第十七章 因式分解 章综合复习课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）及综合运用步骤，通过知识要点提炼和结构框架将概念、方法与步骤串联，帮助学生构建从基础到综合的完整知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-例题精讲-综合应用”的复习策略，如通过“相数”定义证明、密码设置等实际问题，培养学生的抽象能力和应用意识，分层例题设计（基础题到综合题）满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生因式分解的运算与推理能力。

第十七章　因式分解 章综合复习 数学人教版八年级上册 因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式积的形式 方法 提公因式法 公式法 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2 ab+ac=a(b+c) 因式分解与整式的乘法是方向相反的变形. 本章知识结构 因式分解：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 概念 因式分解 (1)分解因式与整式乘法是方向相反的变形； (2)分解因式是针对多项式而言的； (3)分解因式的结果必须要以积的形式表示，否则不是分解因式. (4)因式分解必须分解到每一个因式都要不能再分解为止;几个相同因式的积要写成幂的形式. 注意 知识要点提炼 公因式：多项式pa+pb+pc的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 概念 公因式 确定多项式的公因式，可概括为三“定”： (1)定系数，即确定各项系数的最大公因数，特别注意的是，如果多项式首项符号是“-”，则提取的公因式的符号一般为负. (2)定字母(或多项式)，即确定各项中的相同字母因式(或相同多项式因式). (3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂. 注意 知识要点提炼 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 概念 提公因式法 公因式的提取：(1)若首项系数为负数时，一般要先提出负号，使括号内的首项系数为正，但要注意，此时括号内各项都变号; (2)不能漏项，提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同； (3)特别注意，当多项式的某一项与公因式相同被全部提出后，剩下的多项式应在相应的位置上补上1. 注意 知识要点提炼 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 公式法 用平方差公式分解因式 平方差公式 a2－b2=(a + b)(a－b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. (1)等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. (2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积. (3)a和b可以是单项式，也可以是多项式. 注意 知识要点提炼 完全平方式：把a2  2ab + b2这样的式子叫作完全平方式. 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式. 完全平方式 完全平方公式 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 －2ab + b2=(a－b)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 用完全平方公式分解因式 知识要点提炼 (1)左边是三项式，首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方，且符号相同；中间项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可. (2)右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方. (3)字母a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式. 特点 使用公式法的条件: (1)当要分解的多项式能直接运用公式时，就直接运用公式; (2)如果有公因式，应先提公因式，再利用公式; (3)注意分解因式要彻底，直到不能分解为止. 注意 用完全平方公式分解因式 知识要点提炼 一提：看多有无公因式，若有应先提取公因式. 二套：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式. 三分组：如果用上述方法都不能分解，那么可以尝试用分组分解法来分解. 四查：检查是否分解彻底，若没有则继续分解. 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 要点 综合运用各种方法分解因式 因式分解步骤 (不能直接套公式时可适当变形整理.) 知识要点提炼 B 重点知识巩固 B 重点知识巩固 A 重点知识巩固 若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 a2﹣b2+6b ＝(a+b)(a﹣b)+6b ＝3a﹣3b+6b ＝3(a+b) ∵a+b＝3，∴a2﹣b2+6b＝3×3＝9． 故选：C． C 重点知识巩固 若4x2+kx+25＝(2x+a)2，则k+a的值可以是（　　） A．﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 A 4x2+kx+25＝(2x+a)2， 当a＝5时，k＝20， 当a＝﹣5时，k＝﹣20， 故k+a的值可以是：25或﹣25． 故选：A． 重点知识巩固 因式分解：(1)81a4+16b4－72a2b2 (2)(a+3)(a－7)+25 解：(1)原式=(9a2)2+(4b2)2－72a2b2 =(9a2－4b2)2 =[(3a+2b)(3a－2b)]2 =(3a+2b)2(3a－2b)2 (2)原式=a2－7a+3a－21+25 =a2－4a+4 =(a－2)2 重点知识巩固 因式分解：x3 + x2－x－1. 解：原式 = x3－x + x2－1 = x(x2－1) + (x2－1) = (x2－1) (x + 1) = (x + 1)(x－1)(x + 1) = (x + 1)2(x－1) 重点知识巩固 方法总结 因式分解的一般步骤： (1)优先提公因式：无论后续用哪种方法，先检查是否有公因式，若有则先提取. (2)判断结构选方法：两项，考虑平方差公式；三项，考虑完全平方公式；四项及以上：考虑分组分解法. (3)检查是否彻底：分解后的每个因式是否还能继续分解. (4)验证结果：用多项式乘法展开分解结果，与原式对比是否一致. 重点知识巩固 小李在计算 20232023－20232021时，发现其计算结果能被连续三个整数整除，则这三个整数是 ( ). A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 B 20232023－20232021 =20232021×(20232－1) =20232021×(2023－1)×(2023+1) =20232021×2022×2024 ∴能被2022，2023，2024整除，故选B. 重点知识巩固 已知x2+y2+4x-6y+13=0，则xy的值为 ． x2+4x+4+y2-6y+9=0 即(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0 (x+2)2+(y-3)2=0 ∴x = -2，y = 3 ∴ xy = -8 -8 重点知识巩固 已知a，b为整数，x3+ax2+bx+8可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为x+1和x+2，求a+b的值. 重点知识巩固 已知x+2y=5，xy=1.求值： (1)2x2y+ 4xy2 (2)(x2-2)(2y2-1) (1)解：∵x+2y=5，xy=1. ∴2x2y+ 4xy2 =2xy(x+2y) =2×1×5 =10; (2)解：∵x+2y=5，xy=1 ∴(x2-2)(2y2-1) =2x2y2-4y2-x2+2 =2x2y2-(4y2+x2+4xy)+4xy+2 =2(xy)2-(x+2y)2+4xy+2 =2×12-52+4×1+2= -17. 重点知识巩固 方法总结 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果必须是“整式的积”，不能含分式或多项式相加/减的形式; (2)符号处理：提取负号时，括号内各项要变号. (3)整体思想：将多项式中的某部分视为一个整体. 如(x+y)2- 4(x+y)+4=[(x+y)-2]2 =(x+y-2)2. 重点知识巩固 生活中人们经常用到密码，某种设置密码的方法是，将多项式分解因式，如某多项式分解因式后的结果是：(x2＋1)(x＋1)(x－1)，当 x 取 10 时，各个因式的值是：x2＋1 = 101，x＋1 = 11，x－1 = 9. 于是就得到六位数密码“101119”.那么对于多项式 x8－y8 ，当取 x = 3 ，y = －2 时，用上述办法可以产生的六位数密码为( ) A．971315 B．891315 C．971015 D．139715 A x8－y8 =(x4+y4)(x4－y4) =(x4+y4)(x2+y2)(x2－y2) =(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x－y), 当x=3，y=-2时， 各个因式的值是：x4+y4=81+16=97，x2+y2=9+4=13，x+y=3-2=1，x－y=3+2=5. 可以把“971315”作为一个六位数的密码， 故选A. 综合能力提升 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“相数”.如：8 = 32 - 12，16 = 52 - 32，24 = 72 - 52，因此 8，16，24 都是“相数”. (1)判断 32 是相数吗？____.(填“是”或“不是”) (2)求证：所有的“相数”都是 8 的倍数. (提示：两个连续的奇数可以表示为 2n - 1， 2n + 1，其中 n 为正整数.) (1) 32 = 92－72，所以 32 是相数. 是 (2) 2n - 1， 2n + 1 可以表示两个连续的奇数. (2n + 1)2－(2n - 1)2 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2= 8n ∴所有的“相数”都是 8 的倍数. 综合能力提升 如果(x+3)(x+a)-2可以因式分解为(x+m)(x+n)（其中 m ，n 均为整数），则a的值是________． 当m-3=1时，m=4，n=1，a=2， 当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4， 当m-3=2时，m=5，n=2，a=4， 当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2， ∴a的值是2或4. 2或4 综合能力提升 综合能力提升 (2)证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除. (2)证明：因为一个整数不能被3整除， 那么其被3除的余数只能是1或2. ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2， 则可设这两个整数分别为3k1+1，3k2+2， 其中k1，k2为整数. 所以，(3k1+1)2-(3k2+2)2=3(k1+k2+1)(3k1-3k2-1) 由k1，k2为整数，可知(k1+k2+1)(3k1-3k2-1)为整数. 所以，(3k1+1)2-(3k2+2)2能被3整除. 综合能力提升 (2)证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除. ②若两个不能被3整除的整数的余数均为r(r=1，2)， 则可设这两个整数分别为3k3+r，3k4+r，其中k3，k4为整数 所以(3k3+r)2-(3k4+r)2=3(k3-k4)(3k3+3k4+2r) 由k3，k4及为整数，可知(k3-k4)(3k3+3k4+2r)为整数， 所以，(3k3+r)2-(3k4+r)2能被3整除. 综上所述，结论成立. 综合能力提升 $