精品解析：江苏省无锡市羊尖中学2025-2026学年九年级上学期12月限时作业数学试卷

2025年12月初三数学限时练习 一．选择题（30分） 1. 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记角的余弦值． 根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．将代入，再求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 解得：， 故选：A． 3. 若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，由此进行判断即可． 【详解】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离. 4. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的性质对A选项、B选项、C选项进行判断；先利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质对D选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，所以A选项不符合题意； ，所以B选项符合题意； ∵， ∴， ∴平分，所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴，所以D选项不符合题意． 故选：B． 6. 关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是3 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线：，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为3，当时，y随x的增大而减小， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 7. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 8. 如图，分别是的切线，、分别为切点，点是上一点，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理．连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 【详解】解：连接，； ， ， ． 故选：C． 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质，掌握一次函数、二次函数图象与解析式系数的关系是解题的关键． 由一次函数图象不经过第四象限可知，然后根据二次函数的对称轴、开口方向以及一定经过原点即可解答． 【详解】解：∵若一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， 由可得，抛物线开口向上且过原点， ∴抛物线的图象只能是C． 故选C． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二．填空题（24分） 11. 已知，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例，设，则，代入计算即可． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：． 12. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可． 【详解】解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形， 它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为， 它的面积为． 故答案为：． 13. 如图，该图案绕它的中心至少旋转能与自身完全重合，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析图形，周角被平均分成了个角度，因此利用周角平均分成份即为的值． 【详解】解：由题意这个图形是中心旋转图形，， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转角度的计算，关键在于根据图形看出被平分的度数． 14. 冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是___米. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题．在中，已知坡面的坡比是铅直高度和水平宽度的比值，求出，根据勾股定理即可求解的长． 【详解】解：根据题意得：， 解得：（米）． ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的与的部分对应值如下表，则对称轴是直线________． … 0 1 2 3 … … 15 10 7 6 7 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答的关键． 通过观察表格中值相等的点，利用二次函数图象的对称性，对称轴为对应值的平均值． 【详解】解：由表格可知，当时，当时，两点纵坐标相等， 故对称轴为直线， 故答案为：． 16. 若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是______． 【答案】或0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，， ∴，与轴有2个公共点，为或， 综上所述，b的值为或0， 故答案为：或0． 17. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，且连结，并延长交于点，则_________. 【答案】1：8. 【解析】 【分析】先过点D作GD∥EC交AB于G，由平行线分线段成比例可得BG=GE，再根据GD∥EC，得出AE=，最后根据AE：EB=：2EG，即可得出答案． 【详解】过点D作GD∥EC交AB于G， ∵AD是BC边上中线， ∴，即BG=GE， 又∵GD∥EC， ∴， ∴AE=， ∴AE：EB=：2EG=1：8. 故答案为1：8. 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE、EB、EG之间的关系． 18. 如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先取的中点K，连接，作，再结合已知令，根据勾股定理求出，即可得出是等腰直角三角形，可知，然后根据中位线的性质，得，进而求出，最后根据三角形三边关系得出答案即可． 【详解】解：取的中点K，连接，过点A作于点H， ∵， 令， ∵， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴． 由旋转的性质得到， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形三边关系，三角形中位线的性质等，作出辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 三．解答题（96分） 19. 计算 （1）； （2）． 解方程 （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值以及解一元二次方程的方法． （1）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （3）利用公式法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 【详解】解：（1）； （2）； （3）， ， ， ， ∴； （4）， ， 或， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 21. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若函数图象过点，求的值； （2）若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入，解关于a的方程即可； （2）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则有且只有一个实数根，根据求解； （3）先求出对称轴为直线，顶点坐标为，再分与两种情况，根据增减性求出最大值、最小值，根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得； 【小问2详解】 解：若二次函数的图象与轴只有一个交点， 则有且只有一个实数根， ，且， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； 【小问3详解】 解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上， 当时，时取最小值，最小值， 时取最大值，最大值， ， 解得，符合要求； 当时，抛物线开口向下， 当时，时取最大值，最大值， 时取最小值，最小值， ， 解得，符合要求； 综上可知，的值为． 