第十六章 整式的乘法 章综合复习 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了整式乘法单元的幂的运算、整式乘除、乘法公式等核心知识，通过知识结构框架将同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方及平方差公式、完全平方公式等内容串联，构建逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于融合辨析题、综合题及数形结合题，如通过图形推导(a+b)²与(a-b)²的关系培养几何直观，结合错题解析强化运算能力，分层设计满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升复习效率。

第十六章　整式的乘法 章综合复习 数学人教版八年级上册 1GB=2 MB 10 整式的乘法 幂的运算 同底数幂乘法 积的乘方 幂的乘方 整式的乘法 单项式乘单项式 多项式除以单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 同底数幂除法 单项式除以单项式 乘法公式 平方差公式 添括号法则 完全平方公式 整式除法 整式乘法的特殊形式 本章知识结构 (1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加.am·an=am+n (m，n都是正整数) . 法则 同底数幂的乘法 (1)底数a可以是数、单项式或多项式； (2)单个字母的指数是1，幂的指数为1时，不要漏掉，例如a·a2=a1+2=a3 注意 (2)拓展：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用： am·an·ap = am+n+p (m，n，p都是正整数) (3)法则的逆用：am+n = am · an (m，n都是正整数) 知识要点提炼 (1)幂的乘方，底数不变，指数相乘.(am)n= amn　 (m，n都是正整数) (2)法则的逆用：amn=(am)n=(an)m (m，n都是正整数) 幂的乘方 幂的乘方与积的乘方 (1)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n=anbn (n是正整数) (2)法则的推广：(abc)n = anbncn (n为正整数). (3)法则的逆用：anbn= (ab)n (n为正整数). 积的乘方 先看积中有哪些因式，尤其字母的系数，不要漏掉乘方. 注意 知识要点提炼 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 法则 单项式乘以单项式 (1)单项式乘单项式的结果仍是单项式; (2)系数相乘时，要注意符号; (3)同底数幂相乘时，注意字母指数为1时，不要丢掉; (4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 注意 知识要点提炼 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即：m(a+b+c)=ma+mb+mc. 法则 单项式乘以多项式 (1)单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘，特别是多项式最后如果有常数项的时候； (2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同； (3)单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 注意 知识要点提炼 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即：(a+b)(m+n)=am +an +bm + bn. 法则 多项式乘以多项式 (1)逐一相乘时，注意系数的符号; (2)注意按一定的顺序去乘，不要漏项； (3)多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式的项数之积. 注意 知识要点提炼 (1)同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n) (2)推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也适用这一法则：am÷an÷ap=am-n-p(a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n+p) 法则 同底数幂的除法 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 注意 零指数幂 零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1. a0=1(a≠0) 知识要点提炼 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 知识要点提炼 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a−b)=a2−b2 平方差公式 平方差公式 ①紧紧抓住：“一同一反”这一特征； ②对于不符合平方差公式标准形式者，可对算式进行适当变形，再用公式. 注意 常见公式变形 (a+b)(a-b) -(a+b)(a-b) 知识要点提炼 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 即：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 完全平方公式 完全平方公式 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央” 常见公式变化 ①a2+b2=(a+b)2-2ab； ②a2+b2=(a-b)2+2ab； ③(a+b)2=(a-b)2+4ab； ④(a-b)2=(a+b)2-4ab； ⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab. 知识要点提炼 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号：a+b+c=a+(b+c) 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号：a-b-c=a- (b+c) 法则 添括号法则 简记为：“正号在前直接抄，负号在前变号抄” ①添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确； ②有些整式相乘需要先通过添括号作适当变形，然后再灵活运用乘法公式计算. 注意 知识要点提炼 解：A、2a3•a2＝2a5，错误； B、（﹣a3）2＝a6，错误； C、a6÷a2＝a4，错误； D、（2a）2＝4a2，正确； 故选：D． 下列计算正确的是（　　） A．2a3•a2＝2a6 B．（﹣a3）2＝﹣a6 C．a6÷a2＝a3 D．（2a）2＝4a2 D 重点知识巩固 若(x﹣2)(x+3)＝x2+ax+b，则a，b的值分别为( ) A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6 D 已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b， 利用多项式相等的条件得：a＝1，b＝﹣6， 故选：D． 重点知识巩固 若(x2+px+8)(x2﹣3x+1)乘积中不含x2项，则p的值为（　　） A．p＝0 B．p＝3 C．p＝﹣3 D．p＝﹣1 (x2+px+8)(x2﹣3x+1) ＝x4+px3+8x2﹣3x3﹣3px2﹣24x+x2+px+8 ＝x4+(p﹣3)x3+(9﹣3p)x2+(p﹣24)x+8． ∵(x2+px+8)(x2﹣3x+1)乘积中不含x2项， ∴9﹣3p＝0． ∴p＝3． 故选：B． B 重点知识巩固 (1)任何不为零的数的零次幂等于1, ∴x-3=0，解得：x=3， (2)1的任何次幂都是 1，∴x+3=1，解得：x=-2 ， (3)-1的偶次幂等于 1，∴x+3=-1，且x-3 为偶数， 解得：无解， 故答案为：-2或3. -2或3 重点知识巩固 已知2x=6，2y=10，8z=5，求2x+2y-3z的值为 . 120 ∵2x=6，2y=10，8z=23z=5， ∴2x+2y-3z=2x · 22y÷23z =2x ·(2y)2÷23z =6×102÷5 =120 故答案为：120 重点知识巩固 方法总结 进行幂的运算的“三点注意” （1）在进行同底数幂的乘法运算时，注意指数是相加而不是相乘． （2）在进行幂的乘方或积的乘方运算时，当底数是负数、指数是奇数时，注意符号为负． （3）在进行加法运算时，不是同类项的不能合并． 重点知识巩固 方法总结 运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用法则进行计算. 在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算. 重点知识巩固 A 重点知识巩固 小明做了以下5道题：①(x﹣1)(x+4)=x2﹣4；②(﹣3+x)(3+x)=x2﹣9；③(﹣5x+7y)(﹣5x﹣7y)=25x2﹣49y2；④(xy﹣6)2=x2y2﹣12xy+36；⑤(﹣x﹣y)2=x2+2xy+y2 ， 你认为小明一共做对了( ) A. 5道 B. 4道 C. 3道 D. 2道 ①(x﹣1)(x+4)=x2+3x﹣4，不符合题意； ②(﹣3+x)(3+x)=x2﹣9，符合题意； ③(﹣5x+7y)(﹣5x﹣7y)=25x2﹣49y2 ， 符合题意； ④(xy﹣6)2=x2y2﹣12xy+36，符合题意； ⑤(﹣x﹣y)2=x2+2xy+y2 ， 符合题意，故选B. B 重点知识巩固 A 重点知识巩固 用简便方法计算： （1）2 0252－2 024×2 026； （2）19.92＋19.9×0.2＋0.12． 解：（1）2 0252－2 024×2 026 ＝2 0252－(2 025－1)×(2 025＋1) ＝2 0252－2 0252＋1 ＝1； 重点知识巩固 解：（2）19.92＋19.9×0.2＋0.12 ＝(19.9＋0.1)2 ＝202 ＝400． 用简便方法计算： （1）2 0252－2 024×2 026； （2）19.92＋19.9×0.2＋0.12． 方法总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度． 重点知识巩固 C 重点知识巩固 重点知识巩固 综合能力提升 (1)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求 xy 和 x2＋y2 的值； (2)若 a2＋b2＝15，(a－b)2＝3，求 ab 和(a＋b)2 的值． 解：(1)∵(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9， ∴x2＋2xy＋y2＝25， ① x2－2xy＋y2＝9． ② ①＋②，得2(x2＋y2)＝34， ∴x2＋y2＝17， ∴17＋2xy＝25， ∴xy＝4． 综合能力提升 (1)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求 xy 和 x2＋y2 的值； (2)若 a2＋b2＝15，(a－b)2＝3，求 ab 和(a＋b)2 的值． 解：(2)∵(a－b)2＝3，∴a2－2ab＋b2＝3． ∵a2＋b2＝15， ∴15－2ab＝3， ∴2ab＝12， ∴ab＝6． ∴a2＋2ab＋b2＝15＋12， ∴(a＋b)2＝27． 综合能力提升 设A，B是两个不同的两位数，且B是由 A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2 是完全平方数，求A的值. 设A=10a+b，a，b为正整数且1≤a≤9，1≤b≤9，a≠b，则B=10b+a A2-B2 =(10a+b)2-(10b+a)2=99(a2-b2)=32×11(a2-b2). 因为A2-B2是完全平方数且a2-b2≤92-12=80，所以a2-b2=11或a2-b2=22×11，易知当a=1，2，3时，a2<11，不符合题意; 当a=4时，b2=5，不符合；当a=5时，b2=14，不符合； 当a=6时，b=5； 当a=7时，b2=38，或b2=5，不符合; 当a=8时，b2=53，或b2=20，不符合； 当a=9时，b2=70，或b2=37，不符合. 综上，a=6，b=5，则A=65. 综合能力提升 请利用“数形结合”的思想解决下列问题，图1是一个长为4b，宽为a(a>b)的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形. (1)观察图1，图2，请写出(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系 . (2)根据(1)中的等量关系求解：若x+y=6，xy=5，求(x-y)2的值; (3)如图3，在△BCE中，BCE=90°，CE=8，点M在边BC上，CM=3，在边CE上取一点Q，使BM=EQ，分别以BC，CQ为边在△BCE的外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ.若△BCQ的面积为10.5，设BM=x(x>0)，求正方形ABCD和正方形COPQ的面积和. a b b b b a a a a b b b b 图1 图2 图3 A B D C E Q O P M 综合能力提升 请利用“数形结合”的思想解决下列问题，图1是一个长为4b，宽为a(a>b)的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形. (1)观察图1，图2，请写出(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关 系 . a b b b b 图1 a a a a b b b b 图2 (1)图②正方形的面积是(a+b)2，也可以表示成 (a-b)2+4ab，所以有(a+b)2=(a-b)2+4ab； 故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab. (a+b)2=(a-b)2+4ab 综合能力提升 请利用“数形结合”的思想解决下列问题，图1是一个长为4b，宽为a(a>b)的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形. (2)根据(1)中的等量关系求解：若x+y=6，xy=5，求(x-y)2的值; (2)由(1)可得(x+y)2=(x-y)2+4xy, 因为x+y=6，xy=5, 所以(x-y)2 =(x+y)2-4xy =62-4×5 =16; 综合能力提升 (3)如图3，在△BCE中，BCE=90°，CE=8，点M在边BC上，CM=3，在边CE上取一点Q，使BM=EQ，分别以BC，CQ为边在△BCE的外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ.若△BCQ的面积为10.5，设BM=x(x>0)，求正方形ABCD和正方形COPQ的面积和. (3)设BM=x，则BM=EQ=x， 因为CM=3，CE=8 所以CQ=CE-EQ=8-x， BC=BM+CM=3+x. 因为S△BCQ=BC×CQ÷2=10.5 所以(8-x)(3+x)=21. 令8-x=a，x+3=b 所以a+b=11，ab=21 正方形ABCD和正方形COPQ的面积和为： a2+b2 =(a+b)²-2ab =112-2×21 =79. A B D C E Q O P M 图3 综合能力提升 $