精品解析：福建省 福建省宁德第一中学2025-2026学年九年级数学上学期第二次月考试题

宁德一中2025-2026学年（上） 九年级适应性练习 （答卷时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（共10题，每题4分，共40分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 3. 斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△ABC与△DEF的面积比是（ ） A. 9：4 B. 5：2 C. 5：3 D. 3：2 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 9. 函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 抛物线y=-2(x-1)2-5的顶点坐标为________． 12. 数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表： 累计抛掷次数 100 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1 238 1 854 3 090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为_______（精确到0.01）． 13. 如图，在中，，，，则的长为______． 14. 如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为______． 15. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 16. 如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为 _____． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程或计算： （1）． （2）． 18. 如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 19. 为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题： 成绩等级 频数 A 24 B 10 成绩等级C x D 2 合计 y 成绩等级扇形统计图 （1）__________，__________； （2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三人中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到乙、丙两人的概率. 20. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（结果保留根号） 21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径． 22. 如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． 信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为． 图③ （1）该容器内氧气的质量为________． （2）求容器内氧气的密度关于体积V的函数解析式． （3）若该容器的体积V为，求氧气的密度． 23. 某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个． （1）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利10000元； （2）物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 24. 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）若，求的长； （2）如图2，在中，，为外一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； （3）如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，求线段，，之间满足的等量关系为___________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点.点是轴下方的抛物线上一动点（包含点,）．作直线，若过点作轴的垂线，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点运动的过程中，请求出面积的最大值及此时点的坐标； （3）在点运动的过程中，是否存在点，使是等腰三角形．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德一中2025-2026学年（上） 九年级适应性练习 （答卷时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（共10题，每题4分，共40分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：Ｂ． 2. 计算的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值的计算，把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 3. 斗拱是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．左视图：从左面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，即可． 【详解】解：斗形构件“三才升”的左视图为： 故选：A． 4. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一个月的进馆人次及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 5. 已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， 点A到对称轴的距离为， 点B到对称轴的距离为， 点C到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大． 6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△ABC与△DEF的面积比是（ ） A. 9：4 B. 5：2 C. 5：3 D. 3：2 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∴ ∵BO：OE＝3：2， ∴ ∴（）2＝， 即△ABC与△DEF的面积比是：9：4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8. 已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数图象经过第二象限，得出，求出范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二象限， ， 得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的性质，列出关于的不等式，是解题的关键． 9. 函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意． B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意． C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意． D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 10. 如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，求其他不规则图形的面积，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形的性质，利用同底等高的两个三角形面积相等将阴影部分的面积转化为扇形面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 抛物线y=-2(x-1)2-5的顶点坐标为________． 【答案】（1，-5） 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线y=-2(x-1)2-5的顶点坐标是（1，-5）． 故答案为：（1，-5）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 12. 数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表： 累计抛掷次数 100 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1 238 1 854 3 090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为_______（精确到0.01）． 【答案】0.62 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率．熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． 根据表格中的数据可知，盖面朝上频率在0.62左右波动，据此可得出结论． 【详解】解：∵大量重复实验时，“盖面朝上”的频率在0.62左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.62． 故答案为：0.62． 13. 如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理．利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 14. 如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 15. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则， 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为： 16. 如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为 _____． 【答案】-1##-1+ 【解析】 【分析】连接AF，证明∠AFD＝90°，则有F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，采用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在， ∴A＝AB， ∴A＝AD， ∵F为D的中点， ∴AF⊥D， ∴∠AFD＝90°， ∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值， ∵DG＝AD＝1，CD＝2， ∴， ∴． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、折叠的性质以及圆的相关知识，根据∠AFD＝90°，判断点F在以AD为直径的圆上，是解答本题的关键． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程或计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解： 或 解得； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的判定是解题关键．利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可． 【详解】略． 19. 为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题： 成绩等级 频数 A 24 B 10 成绩等级C x D 2 合计 y 成绩等级扇形统计图 （1）__________，__________； （2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三人中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到乙、丙两人的概率. 【答案】（1）4，40； （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，以及扇形统计图：条形统计图和扇形统计图信息关联： （1）先求出总人数40人，再减去成绩等级A、B、D、的频数，即可作答． （2）先画出树状图，共有6种等可能的结果，抽取到乙、丙的结果有2种，即可作答． 【小问1详解】 解：总人数：（人） 则成绩等级C的频数：（人） 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果：（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，甲）、（乙，丙）、（丙，甲）、（丙，乙）， 其中抽取到乙、丙的结果有2种， （同时抽到乙、丙两名学生）. 20. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（结果保留根号） 【答案】27米 【解析】 【分析】设，根据tan即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中， ， 解得， ， 答：CD的高度为27米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题关键． 21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径． 【答案】该桨轮船的轮子直径为10m 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，本题先表示m，求解m，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：设半径为rm，则m， ∴m． ∵m，， ∴m． 在中有，即， 解得m 则该桨轮船的轮子直径为10m． 22. 如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． 信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为． 图③ （1）该容器内氧气的质量为________． （2）求容器内氧气的密度关于体积V的函数解析式． （3）若该容器的体积V为，求氧气的密度． 【答案】（1）8 （2） （3）氧气的密度为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【小问1详解】 解：， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． 【小问3详解】 解：该容器的体积V为， ． 答：氧气的密度为． 23. 某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个． （1）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利10000元； （2）物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）80元或50元 （2）x=60时w最大，为12000 【解析】 【分析】（1）设该商品的销售单价x元，可得方程（x－30）[600－10（x－40）]=10000，即可得到结论； （2）根据题意列出函数解析式，由二次函数性质可得结论． 【小问1详解】 解：设该商品的销售单价x元， 根据题意得：（x－30）[600－10（x－40）]=10000， 解得：=80，=50， 答：该商品的销售单价是80元或50元时，商家每天获利10000元； 【小问2详解】 根据题意得： w=（x－30）[600－10（x－40）] ， ∵－10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=65， ∵销售单价不低于40元，且不高于60元， ∴当x=60时，w最大，最大值为w＝12000， ∴商品的销售单价定为60元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大，最大利润是12000元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 24. 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）若，求的长； （2）如图2，在中，，为外一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； （3）如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，求线段，，之间满足的等量关系为___________． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 如图2，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接， 同（1）的方法得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， 即； （3） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线和正确推理是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到条件证明，则，，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案； （2）将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，同（1）的方法得，，则，求出，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案； （3）过点作交的延长线于，证明，根据勾股定理得，连接，证明，得到，则，证明，得到，则，根据勾股定理得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， 连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 则， ∴． 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点.点是轴下方的抛物线上一动点（包含点,）．作直线，若过点作轴的垂线，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点运动的过程中，请求出面积的最大值及此时点的坐标； （3）在点运动的过程中，是否存在点，使是等腰三角形．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）面积的最大值为5，此时点的坐标为；（3）存在，点的横坐标为2，1.5或． 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入函数解析式计算即可； （2）先求出直线BC的解析式，设点的横坐标为，当点在直线下方时，，先求出PQ的最大值，进而得到面积的最大值及此时点的坐标，当点在直线上方时，，同样求出PQ的最大值，进而得到面积的最大值及此时点的坐标，最后两者比较大小即可； （3）分别讨论当CQ=CP，CQ=QP及CP=QP时，画出相应图形，构造直角三角形利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，抛物线的解析式可写为：， 即， ，. ∴ 该抛物线的解析式为. （2）如图，连接，. 将代入得，. . 设直线的解析式为. 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为：. 设点的横坐标为， 当点在直线下方时，， 则，， ， ∴当时，最大，此时，. ∴面积的最大值为：. 当点在直线上方时，， ∴ ∴当时，最大，此时，. ∴面积的最大值为：. ∵， ∴面积的最大值为5，此时点的坐标为 （3）设点的横坐标为，则，， ∴PQ=||=||， 如图，当CQ=CP时，过点C作CH⊥PQ， 则PQ=2QC， ∵点C（0，-2）， ∴QC=||=||， ∴||=2||， 解得m=2或m=0（舍去） 如图，当CQ=QP时，则CQ=QP=||， 过点C作CH⊥PQ，则CH=|m|，QH=||， 在Rt△QCH中，QC2=QH2+CH2， ∴， 解得m=或m=（舍去）或m=0（舍去）， 如图，当CP=QP时，则CP=QP=||， 过点C作CH⊥PQ，则CH=|m|，PH=||=||， 在Rt△PCH中，PC2=PH2+CH2， ∴， 解得m=1.5， ∴存在点，使是等腰三角形，点的横坐标为2，1.5或. 【点睛】本题考查了利用待定系数法确定函数解析式、三角形面积的求法以及等腰三角形的判定和性质．在等腰三角形的腰和底不确定的情况下，一定要进行分类讨论是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $