安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三上学期数学统一作业14

合肥八中2025-2026学年高三上学期数学数学统一作业14 命题人：王仰光 审题人：王四一 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设（其中为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．展开式中的系数为 A． B． C． D． 5．数列是等比数列，，，则（    ） A． B． C． D．1 6．不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与互斥 D．与独立 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．若与不共线，且，则 D．若且，则 10．四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（    ）    A．直线与直线为异面直线 B．四棱锥的体积为2 C．在中，当时， D．四棱锥的外接球表面积为 11．已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为.当时，，其中为自然对数的底数，则（   ） A．当时， B．在上有且只有1个零点 C． D．在上为增函数 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．在对某中学高一年级学生身高调查中，采用按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生32人，其平均数和方差分别为170和1.76，抽取了女生18人，其平均数和方差分别为165和4.76，则高一年级全体学生的身高方差为 . 13．已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 14．若曲线与函数的图像有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ； 四、解答题（共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 16．近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代 1 2 3 4 5 产值（百亿元） 16 20 27 30 37 (1)求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值； (2)该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望. 参考公式：； 参考数据：. 17．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正切值为2，点满足，求直线与平面所成角的余弦值. 18．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 19．已知， (1)时，证明：； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《合肥八中2025-2026学年高三上学期数学数学统一作业14》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C A B D A 题号 9 10 11 答案 BC ACD BCD 1．D 【解析】求解集合A，因为，所以，讨论集合为空集和非空两种情况，分别解出的范围即可. 【详解】解：集合， 因为，所以， 当集合时，，解得：； 当集合时， 解得：， 所以的范围是 故选：D. 【点睛】本题考查已知集合的关系求参数的范围，属于基础题. 易错点睛：集合之间的包含关系注意集合为空集的情况. 2．C 【解析】运用复数的除法运算法则，直接求出,再求出其共轭复数. 【详解】，故本题选C. 3．D 【分析】根据给定条件，求出函数解析式并确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】设幂函数，由，得，解得，， 函数在定义域上单调递增， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 4．C 【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数． 【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为， 故选：C． 5．A 【解析】分析出，再结合等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，因此，. 故选：A. 6．B 【分析】根据事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件：一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解发生，一定发生，发生，不一定发生即可判断和事件，积事件，互斥关系，独立关系． 【详解】解：现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球； A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故与不互斥，故选项错误，不符合题意； D．，即发生，一定发生，发生，不一定发生，故与不独立，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 7．D 【分析】利用余弦的和角公式化简得，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】由已知知：， 化简得 ， 令，则，， 所以 . 故选：D 8．A 【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解. 【详解】，，即， ， 下面比较与的大小，构造函数与， 由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，      当时，；当时， 由，故，故，即， 所以， 故选：A 9．BC 【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项. 【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误； B：向量在向量上的投影向量为，B正确； C：若与不共线，且，则，C正确； D：，则，又， 则，显然不能确定，D错误； 故选：BC. 10．ACD 【分析】根据异面直线的定义判断A，根据锥体体积公式判断B，由条件确定点的位置，结合锥体体积公式，判断C，确定四棱锥的外接球的半径，结合球的表面积公式判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面， 点不在直线上， 所以直线与直线为异面直线，A正确； 对于B，因为，，平面，， 所以平面， 又，，四边形为正方形， 所以四棱锥的高，底面面积为， 所以四棱锥的体积，B错误， 对于C，因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形，又， 所以，又，，， 所以，所以，所以， 所以点到平面的距离为， 所以，C正确， 对于D，因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故为直角三角形， 同理可证为直角三角形， 取的中点，则， 所以四棱锥的外接球的外接球的球心为， 所以四棱锥的外接球的半径为， 所以四棱锥的外接球得表面积，D正确， 故选：ACD. 11．BCD 【分析】首先根据原不等式进行化简，构造一个新函数，判断新函数的单调性、奇偶性等性质，然后逐一判断每个选项正确与否. 【详解】， 即， 因为时，所以. 即，即在单调递增， 又为奇函数且在上连续，为偶函数且恒正， 故为奇函数在上连续，且单调递增， 对于选项A： 时，，所以A错误. 对于选项B： 为奇函数在上连续，且单调递增， 所以仅一解为，在上恒成立， 故在上有且只有1个零点为，故B正确. 对于C： 因为在上单调递增， 则，所以C正确. 对于选项D： 因为为奇函数且连续， 所以为上的奇函数且连续，故只需考虑在上的单调性， 当时，且，且 故，则在上单调递增， 故在上为增函数，所以D正确. 故选：. 12． 【分析】根据题意，利用分层抽样的总体均值和方差公式，进行计算，即可求解. 【详解】根据分层抽样的均值和方差的计算公式，可得： 总体均值为：， 总体方差为：. 故答案为： 13． 【分析】根据与之间的关系即可求解. 【详解】因为①， 所以②， 所以①-②得，所以， 因为，所以，所以 故答案为： 14． 【分析】作出曲线的图象和直线，由图形观察可知它们有两交点的情形。 【详解】作出曲线的图象和直线，如图， 当直线过点时，将，代入得 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，即（舍去）或 ∴曲线与函数的图像有两个不同的交点时，的取值范围为。 故答案为：。 15． (1);(2) 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以 所以 所以，即，所以 （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． 16．(1)，62.4百亿元. (2)分布列见解析，50（万元）. 【分析】（1）先依次求出以及，最后求出即可得线性回归方程，代入即可预测； （2）随机变量的可能取值为，求出对应的概率即可得分布列，结合期望公式即可求解期望. 【详解】（1）. 所以， 所以关于的经验回归方程为， 当时，， 故明年3月份该企业的产值约为62.4百亿元. （2）由题设随机变量的可能取值为，， ， . 随机变量的分布列如下表： 30 40 50 55 65 80 0.09 0.30 0.25 0.12 0.20 0.04 （万元）. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，易得，进而可得线面垂直，然后根据面面垂直判定定理即得； （2）建系，求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是菱形，所以， 又因为为的中点，，所以， 又面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）过作交于点，面面， 面面面，所以面， 因为面，所以面， 又面，所以， 所以为的交点，为等边三角形，所以H为的重心，设DH与AB交点为M，连接，则为二面角的平面角， 因为，在中，解得， 因为，所以，所以平面， 以为原点，所在直线为轴建立如图坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得： 即，又， 设平面和直线所成的角为，则， 所以. 18．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意得，将点代入椭圆的方程可求得的值，进而可得椭圆的方程； （2）设，，，，，联立直线和椭圆的方程，可得，，直线的方程为，令，得，同理，由斜率公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以，再将点代入得， 解得，故椭圆的方程为； （2）由题意可设， 由可得， 易知恒成立，所以， 又因为， 所以直线的方程为，令，则，故， 同理， 从而， 故为定值． 19．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）构造，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可； （2）设，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可； （3）根据（2）的结论得出，利用放缩法累加即可证明. 【详解】（1）构造，当时，，． 可知，，单调递增； ，，单调递减． 则，故，即， 所以． （2）依题意，设， 则， 且有，． （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，， 单调递增，． （iii）当，时，，则单调递增，，，则必然存在一个，使得， 且有时，，单调递减， 此时，不满足恒成立条件． 综上所述，． （3）由（2）中结论，有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立， 即，变形可得 分别令，，，，可得， ，……， 累加可得证毕． 答案第12页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2025-2026学年高三上学期数学数学统一作业14 命题人：王仰光 审题人：王四一 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设（其中为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．展开式中的系数为 A． B． C． D． 5．数列是等比数列，，，则（    ） A． B． C． D．1 6．不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与互斥 D．与独立 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．若与不共线，且，则 D．若且，则 10．四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（    ）    A．直线与直线为异面直线 B．四棱锥的体积为2 C．在中，当时， D．四棱锥的外接球表面积为 11．已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为.当时，，其中为自然对数的底数，则（   ） A．当时， B．在上有且只有1个零点 C． D．在上为增函数 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．在对某中学高一年级学生身高调查中，采用按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生32人，其平均数和方差分别为170和1.76，抽取了女生18人，其平均数和方差分别为165和4.76，则高一年级全体学生的身高方差为 . 13．已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 14．若曲线与函数的图像有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ； 四、解答题（共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 16．近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代 1 2 3 4 5 产值（百亿元） 16 20 27 30 37 (1)求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值； (2)该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望. 参考公式：； 参考数据：. 17．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正切值为2，点满足，求直线与平面所成角的余弦值. 18．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 19．已知， (1)时，证明：； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有． 答案第2页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $