2026年九年级数学中考总复习：函数的应用

函数的应用 一、核心知识点梳理 （一）函数应用核心思路（中考通用） 解题步骤：① 审题：梳理题干中的数量关系，区分自变量、因变量，明确已知条件和所求问题；② 建模：根据数量关系确定函数类型（一次、二次、反比例），设出变量，列出函数解析式；③ 定范围：结合实际意义限定自变量取值范围（如长度、时间、人数为正，取值区间等）；④ 求解：利用函数性质、方程或不等式求解，结合取值范围验证结果合理性；⑤ 作答：规范写出答案，贴合题干问题要求。 核心原则：数形结合（结合函数图象分析最值、交点、解集）、实际意义优先（自变量和因变量需符合现实逻辑，舍去不合理解）。 （二）一次函数的实际应用（中考基础高频） 常见场景：行程问题（匀速运动）、工程问题（匀速做工）、计费问题（分段计费、阶梯价）、销售问题（线性销量与售价）、调配问题等。 关键要点：① 一次函数 y=kx+b 中，k 表示 “单位变化量”（如速度、单价、效率），b 表示 “初始量”（如初始距离、基础费用）；② 分段计费问题需分区间列解析式，注意区间端点的归属（含等号与否）。 （三）二次函数的实际应用（中考核心难点） 常见场景：利润问题（最大利润）、面积问题（最大 / 最小面积）、高度问题（抛射体运动）、产量问题（最优产量）等。 关键要点：① 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的最值是核心，需结合自变量取值范围判断：若顶点在取值范围内，最值为顶点纵坐标；若顶点在范围外，最值在区间端点处；② 利润问题公式：总利润 = （单价 - 成本）× 销售量，需先建立销售量与单价的函数关系，再推导总利润解析式。 举例：利润问题中，设售价为 x，成本为 m，销量 y=kx+b，则总利润 W=(x−m)(kx+b)，整理为二次函数形式求最值。 （四）反比例函数的实际应用（中考基础中档） 常见场景：工作效率问题（工作量固定）、浓度问题（溶质固定）、行程问题（路程固定）、压强问题（压力固定）等。 关键要点：反比例函数 y=（k≠0）中，k=xy 表示 “固定总量”（如总工作量、总溶质、总路程）；② 自变量需满足实际意义（如效率、浓度为正），图象仅取第一象限（或对应正半轴）的一支。 （五）函数与几何的综合应用（中考中档偏上） 常见场景：函数图象与三角形、四边形的面积计算，动态几何中的函数关系（如动点坐标与线段长度、面积的函数），函数与几何图形的交点问题。 关键要点：① 利用坐标法求几何图形顶点坐标，再结合函数解析式推导关系；② 动态问题需分阶段讨论（如动点在不同边上运动），确定每个阶段的自变量范围和函数解析式；③ 面积计算常用割补法（分割为直角三角形、矩形），结合函数图象上的点坐标求解。 二、易错点辨析（中考高频易错，规避丢分） 自变量取值范围遗漏：仅关注函数本身定义域，忽略实际意义（如时间 t>0、人数为正整数、售价不低于成本），导致结果不合理。 二次函数最值判断错误：默认顶点为最值点，未结合自变量取值范围验证（如自变量范围在对称轴左侧，最值在右端点）。 分段函数端点处理失误：分段计费、动态问题中，区间端点重复计算或漏算（如 x=a 归为前一段还是后一段），导致解析式与实际不符。 函数类型判断错误：混淆一次、二次、反比例函数的适用场景（如销量与售价非线性关系误判为一次函数）。 几何综合题建模困难：无法将几何量（长度、面积）转化为坐标与函数的关系，或割补法使用不当，导致面积计算错误。 结果验证缺失：求出解后未代入实际场景验证（如利润为负、面积为负），保留不合理答案。 三、同步练习 1．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得。实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系。下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为( ) 水的质量 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 0.5 1 2 4 5 A. B. C. D. 2．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是( ) A. B. C. D. 3．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将会爆炸，为了安全，气球的体积应该( ) A. 不小于 B. 小于 C. 不大于 D. 小于 4．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的。胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度成正比，即，其中为常数，是弹簧的劲度系数；质量为的物体重力为，其中为常数。如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为。在其弹性限度内：当所挂物体的质量为时，弹簧长度为，那么，当弹簧长度为时，所挂物体的质量为 。 5．已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家。小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家。下面图中表示时间，表示离家的距离。图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系。 请根据相关信息，回答下列问题： (Ⅰ) ① 填表： 小华离开家的时间／ 1 6 18 50 小华离家的距离／ _____ 0.6 _____ _____ ② 填空：小华从公园返回家的速度为_____ ； ③ 当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (Ⅱ) 若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园。在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围(直接写出结果即可)。 6．某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1) 设该款巴小虎吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______________件； (2) 为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？ (3) 文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 参考答案 1. C　【解析】通过观察表格数据可知：=，故y与x之间的函数关系式为y=x. 2. B　【解析】由题意知求水流喷出的最大高度，即为求抛物线的最高点的纵坐标.∵==2.75，∴水流喷出的最大高度是2.75 m. 3. A　【解析】根据题意可设p=(V＞0)，由题图可知，当V=1.6时，p=60，∴把点(1.6，60)的坐标代入得60=，解得k=96，∴p=(V＞0)，当p=120时，V==，为了安全起见，气球内的气压应不大于120 kPa，∴V≥. 4. 0.8　【解析】将F=0.5g，x=6.5－6=0.5代入F=kx，得0.5g=0.5k，解得k=g，∴F与x的函数关系式为F=gx，将x=6.8－6=0.8，F=mg代入F=gx，得mg=0.8g，解得m=0.8，∴当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为 0.8 kg. 5. 解：(Ⅰ)①0.1，0.6，1.8； 【解法提示】由图象可知，小华从家到书店的速度为0.6÷6=0.1(km/min)， ∴当小华离开家1 min时，离家的距离为0.1×1=0.1 (km)；由图象可知，当小华离开家18 min时，离家的距离为0.6 km；由图象可知，当小华离开家50 min时，离家的距离为1.8 km. ②0.12； 【解法提示】小华从公园返回家的速度为=0.12(km/min). ③当0≤x≤6时，y=0.1x；当6＜x≤18时，y=0.6；当18＜x≤30时，y=0.1x－1.2； 【解法提示】当0≤x≤6时，设y关于x的函数解析式为y=k1x(k1≠0)，把(6，0.6)代入，得0.6=6k1， 解得k1=0.1，∴y=0.1x；当6＜x≤18时，y=0.6；当18＜x≤30时，设y关于x的函数解析式为y=kx＋b(k≠0)，把(18，0.6)和(30，1.8)代入，得解得 ∴y=0.1x－1.2. (Ⅱ)12＜x＜24. 【解法提示】小华妈妈到达公园的时间为=36(min)，设y2=k2x(k2≠0)，将点(36，1.8)代入解得k2=0.05，∴y2=0.05x，当0≤x≤6时，若y1＜y2，则0.1x＜0.05x，无解；当6＜x≤18时，若y1＜y2，则0.6＜0.05x，解得12＜x≤18；当18＜x≤30时，若y1＜y2，则0.1x－1.2＜0.05x，解得18＜x＜24；当30＜x≤36时，若y1＜y2，则1.8＜0.05x，解得x＞36(舍去).综上所述，12＜x＜24. 6. 解：(1)(60＋10x)； (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：(40－30－x)(60＋10x)=630， 整理可得：x2－4x＋3=0， 解得x1=1，x2=3， ∵要让利于游客，x=1舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； (3)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W=(40－30－x)(60＋10x) =(10－x)(60＋10x) =－10x2＋40x＋600 =－10(x－2)2＋640. ∵－10＜0， ∴当x=2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元. 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $