精品解析：天津市第一中学滨海学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

天津市第一中学滨海学校教育集团 2026-2027-1学期八年级数学学科 期中联合学情调研 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为的三边长，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 4. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 5. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 7. 在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（ ） A. 2 B. 13 C. 3或13 D. 2或12 8. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，若，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，（和是对应角），，若，，当时，与之间的数量关系为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB是 （　　） A. AB=DC，AC=DB B. AB=DC，∠ABC=∠DCB C. DB=AC，∠DBC=∠ACB D. DC=AB，∠DBC=∠ACB 11. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 第Ⅱ卷 非选择题（84分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm． 14. 已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为__________ 15. 知P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为_____． 16. 在中，，，则的中线取值范围是______． 17. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为___． 18. 如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当__________秒时，和全等． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，A、D、B、E在同一直线上，，，，求证：． 20. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足，试判断的形状； （2）化简：． 21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 22. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 23. 已知：，，，求证： （1）； （2）． 24. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校教育集团 2026-2027-1学期八年级数学学科 期中联合学情调研 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 3. 若为的三边长，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 4. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 5. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义进行判断即可． 【详解】解：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高， 因此在中，边上的高是线段． 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（ ） A. 2 B. 13 C. 3或13 D. 2或12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当的周长大于的周长时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得； ②当的周长比的周长大时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得， 综上或13， 故选：C． 8. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，若，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．由三角形的外角性质推出，，由角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，（和是对应角），，若，，当时，与之间的数量关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据，，，得到， ，结合和等腰三角形性质可得， ，将展开为即可解答． 【详解】解：，，， ，． ． ， ，． ． ． 故选：B． 10. 如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB是 （　　） A. AB=DC，AC=DB B. AB=DC，∠ABC=∠DCB C. DB=AC，∠DBC=∠ACB D. DC=AB，∠DBC=∠ACB 【答案】D 【解析】 【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可． 【详解】解：根据题意知，BC边为公共边． A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 12. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，结合对顶角相等及三角形内角和定理得出，②错误；作于于，如图所示，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，③正确；由，得出当时，平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，④错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ，①正确； 由可知，， 如图所示： 在和中，，则由三角形内角和定理可得， ，， ，②错误； 作于于，如图所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，③正确； ， ∴当时，平分， 假设， ， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，与矛盾， ∴④错误； 综上所述，正确的有①③； 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（84分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm． 【答案】4 【解析】 【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可. 【详解】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm， ∴该直角三角形斜边长度为4cm， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 14. 已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为__________ 【答案】72°或54° 【解析】 【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角与底角两种情况讨论求解即可． 【详解】等腰三角形的一个外角为108°， ∴与这个外角相邻的内角是180°-108°=72°， ①72°角是顶角时，底角为（180°-72°）=54°， ②72°角是底角时，底角为72°， 综上所述，其底角的度数为54°或72°． 故答案为54°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题时要注意分情况讨论，不要漏解． 15. 知P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用关x轴对称点的坐标特点可得a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b＝﹣4， 则a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2021＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 16. 在中，，，则的中线取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为___． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵△BDE由△BCE翻折而成， ∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°． ∵AD=BD， ∴AB=2BC，AE=BE． ∴∠A=30°． 在Rt△ABC中，∵AC=6， ∴BC=AC•tan30°=6×=2． 设BE=x，则CE=6﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x， ∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4． ∴折痕BE的长为4． 故答案为：4 18. 如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当__________秒时，和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况①时，点P从C到A运动，则，，求得；②时，点P从A到C运动，则，，求得． 【详解】解：①时，点从到运动， 则，， 当时，则， 即， 解得：； ②时，点从到运动，则，， 当时，则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒时，和全等． 故答案为：或． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，A、D、B、E在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明三角形全等即可． 【详解】略 20. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）为等边三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （2）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【小问1详解】 解：， ， 解得，， ， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 解：的三边长分别为a，b，c， ，，， ，，， ∴ ． 21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，可证，再根据“”证，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据外角的性质，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， 则的度数为． 22. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2），，； （3）P点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据（1）的写出点，，的坐标即可； （3）根据关于轴对称点的特点，确定点Q的纵坐标为，根据列式求出a的值，即可得P点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，； 【小问3详解】 解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的坐标为， 又∵， ∴， ∴或， ∴当时，；当时，， ∴P点的坐标为或． 23. 已知：，，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2） 证明：由（）得：， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据已知利用即可判定； （）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到，从而不难求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 24. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）4 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $