专题1.6 空间位置关系的向量证明导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学导学案以“空间位置关系的向量证明”为核心，目标是帮助学生掌握用向量法证明线线、线面、面面平行与垂直的方法。学案通过必备知识表格梳理基础关系，考点专练分六个递进考点设计例题与变式，构建“基础-应用-探究”的完整学习路径。 亮点在于表格化知识框架助力数学眼光下的空间观念构建，例题变式训练强化数学思维中的逻辑推理，探索性问题如“是否存在点使线面垂直”培养创新意识。每考点配套专题练习，既巩固基础又促进深度学习，为教师单元复习教学提供系统指导与实用素材。

专题1.6 空间位置关系的向量证明 高中数学辅导资料 专题1.6 空间位置关系的向量证明 一、必备知识： 1.空间中的线，面平行：直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 二、考点专练： 地 城 考点01 求平面的法向量 【例题1-1】已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例题1-2】在正方体中，，，，点分别是的中点．   (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 1.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量. 2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 3.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【变式1-1】已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】9．已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为 ． 【变式1-3】（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【例题2-1】已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（  ）地 城 考点02 利用空间向量证明线面平行 A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【例题2-2】如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．   (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 证明线面平行问题的方法： 1.证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； 2.证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； 3.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 【变式2-1】如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面. 【变式2-2】如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面. 【变式2-3】如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面. 地 城 考点03 利用空间向量证明线线垂直 【例题3-1】在正方体中，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题3-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. (1)求证：；(2)求的长. 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 【变式3-1】棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：；(2)求；(3)求FH的长. 【变式3-2】如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点，用向量法证明：. 【变式3-3】如图，四棱锥中，，平面平面，，． (1)若，求证：； (2)若，求的取值范围． 地 城 考点04 利用空间向量证明线面垂直 【例题4-1】如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.     (1)当为中点时，求证:平面; (2)当平面时，求的值. 【例题4-2】在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，，，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等，记，，，且，. (1)当时，用向量表示，； (2)是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 用向量法证明线面垂直的方法及步骤： 1.利用线线垂直： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； ③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． 2.利用平面的法向量： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②求出平面的法向量； ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 【变式4-1】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【变式4-2】如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点. 求证：平面PCD． 【变式4-3】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 地 城 考点05 利用空间向量证明面面垂直 【例题5-1】2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【例题5-2】如图，四边形为正方形，平面，，. 证明：平面平面 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【变式5-1】56．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【变式5-2】45．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． 求证：(1)∥平面；(2)平面平面． 地 城 考点06 空间中线面位置关系的探索性问题 【例题6-1】如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【例题6-2】如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．    空间几何探索性问题解题策略: 解决此类问题，核心策略是“执果索因，假设验证”。首先，假设结论成立。在这一前提下，利用空间几何的判定与性质定理，挖掘使结论成立所需的几何条件（如平行、垂直关系）。其次，构建代数模型。对于规则几何体，优先建立空间直角坐标系，将几何条件转化为向量运算（如数量积为零、向量共线），并引入参数表示未知点或线的位置。最后，求解与检验。通过解方程或方程组确定参数值。若参数有解且符合实际位置，则存在；若无解或矛盾，则不存在。务必注意几何法与向量法的灵活切换与互补。 【变式6-1】在四面体中，，，，，，，，，，点在棱上，且， (1)计算，，的值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【变式6-2】如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：；(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【变式7-3】如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 三、巩固练习： 1．（多选）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 2．(多选)已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．(多选)已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（    ） A． B． C． 是平面 的一个法向量 D． 4．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 7．如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：；(2)证明：； 8．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面；(2)证明： 9．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点. 求证： (1)平面平面；(2)平面平面. 10．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 11.如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 12．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.6 空间位置关系的向量证明 高中数学辅导资料 专题1.6 空间位置关系的向量证明 一、必备知识： 1.空间中的线，面平行：直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 二、考点专练： 地 城 考点01 求平面的法向量 【例题1-1】已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则，因为，所以，令，则，所以平面的一个法向量为．所以平面的一个法向量的坐标为，又，故坐标为的向量不与共线，故A错误；又，故坐标为的向量与共线，故B正确；又，故坐标为的向量不与共线，故C错误；又，故坐标为的向量不与共线，故D错误.故选B． 【例题1-2】在正方体中，，，，点分别是的中点．   (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，则， 则，，， 得，则， 则，故的面积为. （3）设平面的法向量为，则，令，则， 平面的一个法向量为. 1.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量. 2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 3.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【变式1-1】已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，．设，则即令，则，，所以．故选：A. 【变式1-2】9．已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】，，设平面ABC的法向量为，则，即，令，得，，故平面ABC的一个法向量为．故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为；所以，， 设平面的法向量，则有，即， 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：，故选：CD 【例题2-1】已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（  ）地 城 考点02 利用空间向量证明线面平行 A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【详解】因为，，则，得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是，所以与的位置关系是：或，故选：D. 【例题2-2】如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．   (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【详解】（1）  因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 证明线面平行问题的方法： 1.证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； 2.证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； 3.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 【变式2-1】如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面. 【详解】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,，则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面. 【变式2-2】如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面. 【详解】底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，故，，两两垂直. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 在四棱台中，，，P为AB的中点， 故,则, 所以，即，且平面，平面， 故平面. 【变式2-3】如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面. 【详解】如图,以点为原点，分别以， ，所在直线为轴建立空间直角坐标系．设 ，则 ，过 P 作平面，垂足为点， 则点是正方形的中心，则 于是，则 设平面法向量为， 又，则， 因，故可取 由，可得， 又平面，故平面. 地 城 考点03 利用空间向量证明线线垂直 【例题3-1】在正方体中，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，所以，，，，.对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D. 【例题3-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. (1)求证：；(2)求的长. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ，， 所以， 所以. （2）由（1）知，所以. 所以. 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 【变式3-1】棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：；(2)求；(3)求FH的长. 【详解】（1）如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2）因为，所以, 因为，且， 所以； （3）因为是的中点，所以， 又因为，所以， ，即. 【变式3-2】如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点，用向量法证明：. 【详解】四面体的所有棱长都等于2，所以， 因为分别是棱的中点， 所以，， ， 所以. 【变式3-3】如图，四棱锥中，，平面平面，，． (1)若，求证：； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）由，且平面，平面， 故平面，设平面平面， 由平面，则，又，则， 又平面平面，平面， 故平面，又平面，故； （2）连接，由，，，则， 则有，故，又，故， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、， 设，则，，有，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，取，则， 有，取，则， 由平面平面，则， 由，则， 化简得，由，故，故或， 当时，，则， 由，且，则，故，故； 当时，，； 综上所述：的取值范围为. 地 城 考点04 利用空间向量证明线面垂直 【例题4-1】如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.     (1)当为中点时，求证:平面; (2)当平面时，求的值. 【详解】（1）证明：连接 ，设，则为的中点， 连接 ，因为和分别为，的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面 .   （2）以为原点，分别为和轴, 过做的平行线为轴，建立空间坐标系，如图所示， 设，则， 所以， 设，可得，则， 由平面，所以，解得， 所以.   【例题4-2】在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，，，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等，记，，，且，. (1)当时，用向量表示，； (2)是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由空间向量的运算法则，可得： ，， 则. （2）假设存在使得平面， 又由平面，可得，， 因为，则，其中， 可得 ， 又因为，且，，，， 所以，，，，所以，， 可得.且， 化简得，解得，故存在，使得平面. 用向量法证明线面垂直的方法及步骤： 1.利用线线垂直： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； ③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． 2.利用平面的法向量： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②求出平面的法向量； ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 【变式4-1】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面，所以平面． 【变式4-2】如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点. 求证：平面PCD． 【详解】如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形， 故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 【变式4-3】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 【详解】证明：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 可得，，， 则且， 所以，，且，平面， 所以平面. 地 城 考点05 利用空间向量证明面面垂直 【例题5-1】2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【详解】因为，又，所以， 所以，解得，故选：. 【例题5-2】如图，四边形为正方形，平面，，. 证明：平面平面 【详解】由题意易知两两互相垂直.如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设. 依题意有，则， 所以，，即， 又，平面，故平面.又平面， 所以平面平面. 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【变式5-1】56．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为，则， 令，得，所以， 因为，所以，所以平面平面. 【变式5-2】45．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为，所以，所以平面平面． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． 求证：(1)∥平面；(2)平面平面． 【详解】（1）依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，．由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 地 城 考点06 空间中线面位置关系的探索性问题 【例题6-1】如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】设正方体的棱长为3，则， 则，则， 则，所以或， 当时，与重合，时，与重合， 故不存在使得. 【例题6-2】如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．   【详解】存在，理由如下：由题意可知，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，   则, 因点P，Q分别是棱BB1，DD1的中点，则，则， 设，则， 若平面，则，得， 故存在点，使得平面. 空间几何探索性问题解题策略: 解决此类问题，核心策略是“执果索因，假设验证”。首先，假设结论成立。在这一前提下，利用空间几何的判定与性质定理，挖掘使结论成立所需的几何条件（如平行、垂直关系）。其次，构建代数模型。对于规则几何体，优先建立空间直角坐标系，将几何条件转化为向量运算（如数量积为零、向量共线），并引入参数表示未知点或线的位置。最后，求解与检验。通过解方程或方程组确定参数值。若参数有解且符合实际位置，则存在；若无解或矛盾，则不存在。务必注意几何法与向量法的灵活切换与互补。 【变式6-1】在四面体中，，，，，，，，，，点在棱上，且， (1)计算，，的值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意可得，，， （2）由题意，，则， 设，则， 又，若在线段上存在一点，使得， 则，解得， 故线段上不存在一点，使得. 【变式6-2】如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：；(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【变式7-3】如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，. 设平面的法向量为，则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以.所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 三、巩固练习： 1．（多选）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】CD 【详解】A:，，，则不垂直，直线与不垂直，故A不正确；B:若，则，∴存在实数，使得,无解，故B错误； C:，∴，与共线，，故C正确；D:点，，，，.向量是平面的法向量，，即，解得，故D正确.故选：CD. 2．(多选)已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于：∵，所以正确；对于：，∴，所以不垂直，所以不正确；对于：，，所以正确；对于：，，而，∴不平行于；所以不正确.故选：. 3．(多选)已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（    ） A． B． C． 是平面 的一个法向量 D． 【答案】ABC 【详解】由题意可知 都是非零向量，对于A， ，A正确；对于B， ，B正确；对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，C正确；对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误；故选：ABC. 4．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为，则，令，则，同理解得平面的法向量，，故A不正确；，故B不正确；，，所以， 又，所以平面，C正确；平面的一个法向量为， ，故D不正确；故选：C 5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 【答案】B 【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，， 对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确； 对于B，因，则，即，B正确； 对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确； 对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确. 故选：B 7．如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：；(2)证明：； 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ，故， 由于，故，显然，不重合，故； （2），故， 因此，故. 8．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面；(2)证明： 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：，则，所以. 9．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点. 求证： (1)平面平面；(2)平面平面. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴, 建立如图所示空间直角坐标系.  则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，，所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 10．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，， 设，则，，所以. （2）若是的中点，则，，，， 设平面的法向量为，则， 设，则，，故为平面的一个法向量， 设，， 若平面，平面，则，所以是的中点，所以. 11.如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 【详解】（1）在平面内过点作于点，连接. 在梯形中，由，，， 易得，则，，即. 在中，由余弦定理，得. ∵，且，∴，又，得平面. ∵平面∴平面平面. （2）过点作的平行线交于点，易得.以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 由已知，得，，，， 则的中点，的中点. （ⅰ）设，即，由，得， 则. ∵，，，四点共面，∴，即 ， 得，解得，即. （ⅱ）设， 则，. ∵直线平面，得，解得.则， ∴. 12．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）∵，E为BD的中点，∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面，∴， 而平面，平面，∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，   设平面的法向量为，则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 试卷第1页，共3页 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $