安徽省多校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.抛物线y2=一4x的准线方程是 A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 2.若关于x,y的方程x2+y2+a.x一2y+a+4=0表示圆，则a的取值范围是 A.(-∞，-2)U(6,+∞) B.(-c∞，-6)U(2,+∞) C.(-2,6) D.(-6,2) 3.已知椭圆m.x2+y2=1的焦点在y轴上，且其短轴长等于焦距，则m= A分 马 C.2 D.2 4,打篮球是一一项以手为中心的身体对抗性体育运动.如图，这是一个篮球的平面图形，篮球的外 形轮廓为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分.设该双曲线的中心在原 点O,焦点在x轴上，y轴、双曲线与圆O的交点将圆O的周长六等分，且|BC引=2|AB|= 2CD|,则该双曲线的离心率是 A.5 B.5 鸣 5.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E是棱BC的中点，且P苹=2FD,则 EF= A.A+A+}a过 B-A弦+A茹+号A护 C-A+a茄+3a n.A花++号a 【高二数学第1页（共4页）】 ·26-161B· 6.抛物线的光学性质如下：平行于对称轴的光线经抛物线镜面反射，反射后的光线经过该抛物 线的焦点.已知某型号的探照灯的反射面为抛物线型，其轴截面抛物线的方程为y2=8x,一 束平行于x轴的光线从点A(4,3)出发，射向该探照灯反射面的B处，经反射后与x轴交于 点P,则IAB|+|BPI= A.6 B.8 C.5 D.10 7.如图，在四棱柱ABCD-A1B,C:D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方 形，四边形ADDA1是菱形，且∠A1AD=60°，E,F,G分别是棱BC,DD1,AD的中点，则异 面直线EF与B1G所成角的余弦值是 A 14 B B. 0√161 161 c贵 D.5V16T 161 8.已知直线1：(m+2)x+(2m-1)y-3m-1=0与圆M:x2+y2-2.x-2y-2=0交于A,B 两点，若点P(-3,4),C是圆M上的一动点，则IPA+PB+PCI的取值范围是 A.[11,19 B.[13,17] C.[7,17] D.[9,19] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l1:a.x+2y一5=0与直线l2:3.x+(a一1)y+2=0平行，则a的值可能是 A.-3 B.-2 C.2 D.3 10.在正方体ABCD-A,B1C1D1中，E,F分别是棱CC1,C1D1的中点，则下列结论错误的是 A.A:C⊥平面AEF B.BD平面AEF C.平面AEF与棱BB1没有公共点 D.在棱DD1上存在点G,使得点G在平面AEF内 1.已知双曲线C:乙三-片=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F(-c,0),E,(c,0)(c>0,直 线l:y=√3x一c与双曲线C的右支交于A,B两点，且AB|=入|BFz,则 A当X=5时，双曲线C的离心率为 B.当λ=5时，△AF1F2与△BF1F2的面积之比为5：1 C当入=6时，双曲线C的离心率为号 D.当入=6时，△AFF2与△BF1F2的周长之比为5：3 【高二数学第2页（共4页）】 ·26-161B· 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线1：3.x-4y-10=0被圆C:x2+y2-2x一4y-31=0所截得的弦长为▲ 13.已知A,B分别是椭圆C:5十m +义=1的上、下顶点，且椭圆C的长轴长为|AB1,若椭圆C 上存在点P,使得∠APB=120°，则m的最小值是▲. 14.在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，AD=4,BD=3,则AB.CD= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 己知椭圆C十1@>b>0)的离心率为0，P,P,分别是椭圆C的左，右焦点，卫 是椭圆C上的动点，且△PF,F2面积的最大值为2√5. (1)求椭圆C的标准方程； IPFI (②若PFLPF,且IPF>PF:l,求P,的值 16.(15分) 如图，在长方体ABCD-A1B,C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA,=4,E,F 分别是棱AA,CC1的中点. (1)证明：BE⊥平面B,C,E (2)求平面B1C,E与平面BDF夹角的余弦值 E 【高二数学第3页（共4页）】 ·26-161B· 17.(15分) 已知圆心为C的圆经过A(1,0),B(4,3)两点，且圆心C在直线x一y一2=0上 (1)求圆C的标准方程 (2)过直线L:x一2y一11=0上的点P作圆C的切线PM,PN,切点分别为M,N. ①求四边形PMCN面积的最小值： ②当四边形PMCN的面积最小时，求直线MN的方程. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AD=2AB=2BC=4, PA=PD=23,E是棱PD的中点。 (1)设PC=25. ①证明：平面PAD⊥平面ABCD. ②求点P到平面ACE的距离 (2)若直线DP与平面BCP所成角的正弦值为号 ,求平面BCP与平面ADP的夹角. 19.(17分) x2 y2 已知双曲线E:后一方-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，且点M(-45)在双曲线E上. (1)求双曲线E的焦距 (2)已知A,B分别为双曲线E的左、右顶点，直线1：x=my十1与双曲线E交于C,D(异 于点A,B)两点，直线AC与直线BD交于点P. ①若m>2,且△BCD的面积是2√2，求直线l的方程. ②试问点P是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 【高二数学第4页（共4页）】 ·26-161B·高二数学试题参考答案 1.A抛物线y2=一4x的准线方程是x=1. 2.A由题意可得a2+(-2)2-4(a+4)>0,即a2-4a-12>0,解得a<-2或a>6 3.D 由题意可得a-1.6-√则---√日所以2层-2日 ,解得m =2. 4.D i y2 设双曲线的方程为—。1a>0,b>0),则10C1=a,因为5C=21AB1=21CD 所以|AB|=|OC1=a,所以|OA|=2a,即圆O的半径为2a.因为y轴、双曲线与圆O的交 点将圆0的周长六等分，所以点5.0)在该双曲线上，所以学-会=1，解得号-子则该 双曲线的离心率是 1+a= 5.C因为E是棱BC的中点，所以EC=2BC=2AD.因为点F在棱PD上，且PF=2FD, 所以D荥=D币=A泸-}茄，所以成=试+c市+D亦=号茄-A+A护-}A茄 =-A+访+号a拉， 6.A由题意可知P为抛物线y2=8x的焦点，则|BP|等于点B到该抛物线准线的距离，故 ABI+1BP1=4+号=6， 7.C连接A,G,EG,易证GE,GD,GA,两两垂直，则以G为 坐标原点，GE,GD,GA1所在直线分别为x轴、y轴、：轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则B,(2,0, ).E2.0,0.F(0.,号)，G(0,0.0,放球=(-2. 3号).丽=2.0. 设异面直线EF与B1G所成的角为0， -4+ cos 0=Icos(EF,GB1>|= E求.GB 5 EF1GB √++×a 14 8.B由题意可知圆M的圆心为M(1,1),半径r=2,直线I过圆心M,则AB是圆M的直径， 所以PA+PB=2PM.因为PA+PB+PC1=|3PM+MC1,所以13PM1-MC1≤IPA 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 ·26-161B· +PB+PC≤I3PM1+M心L.因为C是圆M上的动点，所以MC1=r=2.因为P(-3, 4),M(1,1),所以PM1=√(-3-1)2+(4-1)F=5,所以13≤1PA+P5+P元≤17. (a(a-1)-3×2=0, 9.BD由题意可得 解得a=一2或a=3. 2×2-(a-1)X(-5)≠0. 10.ABD以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐 标系（图略）.设AB=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2).E(0, 2,1),F(0,1,2),所以A1C=(-2,2,-2),Di=(2,2,0),AE=(-2,2.1),AF=(-2,1, m·AE=-2x+2y+x=0, 2).设平面AEF的法向量为n=(x,y,),则 n.AF=-2x+y+2x=0 令x=3,得n= (3,2,2).因为A1C=(-2,2,-2),所以n与A,C不平行，则直线A1C与平面AEF不垂 直，A错误.因为DB·n=2×3+2×2+0×2=10≠0，所以直线BD与平面AEF不平行， B错误.设平面AEF与棱BB1交于点P(2,2,a)(0≤a≤2)，则AP=(0,2,a).因为AP· n=2×2十2a=0,解得a=一2.因为0≤a≤2，所以a∈心，即平面AEF与棱BB1没有公共 点，C正确.设G(0,0,b)(0≤b≤2)，则AG=(-2,0,b),所以AG·n=-2×3+0×2+2b =0,解得b=3.因为0≤b≤2，所以b∈⑦，即在棱DD1上不存在点G,使得点G在平面 AEF内，D错误 11.ACD由题意可知直线L过双曲线C的右焦点F2,不妨设点A位于第一象限，则∠AF2F,= 120°，∠BF:F1=60°.设1BF:|=m,则|AF:|=(一1)m.由双曲线的定义可知|AF1=(A一1)m +2a,|BF,|=m+2a.在△AF,F2中，由余弦定理可得|AF,2=|AF22+|F,F2一2|AF2|· lF,F2lcos∠AF2F1,即[a-1)m+2a]=[-1)m]+(2c)2-2(a-1)m·2ccos120°，即2a- 1)am十2a2=2c2+(A-1)m①.在△BF1F2中，同理可得2am十2a2=2c2-cm②.当λ=5时，由 ①可得8n+2w=2+如⑤.联立@.得6a=5,则后-号A正确设点万到直线AB的 距离为A,则SAR:SA,R=号AF,h:BE,h=AF,:BF,=4:1,B错误当X=6 时，由①可得10am十2=22+5m④.联立②④，得4a=3c,则后=号，C正确将c=专a代入 ④.得m6a,则△4F,B的周长为5x品a+2a+5X名a+2X营a 7 7 3a,△BF,F2的周长为 4+2a+品+2Xa-9.则△AF,R与△BE,:的周长之比为学。：。=5：3.D正确 7 12.6√由题意可知圆C的圆心为C(1,2),半径r=6,则圆心C到直线1的距离d= |3-4×2-10 =3,故直线1被圆C所截得的弦长为2√F2一d=2W62-3=63. √/32+(-4) 13.15由题意可知当点P为短轴的端点时，∠APB最大，则要使椭圆C上存在点P满足 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·26-161B· ∠APB=120°则号≥am60°-3，即严≥3，解得m≥15，即m的最小值是15. 14.2 如图，取棱AC的中点O,连接OB.因为△ABC是等边三角 形，且O是线段AC的中点，所以OB⊥AC,则以O为原点，OB,OC 所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为 △ABC是边长为2的等边三角形，所以A(0,一1,0)，B(3,0,0), C(0,1,0).设D(x,y,z),则AD=(xy+1,x),BD=(x-3,y, 之)，AB=(3,1,0),CD=(x,y-1,之).因为AD=4,BD=3,所以 1x2+(y+1)2+x2=42, 7 (x-√5)2+y2+x2=32 所以x+y=号，则a花.市=尽x+y-1= 15.解：(1)设椭圆C的焦距为2c, bc=2√15， 由题意可得￡=西 解得a=4,b=6,c=√/0，…3分 4 a2=b2+c2, 则椭圆C的标准方程为后+苦-1。 …5分 (2)由椭圆的定义可知|PF,|十|PF2=2a=8.①…7分 因为PF1⊥PF2,所以川PF11+|PF2=|F1F2P=4c2=40.②…9分 联立①②，得|PF1|=6,|PF2|=2或|PF1|=2,|PF=6.…11分 因为1PF,>PFl,所以1PE=6,PF=2,则PP PFI =3 13分 16.解：由长方体的性质可知AB,AD,AA:两两垂直，则以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在 直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 2分 (1)证明：由题中数据可得B(2,0,0),E(0,0,2),B1(2,0,4),C1(2, 2,4),…3分 则BE=(-2,0,2),B1C=(0,2,0),B1E=(-2,0,-2),…4分 B 所以BE.B1C=0,BE.B1E=0,…5分 所以BE⊥B1C,BE⊥B1E,即BE⊥BC1,BE⊥BE.…6分 因为B,C1C平面B,CE,BEC平面BCE,且BC1∩BE= B1,所以BE⊥平面B1C1E.… …8分 (2)由题中数据可得D(0,2,0),F(2,2,2),则BD=(-2,2,0),B =(0,2,2).…10分 设平面BDF的法向量为m=(x,y,x), 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·26-161B· m·BD=-2x+2y=0 则m·萨=2y+2:=0 令x=1,得m=(1,1,-1) 12分 由(1)可知B驼=(-2,0,2)是平面B1C,E的一个法向量.…13分 设平面B,CE与平面BDF的夹角为0， 则c0s0=1s(m,E1=1m·=1-2-2- 3 ,即平面B,C,E与平面BDF夹角的 mBE√3X2√2 余弦值为 15分 17.解：(1)设圆C的标准方程为(x一a)2+(y-b)2=r2(r>0), (1-a)2+(0-b)2=r2, a=3, 则(4-a)2+(3-b)2=r2,解得b=1, 。。。。。。。。。。。 3分 a-b-2=0. r=5, 故圆C的标准方程为(x一3)2+(y一1)2=5. 4分 (2)①圆心C到直线1的距离d=13-2×1一1山 √/1+(-2)2 =25.…5分 由(1)可知圆C的半径r=5,则|PM≤√一r=√/5，…7分 故四边形PMCN的面积S=|PM|·r≤√/5×5=5√3，即四边形PMCV面积的最小值 为55. …8分 ②当四边形PMCN的面积最小时，直线PC的方程为2x十y一7=0.·9分 2x+y-7=0, x=5, 由 -2y-1-0.得-一3.甲P的坐标为6，-3. 得 11分 因为PM⊥CM,PN⊥CN,所以M,N在以PC为直径的圆上 因为P(5,-3),C(3,1),所以以PC为直径的圆的方程为(x一4)2+(y十1)2=5. …13分 因为M,N在圆C上，所以直线MN的方程为(x-4)2+(y+1)2-[(x-3)2+(y-1)2]= 5-5,即2x-4y-7=0.… 15分 18.(1)①证明：取棱AD的中点O,连接OC,OP 因为PA=PD,且O是棱AD的中点，所以OP⊥AD.… 1分 因为AD=2AB=2BC=4,且O是棱AD的中点，所以OC=OA=2. 因为PA=23,所以OP=√PA2-OA=22. 2分 因为PC=2√3，所以PC2=OP2+OC2,所以OP⊥OC. …3分 因为OCC平面ABCD,ADC平面ABCD,且OC∩AD=O,所以OP⊥平面ABCD. …4分 因为OPC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD. …5分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·26-161B· ②解：由①可知OC,OD,OP两两垂直，则以O为坐标原点，O℃，OD,OP所在直线分别为 x轴、y轴、之轴，建立如图1所示的空间直角坐标系。 由题中数据可得A(0,一2,0)，C(2,0,0),E(0,1,√2)， P(0,0,2√2)， 则AC=(2,2,0),AE=(0,3√2)，AP=(0,2,2√2). …7分 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), n·AC=2x+2y=0, 则n.A正=3y+E:=0 令x=√2，得n=(2,-2. 图1 3),…8分 故点P到平面ACE的距离为n户_上2E+6_4V医 13 …9分 /2+2+9 (2)解：以O为坐标原点，O℃，OD所在直线分别为x 轴、y轴，建立如图2所示的空间直角坐标系。 设∠POC=0(0<0<π)，则B(2,一2,0)，C(2,0,0), D(0,2,0),P(2√2cos0,0,2√2sin0) 故BC=(0,2,0),B驴=(2√2cos0-2,2,2√2sin0), B Dp=(2√2cos0,-2,22sin0).…10分 设平面BCP的法向量为m=(x1,y1,21), 图2 m·BC=2y1=0, m·Bp=(22cos0-2)x,+2y1+22sin0·z1=0, 令x1=√2sin0,得m=(W2sin0,0,l-√2cos0). 11分 因为直线DP与平面BCP所成角的正弦值为3. 所以1cos(m,DP1=lm·D 2√2sin0 3,解得c0s0= 2· …12分 Γ1ml1DP1√3-2√2cos0×25 因为0<0<，所以0=年，则P(2,0,2),m=(1,0,0). …13分 因为A(0,-2,0),D(0,2,0),P(2,0,2),所以AD=(0,4,0),AP=(2,2,2).…14分 设平面PAD的法向量为u=(x2,y2,之2) u·AD=4y2=0, 则 令x2=1,得u=(1,0,-1).…15分 M.AP=2x2+2y2+2x2=0, 设平面BCP与平面ADP的夹角为a,则cosa=cos(m,1=m-⊥=2 Γmu√22 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·26-161B· 故平面BCP与平面ADP的夹角为至 17分 2b=2, 19.解：(1)由题意可得163 解得a=2,b=1,…2分 故双曲线E的焦距为2√2十b=25.…3分 (2)设C(x1,y1),D(x2y2), (2 -y=1得m-4y2+2my-3=0. 4分 x=my+1, m2一4≠0， 则 即3<m2<4或m2>4,…5分 △=4m2-4(m2-4)X(-3)>0, 且+=-m22 3 m2=4y1y= m2-4 …6分 ①因为△BCD的面积是2D,所以号1y,-=2+-4-2Y3 m2-4 2/万，…8分 所以2m‘-17m2+35=0,即(m2-5)(22-7)=0,解得m2=5或m2= 2 …9分 因为m>2,所以m2=5,所以m=√5，… 10分 则直线1的方程为x=√5y十1，即x一√5y一1=0. 11分 ②由题意可知A(一2,0)，B(2,0), 则直线AC的方程为y=汁十2.直线BD的方程为y一是-2》.…12分 所以=号=Y:-2》_y(my-1）=myy2-y x+2y2(x1+2)y2(my1+3)my1y2+3y2 …13分 因为y1十y2=一 2m m2-4y1y2= 3 m2-4所以myy2= 3(y1+y2) 2 …14分 3(y1+y2） 所以号 2 一y1 2y 2y2 02+3w3分+】 16分 2 所以x=4,则点P在定直线x=4上 17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 ·26-161B·