精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学高中部2026-2027学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

惠阳一中高中部2026-2027学年第一学期高一年级 第一次质量检测数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 4. 若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. 若的定义域为，则 B. 若的定义域为，则 C. 若的值域为，则 D. 若在上单调递增，则 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则_________． 13. 已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 14. 已知，，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，，其中. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 17. 已知不等式 的解集为 { 或 }． （1）求 ， 的值； （2）解关于 的不等式 ； （3）， 恒成立，求 的取值范围． 18. 已知函数，，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围． 19. 定义在上的函数满足：对任意非零实数． （1）证明：为偶函数； （2）若，且当时，． （i）证明：在上单调递增； （ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳一中高中部2026-2027学年第一学期高一年级 第一次质量检测数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”的否定是. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则. 3. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 4. 若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得 ， 则 ， ，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得到条件""的解集，再把"必要不充分"转化为两解集的真包含关系，由正向包含定出 的下界，并举例验证反向包含不成立. 【详解】由得，即， 记其解集为，条件""的解集为， 由于“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 所以，即的取值范围是. 6. 若函数是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】若为增函数，则，所以. 因此实数a的取值范围为. 7. 已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出，再结合奇偶性可得. 【详解】当时，， 则当时，，有， 又函数是奇函数， 则， 故当时，. 故选：D. 8. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次不等式及仅有 4 个整数解排除，确定得到解集区间，再分两类讨论区间内的 4 组连续整数，通过端点不等式求出范围. 【详解】因为不等式为关于的一元二次不等式，所以， 若，则不等式的解集为两段无穷区间，不满足解中有且仅有4个整数； 若，则不等式的解集为， 因为不等式的解中有且仅有4个整数，且则4个整数可能是或， 若4个整数是，则，解得，即； 若4个整数是，则，解得，即， 综上，实数的取值集合是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A选项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B选项，由，解得或，所以命题“”为假命题，B错误； 对于C选项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D选项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误。 10. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. 若的定义域为，则 B. 若的定义域为，则 C. 若的值域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数定义域求出参数范围判断AB；利用值域求出参数范围判断C；利用单调性求出参数范围判断D. 【详解】对于A，由的定义域为，得成立， 当时，成立，则； 当时，，解得，因此，A正确； 对于B，由的定义域为，得是不等式的解集， 则，且为方程的两根，，解得，B正确； 对于C，由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得，C错误； 对于D，由在上单调递增，得，解得，D错误. 故选：AB 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果． 【详解】解：集合，，，且， 或， 解得，或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意． 综上，． 故答案为：. 13. 已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 14. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，求出，，再利用不等式性质求出的取值范围. 【详解】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，，其中. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对集合B是否为空集进行分类讨论，再由交集结果即可求出实数的取值范围； （2）由题意可知为的真子集，得出不等式可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得或，且， 当时，可得，解得，符合题意， 当时，可得，解得， 综上可得. 【小问2详解】 因或，故， 因为，故，即. 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集， 故， 解得. 所以实数的取值范围为 16. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2），最小值为297600 【解析】 【分析】（1）设底面长为x米，宽为米，由容积为立方米，列出水池的总造价关于的函数关系； （2）借助均值不等式即得解. 【小问1详解】 设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米. 所以 即； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 17. 已知不等式 的解集为 { 或 }． （1）求 ， 的值； （2）解关于 的不等式 ； （3）， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1），； （2）①当 时，解集为 ； ②当 时，解集为 ； ③当 时，解集为 ． （3） 【解析】 【分析】（1）解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系求解； （2）代入后因式分解成 后讨论的范围写出解集； （3）把 与 分开，后者分离参数求最小值． 【小问1详解】 解集为{或}， ，且 、 是 的两根， ，， 解得，． 【小问2详解】 将，代入不等式， 原不等式即 ， ． 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 当 时， 恒成立； 当 时，原不等式即 ， （当 时取等号）， ， ． 18. 已知函数，，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）由（1）知，故，在区间上，任取，且， 则． 因为，且，，所以，，， 故，即． 由单调性定义，函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求参数值即可；（2）利用函数单调性定义在区间上，任取，且，证明即可；（3）利用函数单调性与奇偶性以及函数定义域范围化简不等式，进而求解不等式即可 【小问1详解】 将代入得， 得，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以,所以为奇函数， 等价于， 由（2）知在上单调递增， ，解得或， 的取值范围为． 19. 定义在上的函数满足：对任意非零实数． （1）证明：为偶函数； （2）若，且当时，． （i）证明：在上单调递增； （ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） 的定义域是 由知，， 故，于是为偶函数． （2） （i）， 由，知， 又当时，，故， 故，即 则在上单调递增． （ii）． 【解析】 【分析】（1）对题干等式进行赋值，证明即可证明； （2）（i）用定义法证明函数单调性； （ii）根据推出，再结合得到不等式，根据单调性可知，进行参数分离，得到，利用换元求出的最小值，即可解出答案. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题，， 由及，得 ， 由（i）知在上单调递增， 于是 则， 则 令， 当且仅当时等号成立， 则， 当时，即时， 则，即． 则正实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $