精品解析：湖南省郴州市永兴县2025-2026学年九年级上学期第二次质量检查数学试题

湖南省郴州市永兴县2025-2026学年九年级上学期第二次质量检查数学试题 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值，直接计算的值，熟练掌握等特殊角的三角函数值有助于快速解题． 【详解】解：． 故选：B． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；反比例函数图象的分布取决于系数的符号，当系数小于0时，图象在第二、四象限. 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ， 故选：A. 3. 已知是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 12 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即两根之积为；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，， ∴. 故选：B. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式；通过计算一元二次方程的判别式来判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根. 【详解】解：∵方程中，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：A. 5. 数学兴趣小组的同学们想了解张家界景区一周气温的变化情况，宜采用（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择，熟练掌握各种统计图的特点是解题的关键．根据折线统计图适用于显示数据随时间变化的趋势，进行求解即可． 【详解】解：因为折线统计图能直观表示数据的变化趋势，所以想了解张家界景区一周气温的变化情况，宜采用折线统计图． 故选：C． 6. 如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ， ，从而 ，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴：S四边形DBCE=1：3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理相似三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边，相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 7. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的是解题的关键． 由题意知，，由已知即可求得结果． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若四边形是正方形，扶梯长为米，则滑梯底部的长为（ ） A. 27米 B. 25米 C. 24米 D. 22米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坡比的定义，勾股定理，正方形的性质；坡比是指坡面的垂直距离和水平距离的比，据此即可求解. 【详解】解：坡比是指坡面的垂直距离和水平距离的比， ∵扶梯的坡比为，滑梯的坡比为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是正方形， ∴米， ∴米. 故选：D. 9. 如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（ ） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；利用小路的面积加上草地的面积等于矩形地面的总面积，列出方程求解即可，在计算小路面积时，要注意小路面积重合的部分. 【详解】解：设小路的宽度为x米， 小路的面积为： 由题意得： 或 解得：或（舍去） ∴小路的宽度为2m. 故选：B. 10. 如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为9，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积；比例系数k的几何意义可得，由三角形中线的性质可得，进而得出，再由，可列出方程求解. 【详解】解：过M点作，垂足为， ∵的中点为，， ∴， ∴， ∵反比例函数解析式为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 12. 王大叔随机查看了他家11月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：3，5，3，2，7．根据这些数据，估计王大叔家11月份的用电量为__________度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体；通过5天的日用电量数据计算样本平均数，并以此估计11月份（30天）的总用电量． 【详解】解：∵5天的日用电量之和为度， ∴平均日用电量为度/天， ∵11月份有30天， ∴估计总用电量为度． 故答案为：120． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入，则， 解得， 故答案为：． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值．把代入，可得，从而得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025 15. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理解直角三角形；过点C作，在等腰中，求出、，再在中即可求出． 【详解】解：过点C作，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴为斜边的中线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，D在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为，若边轴，反比例函数的图像经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为点，当点落在轴上时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，，则，由折叠得，，则，如图，延长交轴于点，延长交轴于点，可得，求出，，则，由，可得，即可求解． 【详解】∵矩形，边轴， ∴轴，轴，， 点的横坐标为1，点纵坐标为3， 函数的图像经过点，， ，， ， ， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，， ， 如图，延长交轴于点，延长交轴于点， 轴， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 由，可得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确利用相似三角形的性质求解． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 0 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解答本题的关键是要熟记特殊角的三角函数值．可先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； （2）若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 【答案】（1） 则即为所求， （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是根据位似变换的定义作出变换后的对应点； （1）延长到使得，延长到使得，连接，则即为所求； （2）根据网格图写出、的坐标即可. 【小问1详解】 解：以原点为位似中心，相似比为2， 延长到使得，延长到使得，连接. 【小问2详解】 解：由网格图可知：，. 故答案为：，. 19. 小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 （1）如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； （2）写出函数的一条性质：__________； （3）若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 【答案】（1） （2）y随着x的增大而减小，答案不唯一 （3）滑动变阻器上的电阻的变化范围为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用； （1）观察图象，根据电流、电压、电阻的关系，可得其为反比例函数图象的一部分，用反比例函数来描述这些点的变化规律，进而求出函数解析式； （2）根据反比例函数的图象与性质，写出一条即可，答案不唯一； （3）根据反比例函数的图象与性质，y随着x的增大而减小，据此即可求解. 【小问1详解】 解：∵电流电压电阻， ∴在电压固定为时，电流与电阻成反比 ∴用反比例函数来描述这些点的变化规律， ∴设函数解析式为， 代入点得：，解得：， 验证其他点，符合这一关系式 ∴函数解析式为. 【小问2详解】 解：根据函数解析式和函数图象可得：y随着x的增大而减小， ∴写出函数的一条性质可以是：y随着x的增大而减小，答案不唯一. 【小问3详解】 解：∵y随着x的增大而减小， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴. 即滑动变阻器上的电阻的变化范围为. 20. 《国之脊梁》讲述了40位院士以理想为灯，奋发自强，面对困难百折不挠的科技之路．为了解学生对《国之脊梁》这本书的了解程度，随机抽取了部分学生，将结果分为：A组，非常了解；B组，比较了解；C组，一般了解；D组，不了解．并将调查制成如下不完整的统计图表： 学生对该书了解程度频数分布表 等级 频数 频率 10 15 2 根据图表信息，解答下列问题： （1）这次随机抽查了__________名学生，__________，__________，__________； （2）补全学生对该书了解程度频数分布直方图； （3）若该校有3000名学生，请估计对《国之脊梁》了解程度为等和等的人数． 【答案】（1）50；23；； （2） 解：补全学生对该书了解程度频数分布直方图，如下图： （3）1980人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，样本估计总体： （1）根据C组的频数和频率可求出抽查的总人数，即可求出a，m，n的值； （2）根据（1）中结果即可补全对该书了解程度频数分布直方图； （3）用3000乘以了解程度为等和等的频率之和，即可求解． 【小问1详解】 解：这次随机抽查了名学生， ，， ∴； 故答案为：50；23；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 即对《国之脊梁》了解程度为等和等的人数为1980人． 21. 学习解直角三角形知识后，数学兴趣小组想利用一斜坡测量教学楼的高度．如图，他们在斜坡的底部点处测得楼顶点的仰角为，然后沿着坡度的斜坡向上行走20米到达斜坡顶端点，在点处测得楼顶点的仰角为，求教学楼的高度（精确到1米）． （参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作于点，于点，则四边形为矩形，由斜坡的坡度，得到，则，，设，解，得到，则，解，得到，求解，即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点， 由题意得， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， ∴ 设， 则在中，由得，， ∴， ∴， 在中，由得，， 解得， ∴， 答：教学楼的高度为． 22. 某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为元． （1）用含的代数式表示该书店每天销售精品图书__________本； （2）若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价的值； （3）该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴销售利润不能为500元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程求解即可； （3）根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：每天销售精品图书为：， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：销售单价的值为26； 【小问3详解】 略 23. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 【答案】任务1：；任务2：祁阳文昌塔的高度为36米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形实际应用，相似三角形的性质和判定； （1）由题意得，进而得到，即可求出； （2）设祁阳文昌塔的高度米，由题意易证明，，得到，，得到，，利用建立方程求解即可. 【详解】解：任务1 ∵观测者在点处刚好能看到树的顶部， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴. 任务2 设祁阳文昌塔的高度米， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵ 又∵米 ∴米 ∴米 ∴，解得：. 故祁阳文昌塔的高度为36米. 24. 综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据等边三角形的性质证明即可求解； （3）在的延长线上取点，连接，使得，证明，由相似三角形的性质可得出答案 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的三等分点， ∴；或， ∵或 解得， ∴的值为； （3）在的延长线上取点，连接，使得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确利用“一线三等角”基本图形求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省郴州市永兴县2025-2026学年九年级上学期第二次质量检查数学试题 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 12 B. C. 4 D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 数学兴趣小组的同学们想了解张家界景区一周气温的变化情况，宜采用（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 6. 如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 7. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若四边形是正方形，扶梯长为米，则滑梯底部的长为（ ） A. 27米 B. 25米 C. 24米 D. 22米 9. 如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（ ） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 10. 如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为9，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 18 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则=_______． 12. 王大叔随机查看了他家11月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：3，5，3，2，7．根据这些数据，估计王大叔家11月份的用电量为__________度． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 15. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，D在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为，若边轴，反比例函数的图像经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为点，当点落在轴上时，的值为__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； （2）若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 19. 小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 （1）如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； （2）写出函数的一条性质：__________； （3）若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 20. 《国之脊梁》讲述了40位院士以理想为灯，奋发自强，面对困难百折不挠的科技之路．为了解学生对《国之脊梁》这本书的了解程度，随机抽取了部分学生，将结果分为：A组，非常了解；B组，比较了解；C组，一般了解；D组，不了解．并将调查制成如下不完整的统计图表： 学生对该书了解程度频数分布表 等级 频数 频率 10 15 2 根据图表信息，解答下列问题： （1）这次随机抽查了__________名学生，__________，__________，__________； （2）补全学生对该书了解程度频数分布直方图； （3）若该校有3000名学生，请估计对《国之脊梁》了解程度为等和等的人数． 21. 学习解直角三角形知识后，数学兴趣小组想利用一斜坡测量教学楼的高度．如图，他们在斜坡的底部点处测得楼顶点的仰角为，然后沿着坡度的斜坡向上行走20米到达斜坡顶端点，在点处测得楼顶点的仰角为，求教学楼的高度（精确到1米）． （参考数据：，） 22. 某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为元． （1）用含的代数式表示该书店每天销售精品图书__________本； （2）若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价的值； （3）该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价的值；若不能，请说明理由． 23. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 24. 综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $