2026年九年级数学中考总复习：几何动点与函数性质的探究

该初中数学中考复习讲义聚焦“几何动点与函数性质探究”核心专题，覆盖中考动态几何量与函数转化、性质应用等高频考点。以“定轨迹→找关系→建函数→用性质→验范围”为主线，通过动点分类、几何转化方法、函数类型判断梳理知识体系，配合考点梳理、易错点指导、同步真题训练环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性和针对性。 亮点在于融入几何直观、推理意识与模型意识培养，如矩形双动点问题通过分段讨论建立函数模型，强化动态几何量转化推理。特设易错点辨析和分层练习，结合函数图象解决取值范围问题，能在有限时间内提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

几何动点与函数性质的探究 一、核心知识点梳理 （一）专题核心思路 几何动点与函数性质的探究，本质是动态几何量与函数的结合，核心是通过分析动点运动轨迹、几何量（长度、面积、角度、线段比）的变化规律，建立函数解析式，再利用函数性质（增减性、最值、交点）求解问题。解题遵循 “定轨迹→找关系→建函数→用性质→验范围” 的流程，全程紧扣 “动点运动范围” 和 “几何量转化” 两大关键。 （二）动点分类与常见几何背景 动点类型： 单动点：一个动点在直线、线段、射线或几何图形（三角形、四边形、圆）的边上运动； 双动点：两个动点同时运动（同向、异向、同速、异速），需分析两者运动的关联关系； 多动点 / 线动：动点带动线段、图形平移、旋转，需结合图形变换性质转化几何量。 常见几何背景： 三角形（直角三角形、等腰三角形）：侧重边长、面积、高、角度的变化； 四边形（矩形、正方形、平行四边形）：侧重边长、对角线、面积、顶点坐标的变化； 圆：侧重切线、弦长、圆心距、扇形面积的变化（结合圆的性质）。 （三）几何量与函数的转化方法 变量设定：通常设运动时间 t（速度已知时）或动点横坐标 / 纵坐标 x 为自变量，待求几何量（如面积 S、线段长 y）为因变量。 几何量转化技巧： 长度：利用勾股定理、全等三角形、相似三角形、三角函数（直角三角形中）求解； 面积：用割补法（分割为直角三角形、矩形）、公式法（底 × 高 / 2），结合动点位置确定底和高的表达式； 角度 / 线段比：利用相似三角形、三角函数、圆的性质（圆周角定理）转化为边长关系，再建立函数。 函数类型判断： 一次函数：动点引发的几何量随自变量线性变化（如匀速运动中，线段长、三角形面积与时间成一次关系）； 二次函数：几何量随自变量非线性变化（如面积与边长的平方关系、双动点形成的面积最值问题）； 反比例函数：少见，多结合面积固定的几何图形（如固定面积的三角形，底与高成反比例）。 （四）函数性质的核心应用 最值问题：利用二次函数顶点式（y=a(x−h)2+k）求最值，或一次函数在自变量取值范围内的端点最值； 增减性：结合函数增减性判断几何量的变化趋势（如 “当 t 为何范围时，面积随 t 增大而增大”）； 交点问题：通过函数交点求解动点位置（如 “当两个几何图形面积相等时，求动点坐标”）； 取值范围：结合动点运动轨迹（线段端点、图形边界）确定自变量取值范围，舍去不合理解。 （五）易错点辨析（中考高频丢分点） 动点范围遗漏：未明确动点运动的起点、终点，导致自变量取值范围错误，进而影响函数性质应用； 几何量转化失误：误用勾股定理、相似三角形条件，或面积割补时底 / 高对应错误，导致函数解析式列写错误； 函数类型判断偏差：将非线性变化的几何量误判为一次函数，或二次函数配方、顶点计算错误； 忽略分类讨论：双动点运动方向不同、动点在不同边上运动、图形存在多种位置关系时，未分情况讨论； 结果验证缺失：求出解后未代入几何图形验证（如线段长为负、角度超出范围），保留不合理答案。 二、同步练习 1．如图①，在等腰中，，，为上一动点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动，到点处停止运动，连接。设点运动的时间为秒，的面积为，与的面积之比为。 (1) 请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2) 如图②，在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3) 结合函数图象，直接写出时的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过)。 2．如图①，在矩形中，，，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，同时动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，，均停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1) 请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2) 如图②，在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3) 结合函数图象，直接写出时的取值范围．(近似值保留一位小数，误差不超过) 3．如图①，在中，，，。动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止．同时，点从点出发以每秒0.5个单位长度的速度，沿线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动．设点，的运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积比值为． (1) 请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2) 如图②，在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3) 结合函数图象，直接写出时的取值范围．(近似值保留一位小数，误差不超过) 4．如图①，在矩形中，对角线，交于点，，．动点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，动点同时从点出发以相同的速度沿着运动，过点作交于点，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点到的距离与到的距离之和为，与的周长之比为． (1) 请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2) 如图②，在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3) 结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过) 参考答案 1. 解：(1)y1=－x＋12(0≤x≤8)，y2=(0＜x≤8)； (2)画出y1，y2的图象如解图②， 性质：当0≤x≤8时，y1随x的增大而减小， 当0＜x≤8时，y2随x的增大而减小；(答案不唯一，写出一条即可) 第1题解图② (3)由函数图象得，当y1＞y2时，0.7＜x＜7.3.(误差不超过0.2即可) 2. 解：(1)y= 【解法提示】由题意得2x－6=x，解得x=6，∴0≤x≤6，当0≤x＜3时，AQ=x，BP=2x，∴y=BP∙AQ=x∙2x=x2；当3≤x≤6时，AQ=x，AP=2x－6，∴PQ=x－(2x－6)=6－x，∴y=PQ∙AB=×6(6－x)=－3x＋18； ∴y= (2)画出函数图象如解图所示： 第2题解图 当3≤x≤6时，y随x的增大而减小(答案不唯一，合理即可)； (3)由图象可得，当y≤2时x的取值范围是0≤x≤1.4或5.3≤x≤6. 3. 解：(1)y1= y2==== (0＜x＜7)； (2)函数y1，y2的图象如解图②所示； 当0＜x＜4时，y1随x的增大而增大，当4≤x＜7时，y1随x的增大而减小(答案不唯一，合理即可)； 第3题解图② (3)由图可知，当2.6＜x＜6.2时，y1图象在y2图象的上方， ∴当y1＞y2时x的取值范围为2.6＜x＜6.2. 4. 解：(1)y1= y2=(0＜x＜6)； (2)画函数y1，y2的图象如解图③； 第4题解图③ 当0＜x＜6时，y2随着x的增大而减小(答案不唯一，合理即可)； (3)0＜x＜1.0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $