河南省郑州市第七初级中学2025-2026学年九年级上学期第2次月考数学试题

河南省郑州市第七初级中学2025-26学年上学期第2次月考 九年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页,三个大题,满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的. 1．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ） A．20 B．30 C．40 D．60 4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ） A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为 B．图像位于第一、三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．图象不可能与坐标轴相交 6．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 8．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 9．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④⑤（m为任意实数）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为2 cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知，则的值为 ． 12．二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 13．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于，两点，若，则 ． 14．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 第14题图 第15题图 15．如图，四边形是菱形，，点是射线上一动点，把沿直线折叠，其中点D的对应为点，连接，若为等边三角形，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（8分）（1）解方程：x2x6＝0； （2）计算：． 17．（9分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人； （2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．    18．（9分）如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______°时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ． 19．（9分）为激发学生对科技探索的热情，郑州七初在首届科技节期间，九年级数学组老师根据2025年春晚人形机器人扭秧歌节目制作了人形机器人跳舞时的侧面示意图．如图②所示，已知其上半身AB＝100 cm，大、小腿的长BC＝DC＝40 cm，胳膊EF＝34 cm，，当，，且，，共线时，点到水平地面的距离是多少．（参考数据：，，） 20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+n与双曲线y＝相交于点A，B，点C在x轴正半轴上，点B（3，2），D（2，3），连接OA，OD，DC、，AC，四边形AODC为菱形． （1）求两函数的关系式； （2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数值不小于一次函数值； （3）设点P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标． 21．（10分）水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度y（m）与离起跳点O的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为1 m时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为3 m时，运动员离水面的高度为7 m． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于1 m时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为4 m时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 22．(9分)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. （1）如果果园既要让橙子的总产量达到60375个，又要确保每一棵橙子树接受到的阳光照射尽量少受影响，那么应该多种多少棵橙子树？ （2）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ 23．(11分).综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会标是古代数学家赵爽画的“弦图”，它是证明　 　的几何方法（填序号）． ①勾股定理 ②完全平方公式 ③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”， 则中间四边形ABCD的面积为　 　； 【问题探究】 兴趣小组组员发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2+CE2＝BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE′． （1）连接BD，若点E为BD的中点，则四边形DECE′为　 （填形状）； 【问题解决】 （2）若BE，E′D的延长线交于点M，连接AC，点O，F分别为AC，CD的中点． ①请找出OM和FE′的数量关系并写出直线OM和直线FE′的夹角（锐角），请仅就图④的情形说明理由； ②若DM＝1，AB＝ ，请直接写出BE的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市第七初级中学2025-26学年上学期第2次月考 九年级数学试卷(解析版) 注意事项： 1.本试卷共8页,三个大题,满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的. 1．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 2．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的性质：反比例函数图象为双曲线，当，图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当，图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质可得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而增大， ∴， 解得， 故选：A． 3．如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ） A．20 B．30 C．40 D．60 【答案】C 【分析】由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，从而可得出现红球的概率，再利用概率公式求解红球的数量即可得到答案． 【详解】解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右， 所以出现红球的概率是 则袋中红球的数量为： 所以袋中红色球的数目为个， 故选： 【点睛】本题考查的是利用频率来估计概率，再利用概率求解目标球的数量，掌握利用频率估计概率是解题的关键． 4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线平移，涉及抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案，熟记函数图象的平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为， 故选：A． 5．当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ） A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为 B．图象位于第一、三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．图象不可能与坐标轴相交 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论． 【详解】A．当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题； B．结合实际意义可知，即函数图象位于第一象限，故本选项符合题； C．压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题； D．根据题意可知，，又，由此可得，故图象不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质等知识，解题关键是掌握并灵活运用相关性质． 6．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额． 7．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理可进行求解． 【详解】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故不符合题意； B、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法正确，故符合题意； C、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误，故不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 8．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4 m，=， 由勾股定理，得FC=，EC2=，EC2=， ∴=， 令DE=x，则EF=x+8， ∴， 整理，得16x=32， 解得：x=2． 故选：A． 【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键． 9．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④⑤（m为任意实数）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线可知：，， 对称轴，， ∴，故①正确； 关于的对称点为， 时，，故②正确； 抛物线与x轴有两个交点， ，即，故③错误； 当时，y的最小值为， 时，， ，即，故④错误； 故选：B． 【点睛】主要考查二次函数图象的性质与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 10．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为2 cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，求出，用P点移动的距离除以速度即可得出t的值． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P，由图2知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，解题的关键是证明． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可设，，，代入求解即可． 【详解】解：由可设，，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 12．二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次函数的定义得出，根据图象与轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，k的取值范围为：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程根的个数问题． 13．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于，两点，若，则 ． 【答案】 【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示，的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知， ，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键． 14．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据题意可知高脚杯前后的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意可知， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15．如图，四边形是菱形，，点是射线上一动点，把沿直线折叠，其中点D的对应为点，连接，若为等边三角形，则 ．    【答案】2或8/8或2 【分析】依据折叠的性质、菱形的性质以及等边三角形的性质，分两种情况得到的长即可． 【详解】解：由折叠及菱形的性质可得，故是以底的等腰三角形， 故当，为等边三角形， 分以下两种情况讨论， ①如图（1），当点点A重合时，，此时点E为的中点，故， ②如图（2），当点与点A关于直线对称时，，C，D三点共线，，故， 综上所述，或8， 故答案为：2或8．    【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题及等边三角形的性质等知识的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（8分）（1）解方程：x2x6＝0； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和含有三角函数值的实数混合运算． 【详解】解：（1）x2x6＝0， 整理得，（x3）（x+2）＝0， ∴x3＝0或x+2＝0， ∴x1＝3，x2＝2； （2）原式＝ ＝31+21 ＝3． 17．（9分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人； （2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200 （2）81° （3） 【分析】（1）用银行卡的人数除以其百分比即可得到总人数； （2）先求出微信支付的人数，得到支付宝支付的人数，再利用公式计算； （3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表利用公式求概率． 【详解】解：（1）这次活动共调查了（人）， 故答案为：200； （2）微信支付的人数为（人）， 支付宝支付的人数为200-60-30-50-15=45（人）， 表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为， 故答案为：81°； （3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种， 则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18．（9分）如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______°时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）45 （3）12 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形． （2）欲证明四边形BECF是正方形，因为第一问已经证明四边形BECF是菱形，所以只需 要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当∠A= 45°时， ∠EBF= 2∠CBA= 90°，即四边形BECF是正方形． （3）在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，得出四边形ABFC为直角梯形，求出FC，AB，BF的长，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积． 【详解】解：（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． （2）当∠A = 45°时，四边形BECF是正方 形，证明如下： ∵∠A= 45°，∠ACB = 90° ∴∠CBA = 45° ∴∠EBF= 2∠CBA = 90° ∴菱形BECF是正方形． ∴当∠A=45°时，四边形BECF是正方形． （3）在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，∠A=∠ECA=45°， ∴∠FBA=∠BFC=90°，即四边形ABFC为直角梯形， 又∵AC=4 ∴AE=EC= ∵CE=CF=2 ，AB=BE+AE=2 ∴ = 故四边形的面积为12． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形． 19．（9分）为激发学生对科技探索的热情，郑州七初在首届科技节期间，九年级数学组老师根据2025年春晚人形机器人扭秧歌节目制作了人形机器人跳舞时的侧面示意图．如图②所示，已知其上半身AB＝100 cm，大、小腿的长BC＝DC＝40 cm，胳膊EF＝34 cm，，当，，且，，共线时，点到水平地面的距离是多少．（参考数据：，，） 【答案】点到水平地面的距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用；连接，过点分别作，，垂足分别为点、，过点作于点．根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而得出，由，求得，根据矩形的性质可得的长，即可求解． 【详解】解：连接，过点分别作，，垂足分别为点、，过点作于点．则四边形为矩形， ， ，， 在中，， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：点到水平地面的距离为． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+n与双曲线y＝相交于点A，B，点C在x轴正半轴上，点B（3，2），D（2，3），连接OA，OD，DC、，AC，四边形AODC为菱形． （1）求两函数的关系式； （2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数值不小于一次函数值； （3）设点P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数关系式为，一次函数的解析式为y＝x+1； （2）0＜x≤2 或 x≤−3时，反比例函数值不小于一次函数值； （3）（0，12）或（0，−12）． 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数与一次函数的关系式即可；． （2）利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可． （3）根据OC与AD的长，求出菱形ABCD的面积，设P（0，p），由OP为底，A横坐标为高表示出△OAP面积，根据△OAP的面积等于菱形OACD的面积，列出关于p的方程，求出方程的解即可得到p的值． 【详解】解：（1）∵点B（−3，−2）在双曲线y＝上， ∴k＝（−3）×（−2）＝6， ∴反比例函数解析式为：y＝， ∵四边形AODC为菱形，D（2，−3）， ∴点A的坐标为（2，3）， 将点A（2，3），B（3，2）代入y＝mx+n中得， 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）由图象可知，0＜x≤2 或 x≤3时，反比例函数值不小于一次函数值； （3）∵OC＝2OE＝4，AD＝2DE＝6， ∴S菱形AODC＝OC•AD＝12， ∵S△OAP＝S菱形OACD，即OP•OE＝12， ∴设P（0，p），则×|p|×2＝12，即|p|＝12， 解得：p＝12或p＝−12， 则P的坐标为（0，12）或（0，−12）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． 21．（10分）水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度y（m）与离起跳点O的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为1 m时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为3 m时，运动员离水面的高度为7 m． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于1 m时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为4 m时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 【答案】（1），． （2）该运动员能成功压住水花．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的表达式为，把和代入，进行解方程，即可作答． （2）把代入，解出，结合距离为，进行作答即可． 【详解】解：（1）由题得对称轴为直线，设抛物线的表达式为， 当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的距离为， 所以抛物线经过点， 把和代入， 得解得 抛物线的表达式为． 该运动员离水面的最大距离为． （2）该运动员能成功压住水花． 理由：由（1）可知，当时， 所以该运动员离水面的距离为，故该运动员能成功压住水花． 22．(9分)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. （1）如果果园既要让橙子的总产量达到60375个，又要确保每一棵橙子树接受到的阳光照射尽量少受影响，那么应该多种多少棵橙子树？ （2）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ 【答案】（1）应该多种5棵橙子树；（2）增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多.最多为60 500个. 【分析】（1）根据题意设应该多种x棵橙子树，根据等量关系果园橙子的总产量要达到60 375个，列出方程求解即可； （2）根据题意设增种y棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量，再配方即可求解． 【详解】解：（1）设应该多种x棵橙子树，根据题意得: （100+x）（600-5x）=60 375， 解得：，（不合题意，舍去） 答：应该多种5棵橙子树. （2）设果园橙子的总产量为y个，根据题意得: . 答：增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多.最多为60 500个. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意配方法的运用． 23．(11分).综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会标是古代数学家赵爽画的“弦图”，它是证明　 　的几何方法（填序号）． ①勾股定理 ②完全平方公式 ③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”， 则中间四边形ABCD的面积为　 　； 【问题探究】 兴趣小组组员发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2+CE2＝BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE′． （1）连接BD，若点E为BD的中点，则四边形DECE′为　 （填形状）； 【问题解决】 （2）若BE，E′D的延长线交于点M，连接AC，点O，F分别为AC，CD的中点． ①请找出OM和FE′的数量关系并写出直线OM和直线FE′的夹角（锐角），请仅就图④的情形说明理由； ②若DM＝1，AB＝ ，请直接写出BE的长． 【答案】【阅读经典】①； 【动手操作】49； 【问题探究】（1）正方形； 【问题解决】（2）①，且直线和直线的夹角（锐角）为；理由见解析；②BE的长为3或2． 【分析】【阅读经典】根据赵爽弦图是证明勾股定理的方法即可解答； 【动手操作】由四边形是正方形，先求出边长，再根据正方形面积公式求解即可； 【问题探究】（1）根据勾股定理的逆定理可证，由正方形的性质，再结合旋转可证，再证明，即可得证． 【问题解决】（2）①将线段与放在合适的特殊图形中进行线段转化，连接后，根据正方形的边与对角线的数量关系证得，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求出线段关系．角度关系要将与的夹角放在中，依据两角对应相等，得出，求解角度即可． ②由于点M的位置不确定，需要将点M分为在AD的上方和AD的下方进行分类讨论，再根据四边形为正方形，为直角三角形求解即可； 【详解】解：【阅读经典】“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法， 故答案为：①． 【动手操作】∵正方形ABCD的边长AB＝12−5＝7， ∴S正方形ABCD＝AB2＝72＝49， 故答案为：49． 【问题探究】（1）如图，∵点E为正方形ABCD对角线BD的中点， ∴△BCE、△CDE均为等腰直角三角形， ∴∠CBE＝∠BCE＝∠ECD＝∠EDC＝45°，∠BEC＝∠CED＝90°，BE＝CE＝DE， 由旋转得：∠E′＝∠BEC＝90°，∠ECE′＝90°， ∴∠CED＝∠E′＝∠ECE′＝90°， ∴四边形DECE′是矩形， ∵CE＝DE， ∴四边形DECE′是正方形． 故答案为：正方形． （2）①∵BE2+CE2＝BC2， ∴△BCE是Rt△，∠BEC＝90°， 由旋转得：∠CE′D＝∠BEC＝90°，∠ECE′＝90°，CE′＝CE， ∴四边形CE′ME是正方形， ∴∠CE′M＝90°， 连接CM，AM，延长MO、E′F交于点N，设E′N交CM于H，如图， ∵四边形ABCD和CE′ME是正方形， ∴AC＝CD，CM＝CE′，∠ACD＝∠MCE′＝∠CME′＝45°， ∴∠ACD−∠DCM＝∠MCE′−∠DCM， 即∠ACM＝∠DCE′， ∵＝＝， ∴＝， ∴△ACM∽△DCE′， ∴∠AMC＝∠DE′C＝90°，∠ACM＝∠DCE′， ∵点O，F分别为AC，CD的中点， ∴OM＝OC＝AC，E′F＝CF＝CD， ∴OM＝E′F， ∵OM＝OC， ∴∠NMH＝∠ACM， ∵E′F＝CF， ∴∠CE′F＝∠DCE′， ∴∠NMH＝∠CE′F， ∵∠MHN＝∠CHE′， ∴△MNH∽△E′CH， ∴∠MNE′＝∠MCE′＝45°； ②当点M在AD上方时，如图， 设BE＝x，则DE′＝x， ∵DM＝1，AB＝， ∴CE′＝ME′＝x+1，CD＝AB＝， 在Rt△CDE′中，DE′2+CE′2＝CD2， ∴x2+（x+1）2＝（）2， 解得：x＝−3（舍去）或x＝2， ∴BE＝2； 当点M在AD下方时，如图， 设BE＝x，则DE′＝x， ∵DM＝1，AB＝， ∴CE′＝ME′＝x1，CD＝AB＝， 在Rt△CDE′中，DE′2+CE′2＝CD2， ∴x2+（x−1）2＝（）2， 解得：x＝−2（舍去）或x＝3， ∴BE＝3； 综上所述，BE的长为3或2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $