2026年九年级数学中考总复习：反比例函数图象及性质

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数专题，覆盖定义、图象性质、k的几何意义、与一次函数综合等中考核心考点，构建了“核心知识点系统梳理—易错点精准辨析—分层同步练习”的复习框架，通过考点梳理建立知识网络，方法指导突破增减性、k几何意义等难点，真题训练强化实战能力。 亮点在于“易错点靶向突破”和“分层递进训练”，如针对增减性跨象限误用，通过对比x=-1与x=1时y值变化，培养学生数学思维中的推理意识。设置基础、中档、提升三级练习，结合k几何意义面积推导等几何直观训练，配合规范步骤指导，帮助学生高效掌握考点，教师可据此把控复习节奏，实现精准提升。

反比例函数的图象及性质 一、核心知识点梳理 （一）定义与解析式（中考基础考点） 反比例函数定义：一般地，形如 y=（k 为常数，且 k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可表示为 xy=k（k k≠0）或 y=kx−1（ k≠0），自变量 x 的次数为 −1。 自变量与因变量取值范围：自变量 x≠0，因变量 y≠0；若涉及实际问题（如路程、工作效率、浓度等），需结合实际意义限定取值（如 x>0，保证长度、时间为正）。 解析式核心：只有一个待定系数 k，因此只需一个已知点的坐标，即可用待定系数法求出解析式。 （二）图象与画法 图象形状：反比例函数的图象是双曲线，由两支独立的曲线组成，且图象关于原点成中心对称，关于直线 y=x 和 y=−x 成轴对称。 图象分布与 k 的符号关系（中考高频）： 当 k>0 时，双曲线的两支分别在第一、三象限； 当 k<0 时，双曲线的两支分别在第二、四象限； 双曲线永远不会与 x 轴、y 轴相交（因为 x≠0、 y≠0），坐标轴是双曲线的渐近线。 描点法画图步骤：① 确定自变量取值范围（分正、负两部分，如 x>0 和 x<0）；② 在每部分选取若干对称点（如 x=1,2,3 和 x=−1,−2,−3），计算对应 y 值；③ 分别在对应象限内描点，用平滑曲线连接（注意两支曲线不相连，且靠近坐标轴但不相交）。 （三）核心性质（围绕 k 的意义） 增减性（中考核心考点，易出错）： 当 k>0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小（注意：不能说 “整个定义域内 y 随 x 增大而减小”，跨象限不适用）； 当 k<0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（同理，跨象限不适用增减性） k 的几何意义（中考高频中档考点）： 过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积等于 ∣k∣； 过双曲线上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积等于； 若双曲线上两点关于原点对称，过两点分别作坐标轴垂线，形成的图形面积仍与 ∣k∣ 相关（可推导为 2∣k∣ 等，需结合图形）。 图象的对称性应用： 若点 (a,b) 在反比例函数图象上，则点 (−a,−b)（关于原点对称）、(b,a)（关于 y=x 对称）、(−b,−a)（关于 y=−x 对称）也在该图象上。 （四）解析式求解（待定系数法） 核心思路：双曲线上任意一点的坐标满足 xy=k，代入点的坐标即可求出 k 的值，进而确定解析式。 规范步骤：① 设反比例函数解析式为y=（k 为常数，且 k≠0）；② 代入已知点 ；③ 将 k 代入解析式，写出最终表达式（可验证另一点是否在图象上）。 （五）与一次函数的综合（中考中档偏上考点） 交点求解：联立一次函数 y=ax+b与反比例函数=（k 为常数，且 k≠0）的解析式，消去 y 得一元二次方程 ax2+bx−k=0，交点个数由根的判别式 Δ=b2+4ak 决定： Δ>0：两函数图象有 2 个不同交点； Δ=0：两函数图象有 1 个交点（相切）； Δ<0：两函数图象无交点。 面积与不等式问题：结合一次函数与反比例函数的图象，求围成图形的面积（常用割补法），或根据图象上下位置确定不等式 ax+b>（或 ax+b<）的解集。 二、易错点辨析（中考高频易错，规避丢分） 忽视k≠0 前提：判断函数类型时，忘记k≠0，误将 k=0 的情况归为反比例函数（此时 y=0 是常数函数）。 增减性表述错误：省略 “在每个象限内”，直接说 “k>0 时 y 随 x 增大而减小”，忽略跨象限增减性不成立（如 k>0 时，x=−1 对应 y=−k，x=1 对应 y=k，x 增大但 y 增大）。 k 的几何意义误用：计算面积时忘记加绝对值（k 为负时面积仍为正），或混淆矩形、三角形面积公式（如将三角形面积算成 ∣k∣）。 图象理解误区：认为双曲线会与坐标轴相交，或两支曲线可以连接；忽略反比例函数图象的对称性，无法利用对称点快速解题。 综合题联立失误：联立一次函数与反比例函数时，消元出错，或判断交点个数时误用判别式（未整理为一元二次方程形式）。 实际问题取值范围遗漏：解决实际问题时，只考虑函数本身 x≠0，未结合题意限定 x 的正、负或具体区间（如工作时间 x>0）。 三、同步练习（贴合中考难度梯度，可直接复制） （一）基础题（中考基础题型，难度低） 1、下列函数中，是反比例函数的是（ ）A. y=3x+1 B. y=​ C. y=x3​ D. y=3x2（答案：B） 2、反比例函数 y=的图象分布在（ ）A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限（答案：B） 3、已知点 (2,3) 在反比例函数 y=​ 的图象上，则 k= ______（答案：6） 4、反比例函数 y=−，在每个象限内，y 随 x 的增大而 ______（答案：增大） 过反比例函数 y=（k>0）图象上一点作 x 轴垂线，所得三角形面积为 2，则 k= ______（答案：4） （二）中档题（中考核心题型，难度中等） 5、已知反比例函数 y= 的图象经过点 (−1,4)，求该函数解析式，并判断点 (2,−2) 是否在图象上。（答案：y=−​；点 (2,−2) 在图象上） 6、反比例函数 y= 与一次函数 y=x+1 相交于 A、B 两点，求 A、B 两点的坐标。（答案：A(2,3)、B(−3,−2)） 7、如图，反比例函数 y= 的图象过点 A(3,2)，过点 A 作 轴于点 B，求 △AOB（O 为原点）的面积及 k 的值。（答案：面积为 3；k=6） 8、已知反比例函数 y=（k≠0），若在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围，并写出一个符合条件的函数解析式。（答案：k>0，答案不唯一） （三）提升题（中考中档偏上题型，综合应用） 9、已知一次函数 y=ax+b（a≠0）与反比例函数 y= 的图象交于 A(1,m)、B(n,2) 两点，求一次函数解析式，并求 △AOB 的面积。（答案：一次函数解析式为 y=2x+2；△AOB 面积为 3） 10、某车间加工一批零件，工作效率 v（个 / 小时）与工作时间 t（小时）满足反比例函数关系，当 v=20 时，t=15。① 求 v 与 t 的函数解析式；② 若要求工作时间不超过 10 小时，求工作效率的最小值。（答案：① v=t300​；② 工作效率最小值为 30 个 / 小时） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $