1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.4 空间向量及其运算 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 （第2课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言表述线线角、线面角、平面与平面的夹角，提升逻辑推理、数学运算的核心素养 会区分向量角与线线角、线面角、面面角的关系. 能用向量夹角公式解决立体几何中角度的度量问题.提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 新知导入 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量． 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面的夹角． 那么，空间中的角包括哪些？ 用向量方法研究 再回忆一下向量与向量所成的角是如何求的？ 新知探究 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 则 l1 l2 l1 l2 O O θ=< >吗？ 它们的关系是什么？ θ= 或θ=π- 问题1 如何用向量的夹角来刻画异面直线所成角？ 典例分析 例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M， N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． A C D B M N 解： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 新知探究 问题2 我们在例1用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？ C A B D M N 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量 ，平面α的法向量为 . A B C θ= 吗？ 如何用数学表达式表示出它们的关系？ 新知探究 问题3 图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ 如图示，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角相等或互补。 新知探究 l l 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 二面角的大小判断:肉眼观察法 典例分析 例2 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z 归纳小结 提分笔记 ①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． ②求点和直线方向向量的坐标 ③求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量 ④计算空间角相应的三角函数值 利用坐标法的求空间角的步骤 课后练习 课本练习 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A C B A1 C1 B1 F1 D1 x y z A 课后练习 课本练习 A C B A1 C1 B1 F1 D1 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A 课后练习 课本练习 2. PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). P B C A D O F E 解: 过PC上任取一点D并作PO⊥平面APB ,则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角. 过点O作OE⊥PA, OF⊥PB, ∵ DO⊥平面APB, 则DE⊥PA, DF⊥PB. ∴△DEP≌△DFP, ∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP. ∴点O在∠APB的平分线上, 即∠OPE=30° C 课后练习 课本练习 3.如图，在三棱锥O-ABC中，OA, OB, OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2. 求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. B O C A x y z 课后练习 课本练习 4.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O 课后练习 课本练习 5. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线BC所成角的大小; D B C A x y z O 课后练习 课本练习 5. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小; D B C A x y z O 课后练习 课本练习 5. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. D B C A x y z O 两异面直线所成的角 题型一 题型探究 【例1】如图,在三棱柱<m></m>中, <m></m>, <m></m>, 且<m></m>, <m></m>,求异面直线<m></m>与<m></m>所成角的余弦值. [解析]以 <m></m> 作为基底，则 <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . </m> ， <m></m> . ∴异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成角的余弦值为 <m></m> . 两异面直线所成的角 题型一 题型探究 【例2】如图,已知四棱锥 的底面为直角梯形,底面 ,且,求与 所成角的余弦值. [解析] 以为坐标原点, 所在直线分别 为轴,轴, 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 , 所以 故, , 所以,, 即与 所成角的余弦值为 . 两异面直线所成的角 题型一 题型探究 提分笔记 求异面直线所成角的方法 （1）基底法:在一些不适合建立坐标系的题目中,经常采用定基底的方法,在 异面直线a与b上分别取点和,则与 可分别作为直线的方向 向量,设两异面直线所成的角为,则 ,根据条件可以把与 用基底表示出来,再进行计算. （2）坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标, 利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单. 直线与平面所成的角 题型二 题型探究 【例3】如图所示，在四棱锥<m></m>中，<m></m>底面<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为线段<m></m>上一点，<</m>，m</m>为m</m>的中点，求直线<</m>与平面 <m></m> 所成角的正弦值. [解析] 取 <m></m> 的中点 <m></m> ，连接 <m></m> . 由 <m></m> 得 <m></m> ，从而 <m></m> ， 且 <m></m> . 以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的方向分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 <m></m> . 由题意知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 直线与平面所成的角 题型二 题型探究 【例3】如图所示，在四棱锥<m></m>中，<m></m>底面<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为线段<m></m>上一点，<</m>，m</m>为m</m>的中点，求直线<</m>与平面 <m></m> 所成角的正弦值. 设 <m></m> 为平面 <m></m> 的法向量， 则 <m></m> 即 <m></m> 令 <m></m> ,则 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> . 于是 <m></m> ， 所以直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正弦值为 <m></m> . 直线与平面所成的角 题型二 题型探究 解题感悟 若直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成的角为 <m></m> ，则利用法向量计算 <m></m> 的步骤如下： 平面与平面的夹角 题型三 题型探究 【例4】 已知在长方体中, ,求平面与 平面 夹角的正切值. [解析] 以为坐标原点,直线分别为 轴,轴, 轴建 立空间直角坐标系, 则 , 可得 , 易知平面的一个法向量为 , 设平面的法向量为 , 则 平面与平面的夹角 题型三 题型探究 【例4】 已知在长方体中, ,求平面与 平面 夹角的正切值. 令,则 , 设平面与平面的夹角为 , 则 , 可得 , 所以平面与平面 的夹角的正切值 . 平面与平面的夹角 题型三 题型探究 解题感悟 1.利用定义法求两平面夹角: 在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线所成的角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同. 2.利用向量法求平面与平面的夹角的步骤: （1）建立恰当的空间直角坐标系; （2）分别求出两个平面的法向量; （3）求两个法向量夹角的余弦值; （4）根据两个平面的夹角即为两个平面的法向量的夹角或其补角,得到 两个平面的夹角. 课堂达标 1.若两异面直线与 的方向向量分别是,则异面直线 与 所成的角为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意得 , 设异面直线与所成的角为 , 则 , 因为 , 所以 故选A. 课堂达标 2. 在矩形 中， ， ， 平面 ， ，则直线 与平面 所成角的大小为( @34@ ) A. B. C. D. A [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系. 则 <m></m>，<m></m>，所以 <m></m> ， 易知平面 <m></m> 的一个法向量为<</m> ， 设直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成的角为 <m></m> ， 所以 <m></m>，<m></m> ， 所以直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的大小为 <m></m> . 课堂达标 3.在正方体 中,二面角 的余弦值为 _ __. [解析] 不妨设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , , 设平面的法向量为 , 则即 取,则 平面 , 平面的一个法向量为 , 则 , 故二面角的余弦值为 . 课堂小结 设直线l1与l2的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 直线l1与l2所成角θ： 直线l1与平面α所成角θ： 平面α与β所成角θ： 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值or定正负) 感谢聆听! $$