精品解析：甘肃省兰州市第十一中学教育集团2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

兰州十一中教育集团2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 试卷满分：120分；练习时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共33分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行判断即可． 【详解】解：有理数的相反数是． 故选：C． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 3. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．根据算术平方根的意义对A项进行判断，利用二次根式的加减法法则对B项和C项进行判断，利用二次根式的乘法法则对D项进行判断即可． 【详解】解：A、，故此项不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故此项不符合题意； C、，故此项不符合题意； D、，故此项符合题意； 故选：D． 4. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得·：， 故选：C． 5. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 7. 如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 8. 如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可； 【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则； 已知谷子出米率为，则来年共得米； 则可列方程组为， 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可． 10. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（ ） A. 96 B. 48 C. 72 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ， ． 故选：A． 11. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 计算_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接进行分子相减，再化简即可． 【详解】原式=， 由于， 所以． 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键． 14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为12，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明四边形为矩形，再利用矩形性质和中位线性质证明，结合全等三角形性质推出，最后结合反比例函数k的几何意义求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点， ， 四边形为矩形， ， 是的中位线， ， ， ， ， 的面积为12， ， 反比例函数的图象在二、四象限， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，反比例函数k的几何意义，解题的关键在于灵活运用相关知识． 15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过H作于Q，根据勾股定理求出设，列方程,求出的值即可求出解． 【详解】解：过H作于Q，如图， 在矩形中，，，, ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，有， 即：， 解得：， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，角平分线性质，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 19. 如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 20. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 【答案】（1） （2）②③ （3）人 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案； （2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案； （3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为，故①不符合题意； ②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在这一组， ∴掷实心球成绩的中位数记为n，则；故②符合题意； ③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀． ∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀， ∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名， ∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀； 若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀； 学生1，学生4不可能同时为优秀， ∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意； 故答案为：②③ 【小问3详解】 排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为（人）． 【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键． 21. 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的值； （3）若点P是x轴上一点，且，求出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：；一次函数的解析式为： （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，把的坐标代入反比例函数解析式求得的值，从而求得反比例函数解析式，然后把的坐标代入的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）依据题意，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围； （3）依据题意，先求点，进而得到，设，再由，从而可得，进而计算求解即可． 【小问1详解】 解：在函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为：． 点在函数的图象上， ， ． 经过， ， 解得， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 不等式时x的解集为或； 【小问3详解】 是直线与x轴的交点， ∴当时，， 点， ， ； 设， 又，即， 解得， 或． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1） （2）长为9m，宽为5m 【解析】 【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 23. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 【答案】（1）勾股定理的逆定理； （2）证明：由作图方法可知：，， ，． 又， ． ． 即． （3）①如图，直线即为所求； ②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等． 【解析】 【分析】（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可； （2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）； （2）略 （3）解：①略 ②略 【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 24. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． （1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； （2）估计路灯的高． 【答案】（1） 如图： 点O和点Q即为所求： （2）路灯的高是4.5米 【解析】 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 25. （1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________； （2）类比探究：如图2，，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值； （3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长．    【答案】（1）1（2）（3） 【解析】 【分析】（1）运用等边三角形的性质，证明，从而得出结论； （2）先证明，再证得，进而得出结果； （3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形 ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：1； （2），， ， 设 则， ∵ ，； ， ， ； （3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 是等腰直角三角形，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． （1）已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； （2）若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； （3）已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 【答案】（1） （2）①满足等式的值即可，答案不唯一，② （3）① ②左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度 【解析】 【分析】本题考查新的定义，线段的平移，正确理解轴距等点是解题的关键． （1）正确理解轴距等点，逐个计算，即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值，即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点即可列出等式，即可解答； （3）①设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出的最小值；②依据数形结合，分类讨论，即可解答． 【小问1详解】 解∶ 到两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为， 故点的轴距等点是． 答案为C． 【小问2详解】 ①设点的坐标为， ∵点在第三象限，点与点为轴距等点， ∴，，， 即，满足该等式的值不唯一， 如，． ②由①得，， ∴， ∵点与点仍为轴距等点， ∴，即， ∴， 即， ∴或（不合题意，舍去） 解得， ∴ ∴E， 故答案为． 【小问3详解】 ①设， 由，可得，且， ∵，两点为轴距等点， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时为最小值． 故答案． ②如图所示，点，，设线段与交点为E， ∵线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，且 ∴ 当 时，点E在左侧，有 ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在右侧，有 ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在、之间（不包括A、B）， ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在与点A重合，有 ，此时符合条件． 故线段向左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度得到线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州十一中教育集团2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 试卷满分：120分；练习时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共33分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 7. 如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（ ） A. 96 B. 48 C. 72 D. 36 11. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 计算_________． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是___． 14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为12，则k的值为_________． 15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 17. 解分式方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于，若，，求的长． 20. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 21. 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的值； （3）若点P是x轴上一点，且，求出点P的坐标． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 23. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 24. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． （1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； （2）估计路灯的高． 25. （1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________； （2）类比探究：如图2，，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值； （3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长．    26. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． （1）已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； （2）若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； （3）已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $