精品解析：天津市西青区精武中学2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试卷

25-26（1）精武中学九年级数学月清2检测试卷 一、选择题： 1. 下列各点中与点关于原点对称的是（） A. B. C. D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 12. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题： 13. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 14. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是______． 15. 如图，是的内接四边形，，则的大小是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为______． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M和点N是格点，内接于圆，且直角顶点A在格点上，顶点B在线段上，且． （1）线段的长为______； （2）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点Q，使圆周角． 三、解答题： 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当x为何值时，． 21. 已知在中，，，经过点交于点． （1）如图①，若为直径，交于点，连接，求的大小； （2）如图②，若与相切，连接，求的大小． 22. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 23. 某公司可以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）当时，每件的利润是________元，总利润为________元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； （3）销售单价定为多少元时，此时总利润最大，最大总利润是多少？ 24. 综合与探究 如图，在等边三角形中，，是边上的中线．E是射线上的一动点，连接，以点B为旋转中心，把线段顺时针旋转后，得到线段，连接，． （1）如图1，当点E在线段上，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，若，求的长． （3）连接，若，求的长． 25. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26（1）精武中学九年级数学月清2检测试卷 一、选择题： 1. 下列各点中与点关于原点对称的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：与点关于原点对称的是． 故选：B． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C． 可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 【答案】A 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 故选D． 5. 如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，熟知切线的性质和圆周角定理是解答的关键． 连接，根据切线性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，A为切点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、圆心角的关系，先根据圆周角定理求出的度数，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握方程有两个实数根即判别式 是解决本题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，首先确保二次项系数不为零，再计算判别式使其非负，联立得到a的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即， 化简得：， 解得， ∴得的取值范围为且． 故选：C． 9. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、再方程两边同时加上即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 10. 如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形的内角和定理， 连接，根据切线的性质得，再根据三角形内角和定理求出，进而得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵内切圆I和边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 12. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断②；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断①；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③；根据和时，，可判定④，进而可得出答案． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为直线，故②错误； ∴为最低点，抛物线的开口向上，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确； ∵和时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题： 13. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键． 14. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， ∴进馆人次的月平均增长率为， 故答案为：． 15. 如图，是的内接四边形，，则的大小是________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质．首先根据圆内接四边形的对角互补，得．再根据圆周角定理，得，由，推出计算即可解答． 【详解】解：∵是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，然后数形结合即可求解． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 在正六边形中，， 因为， 所以是等边三角形， ，， 在中，，则， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，根据切线的性质得出，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：连接，        是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M和点N是格点，内接于圆，且直角顶点A在格点上，顶点B在线段上，且． （1）线段的长为______； （2）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点Q，使圆周角． 【答案】（1） （2） 如图，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点R，格点，格点，连接，，线段交于点T，线段交于点S，直线交于点Q，连接，，则点Q即为所求． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 理由： 设外接圆的圆心为O，连接，，，设与相交于，记经过格点D，如图， ∵， ∴是直径， ∴O为中点， 由网格特征知：，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵，O为中点， ∴，即 又， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点Q即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握圆周角定理是解题的关键． 三、解答题： 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 20. 已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当x为何值时，． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）先用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质即可得． 【小问1详解】 解：把点和代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∵， ∴图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 画出草图如下： 由图象知，当或时，． 21. 已知在中，，，经过点交于点． （1）如图①，若为直径，交于点，连接，求的大小； （2）如图②，若与相切，连接，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角计算即可． （2）利用切线的性质，圆心角与圆周角关系定理计算即可． 【小问1详解】 解：，， ． 四边形是内接四边形， ． 是直径， ． ． 【小问2详解】 解：如图，连接，． 与相切， ． ． ， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆心角与圆周角关系定理，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键． 22. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 【答案】（1）证明：∵BA＝BP， ∴∠BPA＝∠BAP． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°． ∴∠OPC＋∠OCP＝90°． ∵∠APB＝∠OPC， ∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB． ∵OA为半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论； （2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝， ∴OP＝2． 设AB＝x，则OB＝x＋2． 在Rt△AOB中，， ∴x＝3,即AB＝3． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键． 23. 某公司可以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）当时，每件的利润是________元，总利润为________元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； （3）销售单价定为多少元时，此时总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）10；4000 （2） （3）销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数值，求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据售价减去进价得出单件利润，再根据单件利润乘以销售量得出总利润； 对于（2），根据总利润等于单件利润乘以销售量列出关系式，并整理，再根据售价不低于成本价，不高于70元求出自变量取值范围； 对于（3），先将二次函数配方得出顶点式，再根据抛物线的开口方向和对称轴，可得当时，函数值随着x的增大而增大，然后将代入关系式求出最大值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 每件的利润为：（元）；总利润为：（元）； 故答案为：10；4000； 【小问2详解】 解：根据题意，得，且； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：二次函数， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数值随着x的增大而增大， ∴当时，元， 所以销售单价定为70元时，此时总利润最大，最大利润是6000元． 24. 综合与探究 如图，在等边三角形中，，是边上的中线．E是射线上的一动点，连接，以点B为旋转中心，把线段顺时针旋转后，得到线段，连接，． （1）如图1，当点E在线段上，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，若，求的长． （3）连接，若，求的长． 【答案】（1） ∵在等边三角形中， ∴， ∵把线段顺时针旋转后，得到线段 ∴， ∴ ∴ ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形和旋转得到，，，推出，即可证明； （2）同（1）可得，，得到，然后利用勾股定理分别求出，，然后证明出是等边三角形，即可得到； （3）根据题意分两种情况讨论，分别根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 同（1）可得， ∴ ∵在等边三角形中，，是边上的中线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵把线段顺时针旋转后，得到线段 ∴是等边三角形 ∴； 【小问3详解】 如图所示，当点E在线段上时， 同（1）可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点E在射线延长线上时， ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）当时，有最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质、等腰三角形的性质 （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得，，再由，可得，当时，有最大值； 【小问1详解】 解：将，代入，得 ， 解得 所以，抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵M点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $