精品解析：江西省宜春市第八中学2025-2026学年上学期九年级第二次阶段性测试数学试卷

2025-2026学年上学期第二次阶段性练习九年级数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 若三点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A. AI B. AI C. AI D. AI 5. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点重合时，停止运动），则关于的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 8. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 9. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，若的面积为，则____ 10. 如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______． 11. 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点与点关于直线对称，直线于点，为中点，测得直径为，，则提梁的长为_____． 12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 14. 河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们历史悠久，在古代文化史上地位极高、影响深远．如图，小沈将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为_______； （2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的概率． 15. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，是的内接三角形，且，过点画弦； （2）如图2，是的内接三角形，弦，画的平分线交于点． 16. 数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． （1）求反比例函数表达式； （2）将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 17. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 19. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 20. 某学校要新建一块篮球场地（如图所示）．要求：①篮球场地的长和宽分别为和； ②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及篮球场地外部的安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度． （2）某公司希望用50万元承包这项工程，校方认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 2 3 4 5 … … 0 0 3 8 … （1）抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______； 求抛物线的解析式及的值． （2）如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线． 抛物线的解析式为______； 记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围． 22. 【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线．直线分别交抛物线于点． （1）【观察发现】 数学小组在探究上述抛物线时发现了以下结论： ①抛物线的解析式为（n为正整数）； ②抛物线都经过点和； ③； ④抛物线可以由抛物线平移得到． 其中正确的是______（填序号）； 【形成概念】 我们把满足（n为正整数）的抛物线称为“共点抛物线”． 【探究思考】 （2）若“共点抛物线”与直线分别交于点． ①点D的坐标是______； ②求线段与之间的数量关系； ③若抛物线与x轴的交点分别为，判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二次阶段性练习九年级数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 3. 若三点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质分析判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B． 4. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A. AI B. AI C. AI D. AI 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系． 5. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 6. 如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点重合时，停止运动），则关于的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象，解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用三角形面积公式即可得出函数解析式，根据题意可得：，，，，再由，可得出，运用二次函数的图象和性质即可判断答案． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在等腰直角中，，， ∴，， 依题意得：，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图象为抛物线， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 8. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 9. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，若的面积为，则____ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，三角形中线的性质，理解的几何意义是解题的关键．根据三角形中线可得，再根据，且，由此即可求解． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点在反比例函数图象上，， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 10. 如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键． 连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题． 【详解】解：连接、连接并延长交于点， ∵等边， ∴， 又∵是等边的内切圆， ∴是的角平分线，即，， ，， 又∵是的切线，的半径为2， ∴是切点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 11. 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点与点关于直线对称，直线于点，为中点，测得直径为，，则提梁的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线l对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故答案为． 12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理、求圆锥的侧面积，熟练掌握配方法解一元二次方程以及圆锥的侧面积公式是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即可． 【小问1详解】 解： 可得或 解得，； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 圆锥的侧面积为． 14. 河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们历史悠久，在古代文化史上地位极高、影响深远．如图，小沈将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为_______； （2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式列式计算，即可作答． （2）先画树状图，得出一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的结果有种，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图，如图所示： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的结果有种， ∴抽到的两张卡片中的书院所在地都在河南的概率为． 15. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，是的内接三角形，且，过点画弦； （2）如图2，是的内接三角形，弦，画的平分线交于点． 【答案】（1） 解：如图，弦即为所求: （2） 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查作图，运用了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）连接并延长交于点D，连接，问题得解； （2）连接交于点N，连接，并延长交于点F， 连接交于点E，问题得解． 【小问1详解】 连接并延长交于点D，连接， 证明：连接，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接交于点N，连接，并延长交于点F， 连接交于点E， 即平分； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）中方法可证明垂直平分， ∴， ∴， ∴平分． 16. 数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． （1）求反比例函数表达式； （2）将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由待定系数法求解； （2）先得到，则平移后点对应点记为点，当点恰好落在反比例函数图象上时，求出此时的值，即可求解满足边与反比例函数图象始终有交点时，的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵点恰好落在反比例函数图象上 ∴将代入得：， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵将此教具沿轴正方向平移个单位， ∴平移后点对应点记为点， 当点恰好落在反比例函数图象上时， 将代入得：， 解得：， ∴此教具边与反比例函数图象始终有交点，则． 17. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把代入，求得y的值，与6作比较即可． 【小问1详解】 解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米， ∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点， 把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时，， ∵， ∴能飞越防御墙． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键． 19. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 20. 某学校要新建一块篮球场地（如图所示）．要求：①篮球场地的长和宽分别为和； ②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及篮球场地外部的安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度． （2）某公司希望用50万元承包这项工程，校方认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）2米 （2）20% 【解析】 【分析】（1）篮球场地长、宽，四周安全区域宽度为，则包含安全区域的大长方形长为，宽为，总面积为，建立一元二次方程求解安全区域宽度； （2）设每次降价的百分率为，依据两次降价后价格的变化规律，根据等量关系列方程解方程即可求解． 本题考查一元二次方程的实际应用，关键是找准等量关系列方程，且需检验解的实际意义（如长度非负、降价率合理）． 【小问1详解】 解：设安全区域的宽度为米，由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：安全区域的宽度为2米； 【小问2详解】 设每次降价的百分率为，由题意得， ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 2 3 4 5 … … 0 0 3 8 … （1）抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______； 求抛物线的解析式及的值． （2）如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线． 抛物线的解析式为______； 记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围． 【答案】（1）；；，； （2）；． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴的求法即可求出对称轴，利用利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求点的坐标； 由可得出抛物线的解析式，把点代入即可求出； （2）设的顶点为，的顶点为，由题意可知点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，利用中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； 直线经过点，即直线为，当过点的直线与、有且仅有一个交点时，解得，当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，或， 对称轴为， 把，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，； 由可知，抛物线的解析式为， 把代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：如图：设的顶点为，的顶点为， 当时，， ， 将抛物线绕点旋转后，得到抛物线， 点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反， ， ，， ， 抛物线的解析式为； 直线经过点， ，即直线为， 当过点的直线与有且仅有一个交点时， 令，即， ， 解得：， 当过点的直线与有且仅有一个交点时， 令，即， ， 解得：， 当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点， 故图象与过点的直线有且仅有一个交点时，的取值范围是． 22. 【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1） 略 （2）略 （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线．直线分别交抛物线于点． （1）【观察发现】 数学小组在探究上述抛物线时发现了以下结论： ①抛物线的解析式为（n为正整数）； ②抛物线都经过点和； ③； ④抛物线可以由抛物线平移得到． 其中正确的是______（填序号）； 【形成概念】 我们把满足（n为正整数）的抛物线称为“共点抛物线”． 【探究思考】 （2）若“共点抛物线”与直线分别交于点． ①点D的坐标是______； ②求线段与之间的数量关系； ③若抛物线与x轴的交点分别为，判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①②③ （2）① ② ③．理由如下： 令， 则， ， 解得， ∴点的坐标是， ， ． 由②知，， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】（1）结合图像规律去分析每一项的对错即可； （2）①令，将其代入关系式即可得到答案； ②利用关系式求得，计算即可； ③令进而求出的坐标，进而求解即可； 【小问1详解】 解：①根据二次项系数，可推得的二次项系数为； 根据一次项系数，可推得的一次项系数为，故①正确； ②抛物线的解析式中都不含常数项，则三条抛物线都经过． 直线分别与抛物线相交，代入求得交点B的坐标为，故②正确； ③将分别与抛物线的解析式联立，求得， ，即，故③正确； ④平移抛物线不改变二次项系数的值，故抛物线不可以由抛物线平移得到，故④不正确． 故答案为：①②③． 【小问2详解】 ①令， 则， ， 解得， 点的坐标是． ②由点的坐标是，得， ， ， ． ③略 【点睛】确定各项系数关系并找到规律，灵活运用因式分解法解复杂的一元二次方程，掌握同底数幂的转化计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $