云南省曲靖市部分学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台 题目要求的。 1.“Vx∈R,4x>x4”的否定为 A3x∈R,4x>x4 B.Hx∈R,4x≤x4 C.3xtR,4x≤x4 D.]x∈R,4x≤x4 2.已知向量a=(1,m),b=(n,一2).若a与b共线，则 A,n=-2m B.mn=-2 C,n-2m D.mn=2 tan 12 3. A、 6 B、 3 号 4.数据1,2,3,5,9的方差为 A.4 B.8 C.2.4 D.9 5.在等比数列{an}中，a5一5a4=6a3,则公比q= A.6 B.3 C.-1或6 D.-2或3 6.已知圆锥P0的底面半径为12，高为9，则该圆锥的内切球的表面积为 A52π B.60π C.64π D.100π 7.某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进人决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难 《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的 选择情况共有 A150种 B.240种 C.180种 D.120种 8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<6x恒成立，且f(1)=2,贝 f(2x)≤12x2-1的解集为 A(-∞，] B.[1,+∞) c[2+∞) D.（-∞，1] 一、匹痒题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数之满足z=6一3i,则 A.z=-3十61 B.|z|=3√5 C.之的虚部为一3 D.z在复平面内对应的点位于第二象限 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(一2,0).若点M满足 IMA|=√|MF|,则下列结论正确的是 A.p=2 B点M在以（号p,0)为圆心wE力为半径的圆上 C.若点M在抛物线C上，则|MF|=8 D.抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M 11.设A,B为任意的两个非空数集，定义集合{<x,y>|x∈A且y∈B}为A,B的笛卡尔积， 记为AXB.A×B的任何子集R都称为A到B的关系，特别地，当A=B时，R称为A上 的关系.在平面上用实心圆点分别标出A,B中元素的点（称为结点），如果A=B,那么用实 心圆点标出A中元素的点即可.若<a:,b:>∈R,则自结点a:至结点b:作一条有向边，箭 头指向b:,若<a:,b:>R,则结点a;到b,没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图 称为R的关系图.若R,S均为A到B的关系，则定义R。S={<x,y>|存在z满足 <x,2>∈S且<x,y>∈R).设集合P=(1,2,3},现给出如下5个P上的关系R1,R2,R3, R4,R5的关系图，其中R3={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>},R4={<1,1>,<1,2>},则 R A.RoRs=R B.P×P共有512个子集 C.(R3oR3)°R4=(<1,1>,<1,2>,<3,1>} D.R2oR3={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12已知函数fe)=一是，则 f1+△x)-f12= △x 13.若a,b是函数f(x)=cos4x一2W3sin2xcos2x的两个零点，则f(x)的最大值为. la-bl的最小值为▲一· 14已知双曲线C号-兰-1(6>0)的左，右焦点分别为R,R,H是C上异于限点的点若 HF⊥HF2,△HF1F2的面积为12，则C的离心率为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在锐角三角形ABC中，角AB,C所对的边分别为a,6c,且元-血AC, √3sinB (1)求角A的大小； (2)若b十c=13,a=7,求△ABC的面积. 16.(15分) 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进 行消费.根据统计数据，该店的本地会员占70%，外地会员占30%.现对该店会员开展商品 质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为号，外地会员对该店商品质量 满意的概率为行.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立。 (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为 X,求X的分布列与数学期望 17.(15分) 如图，EA⊥平面ABC,AB⊥AC,ED∥AC,F,P,H分别为EB,EA,DC的中点，AC= 2ED=4,AB=AE=22 (1)证明：FH/平面ABC. (2)证明：HD⊥FP. (3)求平面DHF与平面ACDE的夹角. 18.(17分) 已知椭圆C:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),圆0：x2+y2=9,H(xo,yo)(xoyo≠0)是 圆O上任意一点， (1)证明：直线xox十yoy=9是圆O的一条切线. (2若n=2m=,直线x+y十1=0与C交于A,B两点，求|AB1. (3)过点H作圆O的切线l,l与C交于P,Q两点，若OP⊥OQ,证明：C过4个定点. 19.(17分) 已知函数f(x)=tx一lnx. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若t>0,且对任意的x∈(1，十∞)，f(x)>二恒成立，求t的取值范围， (3若a,-lh(a+1),数列a.}的前n项和为S.,证明4S,+号<+3a+n异2 高三数学考试参考答案 题序 1 2 3 5 9 10 11 12 13 14 答案 B AB BD ABD 8 2:开 2 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分. 【3】第13题写对第一空得2分，写对第二空得3分. 【4】第12,14题，其他结果均不得分 1.D【解析】本题考查全称量词命题的否定，考查逻辑推理的核心素养. 全称量词命题的否定是存在量词命题。 2.B【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查数学运算的核心素养. 依题意可得mm=一2. 3.A【解析】本题考查正切的二倍角公式，考查数学运算的核心素养， 2tan 12 因为 1-tan2 tan(×2)-写 3 12 tan 12 所以 3 6 4.B【解析】本题考查方差，考查数学运算的核心素养 数据1,235,9的平均数为2+2+3+5+9=4，故方差为日(9十4+1+1+25)=8， 5 5.C【解析】本题考查等比数列的基本量，考查数学运算的核心素养 由a5-5a4=6a3,得a3(g2-5g-6)=0,因为a3≠0，所以q=-1或6. 6.C【解析】本题考查圆锥的内切球，考查直观想象与数 学运算的核心素养。 画出该圆锥的轴截面，如图所示，设该圆维的内切球的 M 球心为M,半径为r,则MN=MO=r,PM=9一r,PB 4+8T=15,根据相似的件质得5-93，解得7=4.故所求内切球的表面积为4红 64π. 【高三数学·参考答案第1页（共9页）】 ·YN-C2· 7.A【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 将这5名同学按1,1,3和1,2,2这两种情况进行分组.当这5名同学按1,1,3的情况分组 时，这5名同学诗歌篇目的选择情况有CCCA=60种，当这5名同学按1,2,2的情况分组 A 这5名同学诗歌篇日的选择情况有9CA=90种.故这5名同学诗承篇目的旋 况共有60+90=150种， 8.C【解析】本题考查导数的应用与不等式，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养， 令函数g(x)=f(x)-3x2+1,则g'(x)=f'(x)-6x<0,g(x)是减函数.因为f(1)=2,所 以g(1)=f(1)-3+1=0,所以g(x)≤0的解集为[1，+∞)，又f(2x)≤12x2-1等价于 g(2x)0,所以2x≥1，得x≥ 9.AB【解析】本题考查复数的概念与运算，考查数学运算的核心素养， 因为z=631-631i_6i-3--3一6i,所以2--3+6i,lz=V9+36=35,2的虚 2 -1 部为一6，之在复平面内对应的点为（一3，一6），位于第三象限. 10.BD【解析】本题考查抛物线与圆的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养， 因为抛物线C的准线过点A(一2,0)，所以一号=一2，解得力=4，A错误.抛物线C的方程 为y2=8x,所以焦点F(2,0).设点M(x,y),则(x+2)2+y2=2(x一2)2+2y2,即(x-6)2 +y2=32,所以点M在以(6,0)为圆心，4√2为半径的圆上，B正确.由 y2=8x, 解得二2，所以1MF1=2+2=4,C错误，D正确 (x-6)2+y2=32, y=±4， 11.ABD【解析】本题考查集合的新定义，考查数学抽象、直观想象与逻辑推理的核心素养. PXP={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3, 3>}共有9个元素，则P×P共有2=512个子集，B正确， R1={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<3,1>}, R2={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,2>,<1,3>}, R3={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}, R4={<1,1>,<1,2>}, R5={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, 则R3°R3={<1,1>,<1,3>,<2,2>,3,1>,<3,3>},(R3°R3)°R4={<1,1>, <1,3>,<1,2>},C错误 R1°R5={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<3,1>},所以R1°R5 =R,,A正确， 【高三数学·参考答案第2页（共9页）】 ·YN-C2· R20R3={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<2,2>,<3,1>,<3,2>},D正确. 12.8【解析】本题考查导数的概念，考查数学运算的核心素养 8 因为f(x)=2,所以 f1+△x)-f1D=f(1)=8. A △x 13.2; 【解析】本题考查三角恒等变换、三角函数与零点，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 f(x)=cos4x-3sin4x=-2sin(4x-),则f(x)mx=2.根据题意可得2la-b的最 小值为f(x)的最小正周期经=受，则1a一-61=蓉 14.2【解析】本题考查双曲线的离心率，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养 根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，|HF,|=m,|HF2|=n,则m一n=4.因为 HF1⊥HF2,所以|HF1|2+|HF2|2=|F1F212,即m2+n2=4(4+b2).因为△HF1F2的 面积为12，所以mn=24.由(m-n)2=m2十n2-2mn,得16=4(4+b2)一48，解得b2=12, 所以C的离心率为，1+会√1+平-2 ,b2 15.【解析】本题考查正弦、余弦定理，考查数学运算的核心素养 解：(1)由正弦定理可得，nC=sin Asin C 2sinB√3sinB 2分 因为sinB≠0，sinC≠0，所以sinA=5 2 4分 因为△ABC为锐角三角形，所以A∈(0，罗)，所以A= 3· 6分 (2)因为b十c=13,a=7, 所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc0s号=(6十c)2-36c=49,…8分 即169-3bc=49,…9分 解得bC三40，…………………0 …11分 所以△ABC的面积S6度=cnA=号×40×-105 …13分 【评分细则】 【1】第(1)问中，未写sinB≠0，sinC≠0，不扣分；未写A∈(0，)，扣1分。 【2第(2)问中，计算出b=5,c=8或b=8,c=5,不扣分. 16.【解析】本题考查全概率公式与二项分布，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 解：(1)设事件M表示“会员是本地会员”，事件N表示“会员是外地会员”，事件Q表示“该 会员对该店商品质量满意”. 【高三数学·参考答案第3页（共9页）】 ·YN-C2· 根据题意可知，PM)=0P(N)=哥P(QIM)=号，P(Q1N)= 3 , …1分 所以P(Q)=P(M)·P(QM)+P(N)·P(QIN)= 7、 、6-4 …5分 (2)由(1)知，X~B(2,), …6分 则PX=0)=C×()》”×()=6 8分 P(X=I=Cx()'×)'=, 10分 P(x=2)=3x()×()°=6 12分 则X的分布列为 X 0 1 2 P 9 16 8 16 13分 由二项分布的期望公式得E0X)=2X号-产 15分 【评分细则】 【1第(1问中，未设事件，直接得出P=品×号+品×号=号不扣分。 3 93 【2】第(2)问中，X的数学期望还可以写为E(X)=0×6十1×8+2×6一2 17.【解析】本题考查空间中平行、垂直的判定及平面与平面的夹角，考查直观想象、逻辑推理与 数学运算的核心素养。 (1)证明：（方法一）连接PH. 因为F,P,H分别为EB,EA,DC的中点，且ED∥AC,所以FP∥BA,PH∥AC.·1分 FP中平面ABC,ABC平面ABC,所以FP平面ABC.…2分 PH中平面ABC,ACC平面ABC,所以PH∥平面ABC.…3分 又FP∩PH=P,FPC平面FPH,PHC平面FPH,所以平面FPH平面ABC.… 4分 因为FHC平面FPH,所以FH∥平面ABC.… 5分 (方法二)过F作FI⊥AB,交AB于I,过D作DQ⊥AC,交AC于Q,过H作HK⊥AC, 交AC于K,连接IK.易得HKDQ,FIEA,EADQ.…2分 因为ED∥AC,EA∥DQ,所以四边形AQDE是平行四边形，所以DQ=EA,·3分 所以HK/F1,HK=令DQ=2EA=F1,所以四边形FHKI是平行四边形，所以FH∥ 【高三数学·参考答案第4页（共9页）】 ·YN-C2· IK, 4分 因为FH吐平面ABC,IKC平面ABC,所以FH平面ABC.… 5分 (2)证明：因为EA⊥平面ABC,所以EA⊥AB.… 6分 又因为AB⊥AC,AC∩AE=A,所以AB⊥平面ACDE.…7分 因为DHC平面ACDE,所以AB⊥DH.… 8分 因为AB/FP,所以FP⊥DH.… …9分 (3)解：（方法一）以A为坐标原点，分别以AB,AC,AE所 在直线为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 A(0,0,0),B(22,0,0),F(2,0,√2)，D(0,2,2√2)，H(0, 3w2), 所以AB=(2√2,0,0)，FD=(-√2,2，√2)，Di=(0,1, -√2).…10分 设平面DHF的法向量为m=(x,y,之)， m·FD=-√2x+2y十V2x=0, 则 11分 m.Di=y-√2x=0, 令y=√2，则m=(3,√2,1). …12分 因为AB⊥平面ACDE,所以AB=(2√2,0,0)是平面ACDE的一个法向量，·13分 设平面DHF与平面ACDE的夹角为0，且0∈[o,], 则c0s0=cos(A店，m1=1A店·ml 6√2 √3 …14分 |AB1|ml√9+2+1×2√2 2, 即平面DHF与平面ACDE的夹角为. …15分 (方法二)连接PD,易得PH=2(ED+AC)=3,PD=√PE+ED=V2+4=√6， DH=2DC=28+4-5,所以DH+PD2=PH,所以DH1PD.…10分 因为PD=6,FP=2AB=E,FPLPD, 所以FD=VFP2十PD2=√2十+6=2√2，… …11分 所以FH=√FP2十PH=√2+9=√T,则FH=FD2十DH,所以FD⊥DH,… …12分 则∠FDP(或∠FDP的补角)即为平面DHF与平面ACDE的夹角，…I3分 又cos∠FDP=PD=V6-VE 一品2-，所以平面DHF与平面ACDE的夹角为 1 …15分 【高三数学·参考答案第5页（共9页）】 ·YN-C2· 【评分细则】 【1】第(1)问中，方法一未写FP中平面ABC,PH中平面ABC,合计扣1分；未写FP∩PH =P,扣1分；未写FHC平面FPH,不扣分 【2第(2)问中，未写AC∩AE=A,扣1分. 【3】第(3)问中，方法一里平面DHF的法向量不唯一，只要是与m=(3,W2,1)共线的非零向 量即可，平面ACDE的法向量不唯一，只要是与AB=(2√2,0,0)共线的非零向量即可. 【4】第(3)问中，方法二未说明平面DHF与平面ACDE的夹角也可能是∠FDP的补角，不 扣分 18.【解析】本题考查椭圆与圆的综合运用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 (1)证明：因为H(xo,yo)(xoyo≠0)是圆O上任意一点，所以x6十y=9.…1分 圆O的圆心坐标为(0,0)，半径r=3.…2分 圆心0(0,0)到直线xox十yoy=9的距离d=一g =3. …3分 √x+y 因为d=r,所以直线xox十yoy=9是圆O的一条切线. 4分 （②)解当n=2m-立时，C的方程为+号-1. + 设Ax1),B(x2).由4+之=1， 得3x2十4x-2=0,…5分 x+y+1=0, 4 则4=16+24=40>0，x1十x2=-3x1x2=- 2 3 6分 所以AB1=1中XV-专)-4x(-)=5 3 8分 (3)证明：设P(x3y3),Q(x4,y1).由(1)得l的方程为xox十yoy=9. |m.x2+ny2=1, 由 得(my8+nx)x2-18xox十81n-y=0,…9分 (zoz+yoy=9, 181x0 81n-y8 x3十x4= y+n 10分 my十nx 因为0P⊥0Q,所以O驴.0反=x3x4十y%y4=0.… 11分 因为yy3y4=(9-x0x3)(9-xox4)=81-9xo(x3十x4)十x6x3x4, 所以yx3x4十y6y3y4=81-9xo(x3十x4)+x6x3x4+y6x3x4=0. 又x6十y后=9，所以9-x0(x3十x4)十x3x4=0,…12分 所以9一x。· 18nx0L811-y myd+nxd myo+nxd 2=0,则(9m-1Dy-9mx8+81n=(9m-1)y8-9m(9 -y)+81n=(9m十9m-1)y6=0.… …13分 【高三数学·参考答案第6页（共9页）】 ·YN-C2·