1.4.2 空间角问题 复习学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习 空间角问题 一、学习目标 1、 会求空间中异面直线的夹角。 2、 会求空间中直线与平面的夹角。 3、 会求空间中平面与平面所成二面角的平面角。 二、学习三点 重点：向量法（坐标法）求空间角。 难点：几何（定义）法求空间角。 易错点：空间角的范围、线面角。 三、用笔思考 （1）异面直线所成角 ①几何法 求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为_______________,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较困难,可以补形后,再作平行线,加以解决. ②向量法 设空间直线的方向向量分别为,其夹角为所成角的大小为,则或,所以_________________. 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤: (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式 =____________________ 求解. (4)两异面直线所成角的范围是________________,两向量的夹角的范围_______________, 当异面直线方向向量的夹角为_____________时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其________才是异面直线所成角. （2） 线面角 ①几何法 （1）根据直线与平面所成角的定义找直线与平面所成角,即在直线上一点作或找平面的垂线、找射影. （2）计算:得所求角，然后将所求角置于直角三角形中，通过解直角三角形加以解决。 注意：若求垂线有困难，可以通过求几何体的高，利用体积法加以解决。 若求作线面角有困难，可以通过平移斜线至合适位置，作出线面角，再在直角三角形中求解。 线面角的范围______________________________ ②向量法 如图所示,设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,两向量与的夹角为,则有或,所以_______________________________ （3） 面面角 ①几何法 二面角的大小计算主要是转化为平面角来实现的，求作二面角的平面角的方法主要有以下三种： 一是利用定义，即在二面角的两个半平面内作棱的___________，得到二面角的平面角； 二是作二面角的棱的垂面，_______________________所成的角，即为所求； 三是利用_____________定理或逆定理,在利用此定理作二面角的平面角时，关键是观察是否有直线与二面角的一个半平面垂直. 若在解题时遇到无棱问题，一般可以作两半平面的交线，再予以解决。 在作二面角的平面角有困难时，可以通过平移平面加以解决。 在解决客观题时，也可以通过一个半平面内几何图形的_________与该图像在另一个半平面内___________比求出二面角的平面角的___________，或通过异面直线上两点间的距离公式求解。 ②向量法 (1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量, 求出其夹角. 如图所示,即为所求二面角的平面角. (2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角,平面的法向量为, 平面的法向量为,, 则二面角的大小为__________________. 面面角与二面角的区别： 二面角: __________________________叫做二面角, 这条直线叫做二面角的_______________, 这两个半平面叫做二面角的面. 平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中___________的二面角称为平面与平面的夹角. 两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为___________, 二面角的取值范围为_________.若求得的二面角为_______, 则面面角即为二面角; 若二面角为钝角,则面面角为_______________. 4、 双师导学 1．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱柱的所有棱长为，是中点，求： 二面角的大小； 五、探究未知 你还有什么疑惑或新的发现？ 1 ②_________________________ 高二数学第1页（共2页）