22. 如图，在中，点D，E分别在边上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等边对等角，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角，结合已知条件和等角的补角相等，得到，再根据，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴（负值已舍掉）． 23. 已知中，． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． （1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， 又, ， 即， 是的半径， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解题关键． （1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论； （2）利用相似三角形的判定与性质，求出并得出，进而求出直径，再由勾股定理求出即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 由， 可得， 即， ， ， ， 即， 解得， ． 25. 如图，已知中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）12 【解析】 【分析】（1）①作的平分线与交点即为点，以为圆心，为半径画圆，则与的交点即为切点，根据角平分线的性质定理即可说理； ②过点作的垂线与交点即为点，由垂径定理的推论可得； （2）连接，先导角证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②如图，点即为所求： 【小问2详解】 解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的半径为6， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∵ ∴， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推论，勾股定理，解直角三角形，尺规作图角平分线和垂线等知识点，正确作图是解题的关键． 26. “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 27. 定义：，，是二次函数图象上任意三个不重合的点，若满足，，中任意两数之和大于第三个数，任意两数之差小于第三个数，且，，都大于0，则称函数是上的“仿三角形函数”． （1）①函数的最小值是，最大值是，则______（填写“>”，“<”或“=”）； ②函数______上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”） （2）若二次函数是上的“仿三角形函数”，求的取值范围； （3）若函数在上是“仿三角形函数”，求的取值范围． 【答案】（1）①＜；②不是 （2）0＜a≤或－3≤a＜0 （3）m≤－ 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的性质进行判断即可；②根据“仿三角形函数”定义进行判断即可； （2）首先求出抛物线的对称轴方程，再根据a=0，a>0和a<0三种情况讨论求解即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线对称轴为x=m，再分、、和四种情况分类求解即可． 【小问1详解】 ①∵在的范围内y随x的增大而增大， ∴当时，； 当时， ∴， 故 故答案为：<； ②，不满足“任意两数之和大于第三个数”， 故函数不是上的“仿三角形函数” 【小问2详解】 ∴函数图象的对称轴为： 正面分情况讨论： ①时，不成立，舍去； ②时，y在的范围内y随x的增大而增大， 则， ∵ ∴ ∴ ∴ ③时，y在内y随x的增大而减小 则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴若函数在上是“仿三角形函数”，则a的取值范围为0＜a≤或－3≤a＜0 【小问3详解】 ∴对称轴为x=m 下面分情况讨论： ①当时，y在上随x的增大而增大 则， ∵ ∴ 解得， ∴ ②当时，y在上随x的增大而减小 则， ∵ ∴ 解得，与矛盾，故不成立； ③时，， ∵ ∴ 整理得，，m为任何值时都不成立； ④时，， ∵ ∴ 整理得，，m为任何值时都不成立； 综上所述：若函数y＝x2－2mx在1≤x≤上是“仿三角形函数”时m的取值范围为m≤－ 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要求学生能用二次函数的性质处理复杂数据，这种定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解较为容易． 28. 抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】（1） （2）4， （3）存在，点Q的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入可得： ，解得：， 所以抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M， ∴M的横坐标为，则纵坐标为，即， 设， 如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 综上，点Q的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月初三数学限时练习 一．选择题（30分） 1. 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 3. 若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 6. 关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是3 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，分别是的切线，、分别为切点，点是上一点，且，则为（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（24分） 11. 已知，那么________． 12. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 13. 如图，该图案绕它的中心至少旋转能与自身完全重合，则的值是______． 14. 冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是___米. 15. 二次函数的与的部分对应值如下表，则对称轴是直线________． … 0 1 2 3 … … 15 10 7 6 7 … 16. 若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是______． 17. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，且连结，并延长交于点，则_________. 18. 如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是___________． 三．解答题（96分） 19. 计算 （1）； （2）． 解方程 （3）； （4）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 21. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若函数图象过点，求的值； （2）若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 22. 如图，在中，点D，E分别在边上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知中，． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，若，求的长． 24. 如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，已知中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 26. “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 27. 定义：，，是二次函数图象上任意三个不重合的点，若满足，，中任意两数之和大于第三个数，任意两数之差小于第三个数，且，，都大于0，则称函数是上的“仿三角形函数”． （1）①函数的最小值是，最大值是，则______（填写“>”，“<”或“=”）； ②函数______上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”） （2）若二次函数是上的“仿三角形函数”，求的取值范围； （3）若函数在上是“仿三角形函数”，求的取值范围． 28. 抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $