此时两直线间的距离即转化为“线到面”的距离，再利用平面法向量求解。 【变式3-1】正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面，连接，，则且交于．因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，．设异面直线与的公垂线方向向量为，则有，即，取．又因为，所以异面直线与的距离．所以异面直线与的距离是．故选：C. 【变式3-2】在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面，又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图，则，故，点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离，设同时垂直于，则，取，则，故，所以的最小值为.故答案为： 【变式3-3】如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ① ；②线段MN长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面，平面平面，，平面，则有平面，以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，， ，，.M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离，设与都垂直的一个法向量为，由，令，有，得，又，所以线段MN长度的最小值是故答案为：； 三、巩固练习： 1．已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】，，则在上的投影向量的模为，则点到直线的距离为.故选：A. 2．已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，因为，即点，，，所以点到直线的距离为.故选：A. 3．已知平面的一个法向量为，为平面外一点，且，则点到平面的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】由点到平面的距离公式得点到平面的距离为.故选：D. 4．已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则;;设平面的一个法向量为，则，取，则，得平面的一个法向量为，设到平面的距离为，则.故选：D 5．在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，得，则向量在上的投影向量的模长为，又，则点M到直线的距离为.故答案为： 6．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则.又，故点到平面的距离为.故选：B 7．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，因为，E、F分别为的中点，则，，，，，所以，，，  设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，分别为的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选：B. 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .   【答案】 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，,，，，，设点D到直线的距离为，则，故答案为：. 9．在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，，若点为线段上靠近的三等分点，，，，设平面的法向量为，，令，则，点到平面的距离．故答案为：． 10．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为 ． 【答案】 【详解】正方体中，，故四边形为平行四边形，所以 ，平面，平面，所以平面，同理平面，且所以平面平面.以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，  则 ， 所以，，，设平面 的法向量为， 则 ，所以 ，令，则，则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d，则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离，所以平面与平面间的距离为．故答案为： 11．（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，得，而，因此到平面的距离，而，所以AD不是，BC可以是.故选：BC 12．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足 平面，则当取最小值时，点到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】如图所示，因为 且，故四边形为平行四边形，则，因为平面平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，要使得平面，则平面，因为平面平面，故点的轨迹为线段，在中，，，即是等腰三角形，当取最小值时，，根据等腰三角形的性质可知为的中点，则.以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系，易知，取，则，所以点到直线的距离为.故答案为：. 13．已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为 . 【答案】 【详解】由题意知平面的法向量，而由可得，于是， 所以，故点到的距离.故答案为： 14．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于 . 【答案】/ 【详解】设正四棱锥的底面中心为，连接，则底面，.设，的中点为，，连接，.以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设平面的一般方程为，则，解得，所以平面的一般方程为，即.所以底面中心到侧面的距离为.故答案为：. 15．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，在正方体中，即为异面直线与所成角，因为,所以为等边三角形，因此，故A正确.对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影，那么直线与平面所成角为，在中，，,则，故B错误.对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.  则，那么 根据点到直线的距离公式：，又，，代入可得.故C正确.对于D选项,由,设异面直线与的公垂线的方向向量为，则,令，则，取，根据异面直线间的距离公式，又，则，故D正确故选：ACD. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. (1)求的长； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，且， 所以建立如图分别以为轴的空间直角坐标系， 则，令，则，所以， 所以，因为直线与所成角的大小为，所以，即，解得（舍）或者，所以的长为2； （2）由（1）知，令平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以， 又，所以，所以点到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.7 空间距离的向量求法 高中数学辅导资料 专题1.7 空间距离的向量求法 一、必备知识： 1．点到直线的距离: 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，是直线外一点.如图，设，则向量在直线上的投影向量，到直线的距离.   2．点到平面的距离: 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 注：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 二、考点专练： 地 城 考点01 利用空间向量求点线距离 【例题1-1】1．若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【例题1-2】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 【变式1-1】1．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）   A． B． C． D． 【变式1-3】11．在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 地 城 考点02 利用空间向量求点面距离 【例题2-1】已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【例题2-2】在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 求点到平面的距离的常用方法 1.直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. 2.转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. 3.等体积法. 4.向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【变式2-1】若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 【变式2-4】如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点 A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为 ．   【变式2-5】已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（    ） A． B． C． D．17 【例题3-1】已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为 地 城 考点03 利用空间向量求异面直线间的距离 【例题3-2】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是 . 求异面直线距离的方法： 1.公式法：运用向量投影公式，设两直线的方向向量分别为和，在两直线上分别取点，得向量。利用求公垂线方向的法向量，则距离。此公式本质是两点连线在公垂线方向上的投影长。 2.转化法：将其转化为点到平面的距离。具体操作为：过其中一条直线作一个平面平行于另一条直线，此时两直线间的距离即转化为“线到面”的距离，再利用平面法向量求解。 【变式3-1】正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为 . 【变式3-3】如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动．① ；②线段MN长度的最小值是 ． 三、巩固练习： 1．已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面的一个法向量为，为平面外一点，且，则点到平面的距离为（   ） A．4 B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 6．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .   9．在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为 ． 10．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为 ． 11．（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 12．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足 平面，则当取最小值时，点到直线的距离为 . 13．已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为 . 14．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于 . 15．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. (1)求的长； (2)求点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $