2026年九年级数学中考总复习：反比例函数图象及性质

反比例函数的图象及性质

一、核心知识点梳理

（一）定义与解析式（中考基础考点）

反比例函数定义：一般地，形如 y=（k 为常数，且 k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可表示为 xy=k（k k≠0）或 y=kx−1（ k≠0），自变量 x 的次数为 −1。

自变量与因变量取值范围：自变量 x≠0，因变量 y≠0；若涉及实际问题（如路程、工作效率、浓度等），需结合实际意义限定取值（如 x>0，保证长度、时间为正）。

解析式核心：只有一个待定系数 k，因此只需一个已知点的坐标，即可用待定系数法求出解析式。

（二）图象与画法

图象形状：反比例函数的图象是双曲线，由两支独立的曲线组成，且图象关于原点成中心对称，关于直线 y=x 和 y=−x 成轴对称。

图象分布与 k 的符号关系（中考高频）：

当 k>0 时，双曲线的两支分别在第一、三象限；

当 k<0 时，双曲线的两支分别在第二、四象限；

双曲线永远不会与 x 轴、y 轴相交（因为 x≠0、 y≠0），坐标轴是双曲线的渐近线。

描点法画图步骤：① 确定自变量取值范围（分正、负两部分，如 x>0 和 x<0）；② 在每部分选取若干对称点（如 x=1,2,3 和 x=−1,−2,−3），计算对应 y 值；③ 分别在对应象限内描点，用平滑曲线连接（注意两支曲线不相连，且靠近坐标轴但不相交）。

（三）核心性质（围绕 k 的意义）

增减性（中考核心考点，易出错）：

当 k>0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小（注意：不能说 “整个定义域内 y 随 x 增大而减小”，跨象限不适用）；

当 k<0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（同理，跨象限不适用增减性）

k 的几何意义（中考高频中档考点）：

过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积等于 ∣k∣；

过双曲线上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积等于；

若双曲线上两点关于原点对称，过两点分别作坐标轴垂线，形成的图形面积仍与 ∣k∣ 相关（可推导为 2∣k∣ 等，需结合图形）。

图象的对称性应用：

若点 (a,b) 在反比例函数图象上，则点 (−a,−b)（关于原点对称）、(b,a)（关于 y=x 对称）、(−b,−a)（关于 y=−x 对称）也在该图象上。