湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期第五次阶段性考试数学试卷

临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A={0,2,7},B={0,7,9},则() A.0AB B.2∈A∩B C.{0)4A∩B D.(7A0B 2.已知复数z满足zi=1+),则|z=(（) A.1 B.√2 C.2 D.√5 3.设向量a=(2,x),b=(2+x,2x),若a·(2ā-b)=0,则x=() A.2 B.3 C.4 D.5 4.己知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为() A.2π B. 3交 C.3π D.4π 5.己知函数f)=tm(2x-孕，则下列命题正确的有( )个 ①f(0)=V3 ②f)在（π，7西）上单调递增 12'12 ®，0为的一个对称中心 ④f(x)最小正周期为π A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知函数f(xx∈R),若对于任意的等差数列{a},总有{f(4)}是等差数列，则称函数f(x) 具有“保等差性”，函数f(x)可能是() A.f(x)=2 B.f()=x2 C.f(x)=sinx D.f(x)=2x+1 7.1:ax+2by-4=0被圆x2+y2+4x-2y+1=0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是() A.3 B.5 C.2 D.√2 8.已知指数函数f(x)=a,若f(f(x)=x有且只有两个不等根，则a的取值范围是() A.(0,ee) B.[ee,1) C.(L,e) D.[e°，+o) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在(2x+马的展开式中，() A.常数项为20 B.含x的项的系数为80 C.各项系数的和为32 D.各项系数中的最大值为8O 10.设A,8为两个相互独立的随机事件，且P(A)=二，P(8)=),下列命题中正确的有( ) APa网-若 B.PB1D=号 C.P8)= D.P(AB)=11 12 11.已知a>0,e+b=1,则() A.a+lnb<0 B.ea+b>2 C.Ina+b<0 D.a+b>1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，若P(X>4)=0.36,则P(2≤X≤4)= 13.函数f)=②x+0-1在号2]上的最小值为 14.有n个编号分别为1,2，…，n的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均 为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取 一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)已知等差数列{a}满足4，=7,4。=11. (1)求{a}的通项公式： (2)设等比数列也}的前n项和为Sn,且b1=S+2,令cn=a,+b, 求数列{cn}的前n项和T 16.(本小题满分15分)如图所示，已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且asin B=-√3 bcosA. (1)求角A的值： B (2)若点D是△ABC的外接圆上一点（不与A、B、C重合）， 且满足AB=3,AC=5,BD=7,求四边形ABCD的面积. D 17.(本小题满分15分) 如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=6O°， F BD⊥CD,E为BC中点. A (1)证明BC⊥DA: (2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值， C E ⊙ 18.(本小题满分17分) 勿图，程圆C活+芳=a>b>0)过点P8:袋距为45，斜 率为}的直线！与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,2W均不与x轴垂直。 (1)求椭圆C的方程： (2)若|MN=V10,求MN的方程： (3)记直线PM的斜率为k,直线PN的斜率为k,,证明：kk,为定值. y M 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=x+ax,g(x)=ex-lhx-2x. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若g(x)=0,求x。+x。的值； (3)证明：x-xx≤ex+x2. 临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷 数学（参考答案） 题号 1 2 6 8 10 11 答案 D B A A D BD BCD ABD 12.0.28 13.2 14. 8.方程f(f(x)=x可化为：=x,即方程a=l0g。x有两个不等根， 即函数y=d与y=log。x图象有两个不同交点， 因为y=d与y=og。x互为反函数，所以两函数图象关于y=x对称， 则y=d与y=log,x图象的交点都分布在直线y=x上， 所以问题等价于y=d与y=x有两个不同交点，即i=x今ha=hx→hM=h有两根， 即函数y=图象与直线y=ha有两个交点，设g)-四，则g')=1-hm f? 当x∈(0，e)时，g(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(e,+o)时，8'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(=g®)=1，又g(1)=0,x→0，g)→-n,x→+w,gw→0， 可得g(x)大致图象如下， 则要使y=匹图象与直线y=ha有两个交点， =g(x) 需满足0<ha<,即1<a<e, 所以a的取值范围是Q,e).故选：C. 11.e+mb=1,e=1-lmb,a>0,.1-hb>1,∴.0<b<1, 构造f()=e-x-l(x>0),则f'(x)=e-1>0,∴.函数f(x)在(0，+o)上单调递增， ∴f(x>e°-0-1=0，∴e>a+1.1=e°+b>a+1+nb,.a+hb<0,故A正确： 令8=hm-x+1(0<x<),则g(w=1-1=1-x>0, x .函数g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)<m-1+1=0, ∴.hb<b-1,.1=e2+lnb<e+b-1,∴.e°+b>2,故B正确： 当b=时e-2=1,则a=b3,hB>1,0)>0,a+b=n3)+导>0，故c错误： bing)abmn 令m后=i,则b=e,t>l,a+h=M+e 设h=t+e,t>1,则n0=}e=1e=e-et te' 令pt)=e-et,t>l,则p(t)=e-e>0, 可知函数p()在(L,+o)上单调递增，p(t)>e-e=0,则()>0， h(t)在1，+w)上单调递增，ht)>lm+e°=1，.a+b>1,故D正确.故选：ABD. 14.记事件4表示从第0-1,2，，)个盒子里取出白球，则P4)-子P④=1-P4) 4 i)R4)+4)=4P4140+i4a-子号5日 P4-PAP44+aA41a)-×子+Pa)X4)+号品 119 3 进面可得)=PA水号aD号l-写4，+e习： 所以)-支P4)又0-=子)-立0--40- 所以{PA)之是首项为}，公比为的等比数列， 所4)-9，即A)子令+片 故从第n个盒了中取到黑球的餐率是为1-心4)=1-×令+号子 故答案为： 15.(1)设等差数列a}的公差为d,则0=a+3刘=7，解得8=1 46=4+5d=11,” d=2, 所以{a,}的通项公式a,=2n-1;(6分) b,=5+2, (2)设等比数列{b}的公比是g,由 得98+之解得么 b=5,+2,bq=2h+4,1 9=2, 所以{b)的通项公式为b,=2”,结合(1)知c,=a+b,=2”+2n-1, 所以数列C,}的前n项和工=20-2望+0+21-少=21+m-2.(13分) 1-2 2 16.(1)由正弦定理，：asinB=-√B6cos4,a= b ,.'sin Asin B=-3sin B cos A, sinA sinB 0<B<π，sinB>0,则tanA=-√5， :(7分) 0<A<π，A=2π (2)△ABC中，c=3,b=5,∴a2=b2+c2-2 bc cosA=49,.a=7=BD, 又ABCD内接于圆，且BD=BC=7,故点D在优弧BC上，且∠BDC- 3 △BCD为等边三角形，：S-)BD.BC.sin”-495 34 X.AB AC.sin 2153 2 34 .S四边形AcD=SAc+SBCD=16V5.（15分) 17.(I)证明：连接AE,DE,DB=DC,E为BC中点.DE⊥BC, 又，DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°， .△ACD与△ABD均为等边三角形，.AC=AB, AE⊥BC,AE∩DE=E,.BC⊥平面ADE, :ADC平面ADE,.BC⊥DA.(6分) (2)DA=DB=DC=2,..BC=22, .DE=AE=2,AD=2,..AE2+DE2=4=AD2,..AE L DE 又AE⊥BC,DE∩BC=E,AE⊥平面BCD,(9分) 以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系， D(V2,0,0),A0,0,V2),B(0,V2,0),E(0,0,0), EF=DA,.F(-√2,0，V2), D DA=(←2,0，V2),AB=(0,V2,-V2),AF=(-√2,0,0)， 设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为乃=（代，y,),乃=(3y2,), 则 「-2x+V2z=0∫V2y,-V2z,=0 2y-2a=0-2x,=0 令x=1,解得4==1，令2=1，解得x2=0,z2=1,(13分) 故h=1,1,1),2=(0,1,1), 设二面角D-AB-F的平面角为0，则1c0s9外4：业=一2云-6 1%l213x√互3 文n0=3所以三面角D-AB-P的正弦值为5.15免 3 2c=4V2 [a=2W3 18.(1)由题意得 是+是1，解得b2·故椭圆C的方程为。+上1.(4分 124 a2=b2+c2 c=2W2 (2》设直线的方程为y=+m:,W:M,为) 1 y=-x+ 联立 ,消去y得4x2-6x+9m2-36=0, + =1 124 由△=(6)2-1440㎡-49>0，得_4W5 43 3m << 。则x+2=二30 3 4 /92 3V4 -9m2-30-cv16-3m=0, 解得m=2或1=-2，(8分) 当m=-2时，直线/的方程为y=--2: 当m=2时，直线：y号+2经过点心，不符合题点，舍去 所以当A0v而时，N的方程为y=-2.(1分) (3)证明：直线PM,PW均不与x轴垂直，所以x≠3，x,≠3，则m≠0且m≠2， 所以k,==1-1+m-0(-子+m-0 x-3x2-3 (x1-3)(x2-3) 1 9,30m-03+x,)+(0m-12 1 19m2-361 -943 a)+加- xx2-3(+x2)+9 92-36-3.3m+9 4 2 =3t-6m-号. 所以kk,为定值.（17分) 9m22-18m3 19.(1)f(w的定义域是0，+o∞)，f)=1+-+a 当心0时，"(x)>0恒成立，f(x)在(0，+m)单调递增， 当a<0时，f(x)在(0，-单调递减，在(-a,+)单调递增， 综上：当心0时，f(x)在(0，+∞)单调递增， 当a<0时，f(x)在(0，-单调递减，在(-a,+o)单调递增；（5分) (2)若gx)=0,则e=2x。+h, .e-o=x+lo:e%o+he=x+ho, 由(1)a=1时，f(x)=x+l,则f(x)在(0，+o)单调递增， 故f(eo)=f(化)，即e=x,e-x。=x+hx=0,故x。+。=0;(10分) (3)法一g要证x-x≤ex+x2,即证ex+x2-x+xh≥0， 设h()=e+x2-x+xhr,(x>0),()=-ex+2x+hr, 令g)=G),则g(x)=e+2+1>0, 故函数(x)单调递增，又（白）<0，H(1)>0, 故)在（台，）上存在唯一零点。，即-e”+2x+x=0, 故当x∈(0，x),()<0,当x∈(x。,+o)时，H()>0, 故函数h()在x∈(0，x)上单调递减，在x∈(x。,+o)上单调递增， 故h(r)≥h(x)=eo+x,2-。+x,x, 由-eo+2x。+x,=0,得h(x)=(x。+1(x+hx)=0, 故h(x)≥0，即f(x)≤ex+x2,即x-xx≤e+x2.(17分) 法二8原不等式等价于e-+x1-hx，即e-m-(←x-h)-1>0, 令h(x)=e-x-1,易证h(x)≥0，故原不等式成立.