精品解析：陕西省宝鸡市三迪中学2025-2026学年九年级上学期第二次作业检测数学试题(卷)

2025—2026学年度第一学期第二次作业检测 九年级数学学科试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是正方形 3. 根据物理学知识我们知道，在如图所示的电路图中，当开关和同时闭合时，绿灯会发光；当开关和同时闭合时．红灯会发光．那么随机闭合开关、、中的两个，可以使绿灯发光的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，连接，将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长，交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，则______． 10. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 11. 一个不透明的口袋中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则可估计这个不透明的口袋中红球的个数为_____________． 12. 四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 13. 如图，点是反比例函数（，）图象上一点，点与点关于轴对称，过点作轴于点，连接，若的面积为16，则的值为_____． 14. 如图，正方形的边长为2，是的中点，连接，是上的动点，过点作分别交，于点，，连接、，则的最小值为_____． 三、解答题（共13小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 解方程： 17. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两个实数根分别为，，且，求实数的值． 18. 如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 19. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于点O位似（点A、B的对应点分别为、，点在第一象限），且与的相似比为，请画出． （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 21. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为_____________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 22. 某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 23. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，过点E作于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 24. 飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 25. 如图，反比例函数（k为常数，）与正比例函数（m为常数，）的图象交于，B两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）根据图象请直接写出不等式的取值范围； （3）若x轴上有一点，的面积为4，求点C的坐标． 26. 【问题探究】 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____________； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且．求的值； （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第二次作业检测 九年级数学学科试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为； 故选C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形，菱形，矩形的判定，熟练掌握正方形，菱形，矩形的判定是解题的关键；根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴A错误； ∵四边都相等的四边形是菱形，∴B正确； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴C错误； ∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D错误； 故选：B． 3. 根据物理学知识我们知道，在如图所示的电路图中，当开关和同时闭合时，绿灯会发光；当开关和同时闭合时．红灯会发光．那么随机闭合开关、、中的两个，可以使绿灯发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键．根据概率计算方法解答即可． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，共有种等可能的结果，其中可以使绿灯发光的结果数为种， 可以使绿灯发光的概率为， 故选；C． 4. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 5. 已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，连接，将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长，交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形三线合一的性质确定△EBN为等腰三角形、；证明即可证明；易求得，即可得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得：，即， ∵平分， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即是的中线， ∵平分， ∴为等腰三角形， ∴，故①正确； 由已知条件无法确定：， 即无法确定， 故无法确定：为等边三角形，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述：①③④都正确，共3个 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定等知识点，证得是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，由已知比例关系，利用分式的运算性质，将所求表达式变形后代入求解． 【详解】解：， ∴ ． 故答案为． 10. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，一元二次方程的二次项系数不能是0，求出的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 故答案是：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 11. 一个不透明的口袋中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则可估计这个不透明的口袋中红球的个数为_____________． 【答案】个 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据摸到白球的频率稳定在，即白球的概率为，设红球个数为，则总球数为个，根据概率的计算公式列出方程求解即可．理解利用频率估计概率、掌握概率的计算公式是解题的关键．也考查了分式方程的应用． 【详解】解：设红球个数为，则总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴可估计这个不透明的口袋中红球的个数为个． 故答案为：个． 12. 四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13. 如图，点是反比例函数（，）图象上一点，点与点关于轴对称，过点作轴于点，连接，若的面积为16，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质及反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握反比例函数中系数得几何意义是解题的关键．设点，其中，根据对称性得到点，又易知点，由的面积为16，由面积公式可得，结合图象即可求解． 【详解】设点，其中 ∵点与点关于轴对称 ∴点， 轴于点， ∴， ， 即 又点是反比例函数（，）图象上一点， 即 故答案为： 14. 如图，正方形的边长为2，是的中点，连接，是上的动点，过点作分别交，于点，，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 三、解答题（共13小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，． 17. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两个实数根分别为，，且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系． （1）根据方程有两个实数根，得到，求解即可，解题关键是熟记结论“当时，方程有两个不等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，时，方程无实数根”； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，再根据，整体代入得到关于的方程，求解即可，解题关键是掌握方程的根与系数关系的公式“，”． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：． 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 整理，得， 解得，， ， ． 18. 如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】略 19. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点D即为所作求： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于点O位似（点A、B的对应点分别为、，点在第一象限），且与的相似比为，请画出． （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，为所作． （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点、的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为_____________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为，，，，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件． 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，， ． 22. 某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 【答案】5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，即可确定结论． 【详解】解：设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每件该品牌毛衣应降价5元． 23. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，过点E作于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、平行线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定、平行线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由（1）可得，，然后根据勾股定理可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24. 飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为47米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由得，即得米，进而得米，由得，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ， ∴， ∴， ∴， 米， 答：飞虹塔的高度为47米． 25. 如图，反比例函数（k为常数，）与正比例函数（m为常数，）的图象交于，B两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）根据图象请直接写出不等式的取值范围； （3）若x轴上有一点，的面积为4，求点C的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，然后根据点、、的坐标表示出，，，最后再根据即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点分别代入两个函数的表达式得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， ∴根据反比例函数是中心对称图形可知：， 根据图象得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的坐标为或． 26. 【问题探究】 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____________； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且．求的值； （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及添加合理的辅助线是解题的关键． （1）利用可证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）根据可证明，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交的延长线于点，根据可证明，列出比例式，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：如图1，设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ， ∴四边形为矩形， ， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ． 第1页/共1页 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