广东省汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期棉城中学高三级期中考试 数学科试题（满分150分） 考试时间：120分钟 第T卷（选择题） 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有·个选项是符合 题月要求的 1.L知集合A=xx2<4,集合B={0,l2,划4nB=(▲) A.0} B. C.0 D.{0.1,2 2.心知复数？满见i·z=31i(其中i为难数单位)，则Σ=（▲） A.13i D.1+3i C.3-i D.3+i 3.2024年10月30日中国神舟「九号载人飞斯成功发射，为了名扬航大人顽饼拼写的精神，某被航大课外 小组举行了一次航大知识竞赛，随机拉报铁行了6名同学的分数（调分30分）分别为：22,24,26,26， 28,30,关于这细数这，下列说法俏沃的壮（▲） A.极关为8D.平均数为26C.众数为26 D.80%分位数为27 4.若角a的终边经过点(-3，-1)，则sin2a=(▲) B.3 5 c D 5.1图，Y行四边形)(“是巾斜二测凹法行到的水Y放置的四边形OABC的直就图，OC=4,OA=6, y 则四边形OAB(的面积S=(▲) B Λ.46 B.85 C.86 D.166 6.已知停关数列{a,}的首项412，公六d12,在{a}中每相邻两项之问都插入3个数，组成·个新的停 差数列b}，如b=(▲) A.4n-2 B.3-1 .3n 1D.2n+1 7.心知向量à，6调6=4，=2，a马6的夹师为5，则-（▲) A.2B.4 C.25 D.25 编1页其3页 8.心知函数问21>0，并函数8倒=树m有3个零点，划实数m的取值范四是（▲） -x2-2x,x<0 A.0 (c.0.1 D.(0,1) :、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给山的选项中，有多项符合题月要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列运劳正酰竹共（▲） A.lg5+lg2=1B.3x-3πC.em=πD.1og3×log2=1 10.下列说法中正雄的（▲） A.两数f)=x22x12的值域为，+) H.函数/()=e143的零点防在送四列》 C.函数f(x)e与g(x)hx互为反函数 D.函数f(x)=F马函数g(x)=F为同一函数 第TT卷（非选择题） 、填空邀：木题共3小题，每小题5分，共计15分 11.1图，止方体BD-4D的楼长为1，正是D)的中点，则（▲） A.B,C⊥BD A D.三棱锥G-B的休积为匀 C.-楼锥G-B(D的外接球的表面积为3π D.出B1,C,E二点酰定的平与正方体相交形成 的做面岗长为55 2 2， 12.已知函数f(x)= +周a小阳 13.在(2x11)(3x2)的版开式小，含x的项的系数是▲·（请用且体数字作答） 14.若动点M到定点F(2025,0)的面离与它到i线x+2y-2025=0的所离川倍，则动点M的轨迹共什么？ 某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线离相等的点的轨迹是倒物线” 巾此判断动点过的轨迹是抛物线 请问该学牛的判断共否正确：▲（填“正确”城错买”），点过的轨迹方种足： 弟2页其3页 四、解答邀：木趣共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.在△13，负A,B,(C的对边分则为a,b,c,Hb21ac=a21c2,simA2sinC (I)求角B的大小：2)若6=25，求△BC的积 16.设函数f(x)=x1 (1)判断函数f(x)的奇得性诉证明；(2)用单调性定义证明：函数f(x)在(2，心)上巾讨递增。 17.如阁，在四棱锥PACD中，PD1平1A3D,四边形ABD为角梯形，/DC90, AB=AD=PD=3,H DC=24B.2 ()证明：AD⊥半面PD(C; (2)求平而B)与平PBC夹角的余弦值 .........C 18,某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考牛设宣两项能力测试：学科知识整合 能力指协x(考察数学、物吐等学科灿识的交叉应川)和创新思推能力指林y(考然逻辑推琪， 问题娃模等能力)随机抽吸5名考牛的测试绌果如表： x689112 ()若学科知识整合能力指协的平均值x=9, y23456 (i)求r的值： ()求y关于x的经验同门方样方x+à，并估计学科知识整合能力指标为14时的剑新思维能力指标： x心可 (附：经验刨山方程y=x1à中b和a的最小二乘估计分别为 (s 1 La=y bx (2)现有甲、乙两所试点六被的城某川划笔试环背均设置了一门独立考试科山，每门科山通过情况相互独立： 2 屮尚校：每门科山通过的做*均为，通科山数记为随机安量水 乙尚校：苏一门科山通过模半为}苏二门科山通过瓶*为}苏-门科山通过微半为号， 证过科山数记为随机变量Y: 若以馆试本背证过科山数的明州为决策依买，分考生应选择报考哪所尚校 19.L心知双出线C:x2 京=16>0)的左顶点为M,离心*为3，小、B是C上的两点 ()求（的标准方程。 18 (②)若线段B的点为行》求直线B的方程： (3)若A.B=0(M不在直线AB上)，证引：直线AB过定点 编3页其3页 2025-2026学年度第一学期棉城中学高三级数学科期中考试题 参考答案与评分标准 题号1234567891011 答案C BDA C B C D ACD ABC ACD 1.C【详解】由A={x2<4}={x-2<x<2},又B={0,12},∴AnB={0,1}.选：C. 2.B【详解】正=3+i,:-3+1B+ii-1+i-上3，=1+31选：B 2 1 3.D【详解】极差为30-22=8，众数为26，∴.A,C正确： 平均数为后(22+24+26+26+28+30)=26，B正确： 又：6×80%=4.8,80%分位数为第5位数，即为28，D错误：∴选：D. 4.A【详解】由题意得角α的终边经过点(-3，-I), -1 -3 结合任意角三角函数的定义得sina= s-30 V-12+(-3}2 10,cosa=_ -2+(-3)7 10 由二倍角公式得sim2a=2x而) )约×-3W10)=3,A正确.·选：A 10 5.C【详解】：四边形OAB'C'是平行四边形，且OC=4,OA=V6, 三平行四边形面积S=0Cx0A×sin45=4x6x545 2 根据直观图与原图面积关系S属=2√2Sm,∴.S=2W2Sa=2迈×45=86.∴选：C 6.B【详解】设b,}公差为d,则6=2，d=-2=3,b=2+3a-l)=3n-1.选：B 44 7.C【详解】法-：a-=+-2a.6=16+4-2x4×2×=12,即a-=25: 法二：由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若a=AC,AC=4,万=AB,AB=2,∠A=60,则∠B=90°，a-b=BC ∴a-=4-22=25∴选：C. 8.DI详解】，函数g(x)=f(x)-m有3个零点，∴.g(x)=f(x)-m=0 有三个实根，即直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点.作 3 出函数y=∫(x)图象，由图可知， 实数m的取值范围是(0,1). 选：D. 0123 9.ACD【详解】对于A:lg5+lg2=lgl0=1,A选项正确： 对于B:V3-π)'=3-=π-3，B选项错误： 对于C:。=,C选项正确：对于D:1og,3x1og,2=g×g=l,D选项正确：六选：ACD lg2Ig3 10.ABC【详解】A选项：函数y=x2-2x+2=(x-1)+1,当x=1时，y取最小值为1，.函 数y=x2-2x+2的值域为1，+o),A选项正确： 答案第1页，共5页 B选项：函数f(x)=e+4x-3在R上单调递增，∴函数f(x)=e+4x-3至多有一个零点，且 得}+4好3=-2<0，付)=+4片3e-10,其零点所在区间为》 B选项正确： C选项：f(x)=e,即y=e,可得x=lny,∴.函数f(x)=e与函数g(x)=lnx互为反函数，C 选项正确： D选项：函数f(x)=F与函数g(x)=F的定义域均为R,f(x)=F=H,g(x)=F=x, 不为同一函数，D选项错误：∴选：ABC 11.ACD【详解】对于A,:B,C⊥BC,BC⊥CD,BC∩CD=C, BCc平面BCD,CDc平面BCD,.B,C⊥平面BCD, 又BD,C平面BCD,·B,C⊥BD,∴A正确： 对于三楼锥C-ACE的体积m=甘1-名 =6,·B错误： 对于C,三棱锥C,-B,CD的外接球等价于正方体外接球，设其半径为R,其直径等于正方体 体对角线长：2R-V5x1=V5,则所求外接球的表面积为4R=4红×(=3，C正确 对于D,如图，过B,C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形BCEF, F为4D的中点（平行则四点共面），“等腰梯形BCEF周长为5+3Y ,D正确选：ACD 2 12.}【详解】：2)-1og,2+7)-2,f-2)=22=号 Γ41 (-2列+2)-}答案为号 13.24 【详解】(3x-2)展开式的通项为 T=C(3x)(-2(re{0,12,3,4). ∴.(2x+1)(3x-2)展开式中含x2的项为 2x.C(3x)(-2)°+C(3x)(-2)=24x2, ∴.(2x+)(3x-2)展开式中x2的系数为24，∴答案为：24 14.错误2x-y-4050=0 【详解】空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的 轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线题设中“某学生”的解答依据忽视了“定 直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误 空二：法-：设点M(s川，由题意得：Nx-2025)+y=上+2-202 VP+22 两边平方整理得4(x-2025)°-4(x-2025)y+y2=0,即：[2(x-2025)-y]=0,·.2x-y-4050=0, ∴点M的轨迹是一条直线，该直线方程为2x-y-4050=0 法二：作出图形可知，直线x+2y-2025=0过点(2025,0)， ∴.可得点M的轨迹是一条经过F(2025,0)且与x+2y-2025=0垂直的一条， 直线.∴.M的轨迹为y-0=2(x-2025),化简，得2x-y-4050=0 答案第2页，共5页 15.【详解】0①公+c=口+C△BC中，由余弦定理得6osB.产+仁-公.}3分 0<Bc元，…4分 (2)nA=2snC,出正弦定理a=C得a=2c…7分【定理1分+结果1分】 sind sinc 且b=2W5,代入b2+ac=a2+c2得25+2c2=(2c+c2 解得2=4.C=2。a=2c=4 一11分【关键步骤结果正确，步骤少量缺失不扣分)】 △1Bc的面积Sc-acsin-25 …13分【列式1分+结果1分】 16.【单解】(1)()为奇函数 。。。。。 …1分【不写要扣分】 证明：易知f八)的定义城{xx0,关于琼点对称…3分【不写对称不扣分】 且/(-x+手x+之=-)六)为奇函数…7分 (2)证明：任取x与∈亿+∞)月x<写9分则无-无<0环>4…11分 =G-)5(6-4<0 14分 ()<(飞).∴函数fx)在（亿+）上单调递增 …15分 17.【详解】(1)PD⊥平面BCD,4Dc平面ABCD,则4DPD1分 2). 4D1平面PDC DP 垂自 D DP所在直线分别》 建立如图所示的空间直角坐标系 5分【不作图扣分 AB=AD=PD=3.DC =248.CE=2EP. B(3.3.0).C0.6,0)、D(0.0.0)、P(0.0.3).E(0.2,2). DB=(330),DE=(022).CP=(06,3).CB=(3-3.0) *7分 设平面DE的法向量为m=(任，y,),设平面PBC的法向量为示=任》，) m.D8=3江，+3别，=0 4中中*4*9分 m-DE=2y,+2,=0 ,取，=1，可得m=1,-1) n.C乎=-61+31=0 取x=1.可得元=(112) …11分 元：C=3x-3y2=0 设所求夹角为0，则eos0-如s领训园同万x6兮 m用 2 …14分 :平面D与平面P8C夹角的余值为 …15分 3 答案第3页，共5页 18.【详解】（1)0)由表格数据可得x-6+8+9+1+12=9,解得1=10.…2分 5 (i) 2s-0-列142x-=20 6= x-0-列407 …4分 -刘引 20 a=4-9x0.7=-2.3…5分 ∴.所求经验回归方程为v=0.7x-2.3 …6分 当x=14时，y=0.7×14-23=7.5 …7分 ∴.当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5： …8分 2)该考生通过甲高校的考试科目数为水则X一B3, …9分 则E(X)=3×2-6-72 … …10分 5560 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3…11分 P-----引 w----引-引-》号9 11 、1)2.1129 pY=3)=2x4324 1122 …15分【每个概率1分】 六0=02 9 2_17_85,72=E(X) 10+2×24+3×24-126060 …16分 ∴该考生更应报考乙高校 ……17分 19.【详解】(D女a=l,e=后+2 =V1+6=3 …2分 ÷6=8,C的标准方程为x2-上=1 …4分 8 (2)设A(,),B(x2,y2),根据题意易得x≠x2. -=1 A,B是C上的两点， 8 …5分 两式相减得-5-广：上=0，即当-业=8任+5】 …6分 8 x-2乃+y2 :AB中点为77》 18 2 16 ,+西=气当+为=气 …7分 …8分 :直线B的方程为y-号-x-宁即xy+1=0 8 …9分 经检验，此时直线AB与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线AB的方程为x-y+1=0. …10分 答案第4页，共5页 (3)证明：依题意可设直线AB的方程为x=+n 由得ry+16+灯gD …11分 x=ty+n 则*=二A>0 16nt M(-1,0),由(2)知MA=(x+1,y)=,+n+1,y1),MB=(x2+1,2)=2+n+1,y2) :M4.MB=0,∴.(y+n+1)(y2+n+1)+yy=0 即(+1)yy2+t(n+1)(g+2)+(n+1=0 …13分 f++a+}e+=0 即(2+1)(8n2-8)-162n(n+1)+(82-1)(n+1)=0,得7m2-2m-9=0,解得n=号或-1. …15分 当n=-1时，直线AB:x=y-1,直线AB过点M(-l,0),不符合题意，舍去； 当n=号时，直线4：=+号满足△>0，则直线B过定点（号0 9 直线B过定点号) …17分 答案第5页，共5页