专题04图形的旋转寒假预习核心讲义(1)(知识点梳理+常考题型解析+强化巩固)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04图形的旋转寒假预习核心讲义(1) · 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素。 · 掌握旋转的性质，能利用性质解决简单几何问题。 · 认识中心对称与中心对称图形，区分二者概念。 · 能画出简单图形旋转后的图形，会判断中心对称图形。 预习必备 知识点梳理 1.旋转的基本概念 2.旋转的核心性质 3.作图步骤 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.辨识生活中的旋转现象 2.判断旋转形成的组合图案 3.确定旋转三要素 4.利用旋转的性质证明线段/角相等 5.探索旋转过程中的规律问题 6.绘制指定条件的旋转图形 7.平面直角坐标系中的图形旋转 8.求点绕某定点旋转90后的坐标 9.求点绕原点旋转指定角度后的坐标 10.坐标系中旋转的坐标规律探究 11旋转综合题:.角度相关问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.旋转的基本概念】 1.定义： 平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度的图形运动，叫做旋转。 旋转中心：绕转的定点； 旋转方向：顺时针或逆时针； 旋转角：转动的角度。 2.对应关系 原图形与旋转后的图形为旋转对应图形； 图形上的点、线段、角分别对应对应点、对应线段、对应角。 【知识点02.旋转的核心性质】 1.旋转不改变图形的形状和大小（旋转前后的图形全等）； 2.对应点到旋转中心的距离相等； 3.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 4.对应线段相等，对应角相等。 【知识点03.作图步骤】 1.明确三要素：确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； 2.找关键点：如多边形的顶点、线段的端点、圆的圆心等； 3.作对应点：连接关键点与旋转中心，按旋转方向和角度旋转线段，得到关键点的对应点； 4.连点成形：依次连接各对应点，得到旋转后的图形。 【知识点04.易错点总结】 1.旋转中心可在图形内、外或图形上，并非一定在图形内部；. 2.作图时易遗漏旋转方向，导致对应点位置错误； 3.混淆旋转角与图形的内角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角。 【题型1.辨识生活中的旋转现象】 【典例】下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【跟踪专练1】有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【题型2.判断旋转形成的组合图案】 【典例】与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【跟踪专练1】电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【跟踪专练2】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【题型3.确定旋转三要素】 【典例】如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【跟踪专练2】如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【题型4.利用旋转的性质证明线段/角相等】 【典例】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则 ． 【题型5.探索旋转过程中的规律问题】 【典例】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【跟踪专练1】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 【题型6.绘制指定条件的旋转图形】 【典例】将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图．若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组（   ） A．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 【跟踪专练2】如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【题型7.平面直角坐标系中的图形旋转】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【跟踪专练1】.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【题型8.求点绕某定点旋转90】 【典例】已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    【跟踪专练2】如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【题型9.求点绕原点旋转指定角度后的坐标】 【典例】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【跟踪专练2】如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【题型10.坐标系中旋转的坐标规律探究】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【跟踪专练1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到⋯⋯依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 【题型11.旋转综合题:角度相关问题】 【典例】如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为 ． 【跟踪专练2】【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 1．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 2．如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 3．在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 4．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数，若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中分别和对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是 ． 9．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 10．如图，已知为等腰直角三角形，，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转90°得到，连接，的正整数值可以是 ．    解答题 11．如图，已知点、、的坐标分别为、、． (1)将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ (2)将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ (3)将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 12．如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)画出关于坐标原点成中心对称的． (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为________． (4)计算出的面积是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出；并写出点的坐标______________； (3)在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 15．已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的旋转寒假预习核心讲义(1) · 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素。 · 掌握旋转的性质，能利用性质解决简单几何问题。 · 认识中心对称与中心对称图形，区分二者概念。 · 能画出简单图形旋转后的图形，会判断中心对称图形。 预习必备 知识点梳理 1.旋转的基本概念 2.旋转的核心性质 3.作图步骤 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.辨识生活中的旋转现象 2.判断旋转形成的组合图案 3.确定旋转三要素 4.利用旋转的性质证明线段/角相等 5.探索旋转过程中的规律问题 6.绘制指定条件的旋转图形 7.平面直角坐标系中的图形旋转 8.求点绕某定点旋转90后的坐标 9.求点绕原点旋转指定角度后的坐标 10.坐标系中旋转的坐标规律探究 11旋转综合题:.角度相关问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.旋转的基本概念】 1.定义： 平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度的图形运动，叫做旋转。 旋转中心：绕转的定点； 旋转方向：顺时针或逆时针； 旋转角：转动的角度。 2.对应关系 原图形与旋转后的图形为旋转对应图形； 图形上的点、线段、角分别对应对应点、对应线段、对应角。 【知识点02.旋转的核心性质】 1.旋转不改变图形的形状和大小（旋转前后的图形全等）； 2.对应点到旋转中心的距离相等； 3.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 4.对应线段相等，对应角相等。 【知识点03.作图步骤】 1.明确三要素：确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； 2.找关键点：如多边形的顶点、线段的端点、圆的圆心等； 3.作对应点：连接关键点与旋转中心，按旋转方向和角度旋转线段，得到关键点的对应点； 4.连点成形：依次连接各对应点，得到旋转后的图形。 【知识点04.易错点总结】 1.旋转中心可在图形内、外或图形上，并非一定在图形内部；. 2.作图时易遗漏旋转方向，导致对应点位置错误； 3.混淆旋转角与图形的内角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角。 【题型1.辨识生活中的旋转现象】 【典例】下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【题型2.判断旋转形成的组合图案】 【典例】与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【跟踪专练1】电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 【题型3.确定旋转三要素】 【典例】如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到答案． 【详解】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 【详解】解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知， 点与点是对应点，，，． 故选：C． 【题型4.利用旋转的性质证明线段/角相等】 【典例】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质．由旋转得，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解∶由旋转得， ， ． ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、等腰三角形性质（等边对等角）及三角形内角和定理．解题关键是通过旋转性质建立边与角的等量关系，再结合等腰三角形和角的和差关系推导目标角度．利用旋转的性质得到对应边、角相等，结合直角三角形内角和求出，再通过等腰三角形性质和角的和差关系计算 【详解】解：中，， ， 绕点B逆时针旋转得到， ，，， 又可知，是等腰三角形，顶角为（旋转角等于原角）， 底角， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含度角的直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得到，易证得是直角三角形，根据勾股定理求得，作于，得到解直角三角形即可求得． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 作于， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【题型5.探索旋转过程中的规律问题】 【典例】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 【跟踪专练1】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 【跟踪专练2】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 【题型6.绘制指定条件的旋转图形】 【典例】将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义.把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可 【详解】解：观查选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C 【跟踪专练1】如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图．若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组（   ） A．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点顺时针旋转，再向下平移4格， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—旋转变换和轴对称，解题的关键：利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，然后根据对称的性质画出点、关于轴对称的点、，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，和即为所作， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 【题型7.平面直角坐标系中的图形旋转】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到，，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的计算，掌握以上知识是关键． 如图所示，过点作轴于点，结合题意得到，，可证，得到，，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【题型8.求点绕某定点旋转90】 【典例】已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 【跟踪专练1】如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点C作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为D、E，则，由旋转的性质可得，则可证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为、， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    【跟踪专练2】如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【题型9.求点绕原点旋转指定角度后的坐标】 【典例】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D。 【题型10.坐标系中旋转的坐标规律探究】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形、点的坐标变化规律等知识．根据题意分析得出点位置规律和长度的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， ……， ∴依此规律，可知，，，依次在轴的负半轴，轴的负半轴，轴的正半轴和轴的正半轴上，每4次一个循环， ∵， ∴在轴的负半轴上， 又∵，，，…， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到⋯⋯依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等腰三角形的性质、图形的规律等知识点，发现各点坐标的变化规律是解题的关键．根据题意可以求得的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，，从而发现其中的变化的规律，然后根据规律即可解答． 【详解】解：如图：作轴于H， ∵点，， ， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴的纵坐标为1，， ∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到， ∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ∴， 当时，． 故答案为：． 【题型11.旋转综合题:角度相关问题】 【典例】如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练2】【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 1．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 2．如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，将线段的旋转转化为直角三角形的旋转是解题的关键． 根据A点坐标得到，绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到， ，再写出点的坐标． 【详解】解：如图：轴于B，轴于C，则， ∵绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴点的坐标为． 4．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据旋转后的图形即可解题． 【详解】解：如图： ∴点N的对应点的坐标为． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数，若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中分别和对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形的旋转变化，根据分别与对应，所以和垂直平分线交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别与对应， ∴和垂直平分线交点即为旋转中心，即点， ∴点， 故选：． 6．如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是正确求得前几个点的坐标，找出规律．求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：如图所示：    点经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后， 可得：经过4次翻滚后点对应点一循环， ， ∵，矩形的周长为， ∴经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为，即 故选：B． 7．如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【答案】D 【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 【详解】解：把型号4逆时针旋转，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠； 故选D 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图，根据旋转的性质得到，，，，所以，利用等腰直角三角形的性质计算出，，则，，所以，从而得到C点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴C点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，把线段绕点B顺时针旋转转化为把绕B点顺时针旋转得到是解决问题的关键． 9．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 10．如图，已知为等腰直角三角形，，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转90°得到，连接，的正整数值可以是 ．    【答案】2或3 【分析】连接、，根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：如图，连接、，   ，旋转角为， ， ， 在和中， ， ， ， 在等腰中， ， ， 在中，有， 当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意． 的取值范围是：， ，， ， 的正整数值可以是：2或3， 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，勾股定理的运用，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键． 解答题 11．如图，已知点、、的坐标分别为、、． (1)将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ (2)将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ (3)将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，△即为所求； ∴； （2）解：如图，△即为所求； ∴； （3）解：将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标． 故答案为：． 12．如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)画出关于坐标原点成中心对称的． (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为________． (4)计算出的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称： （1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作线段的垂直平分线，与线段垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答案． （4）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，、的线段垂直平分线交于， ∴旋转中心的坐标即为． （4）解：． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出；并写出点的坐标______________； (3)在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3)或或 【分析】此题考查了平移和旋转的作图、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握平移和旋转的作图是关键． （1）已知平移得到点的坐标为，即可得到平移规律为向右平移5个单位，向下平移6个单位，据此得到经过平移后得到的对应点，再顺次连接、即可得到； （2）作出绕点按顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定和性质找到所求的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求，点的坐标； 故答案为： （3）如图，点D的坐标为或或． 14．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 15．已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $