专题03图形的平移寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型解析+强化巩固)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03图形的平移寒假预习核心讲义 · 深化理解平移的定义与基本要素，能区分平移与其他图形变换（旋转、轴对称）。 · 熟练掌握平移的性质，能结合坐标系解决平移相关的计算、作图问题。 · 会用平移的思想解决几何证明与面积计算问题，体会平移的应用价值。 预习必备 知识点梳理 1.平移的定义 2.平移的性质 3.平面直角坐标系中的平移规律 4.平移的作图方法 5.平移的叠加性 6.平移的判定条件 7.常考解题公式与等量关系 8.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.生活中的平移现象 2.图形平移的概念与特征 3.平移的性质及应用 4.平移的实际应用问题 5.平移作图的方法与步骤 6.点沿ｘ轴．ｙ轴平移后的坐标求解 7.根据平移方式确定点的坐标 8.由点的平移前后的坐标.判断平移方式 9.已知图形平移.求对应点到坐标 10.已知平移后的坐标求原坐标 11.平移综合题(几何变换类) 12.平面直角坐标系中的平移问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.平移的定义】 1.概念：在平面内，将一个图形沿某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2.关键要素 平移方向：必须是直线方向（如水平向右、竖直向下、与水平成45∘角等）。 平移距离：图形上任意一点移动的路程长度。 3.核心特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 【知识点02.平移的性质】 1.全等性：平移前后的两个图形是全等图形，对应边相等，对应角相等。 2.对应点连线性质：各组对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3.对应线段性质：各组对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 4.对应角性质：各组对应角相等。 【知识点03.平面直角坐标系中的平移规律】 1.点的平移规律 设平面内任意一点坐标为(x,y)，平移a（a>0）个单位长度、b（b>0）个单位长度： 沿x轴向右平移：对应点坐标为(x+a,y)； 沿x轴向左平移：对应点坐标为(x−a,y)； 沿y轴向上平移：对应点坐标为(x,y+b)； 沿y轴向下平移：对应点坐标为(x,y−b)。 2.图形的平移规律：图形的平移等同于图形上所有关键点的平移，按点的平移规律得到对应点，再连接对应点即可得到平移后的图形。 【知识点04.平移的作图方法】 1. 已知原图、平移方向和距离，作平移后图形 找关键点：确定原图形的关键点（多边形顶点、圆的圆心、线段端点等）。 移关键点：按平移方向和距离，逐个平移关键点得到对应点。 连对应点：按原图形的连接顺序，依次连接各对应点，得到平移后的图形。 2. 已知原图和平移后图形，确定平移方向和距离 选对应点：任意选取一组对应点（如点A和其对应点A′）。 定方向：连接对应点的线段的方向，即为平移方向。 量距离：连接对应点的线段的长度，即为平移距离。 【知识点05.平移的叠加性】 1.一个图形经过两次连续平移，最终效果等同于一次平移。 2.平移合成方法：两次平移的方向可通过几何方法合成一个总方向，两次平移的距离可通过勾股定理计算总距离（如先水平移3，再竖直移4，等效于沿对角线移5）。 【知识点06.平移的判定条件】 判定一个图形的变换是平移变换，需同时满足以下 2 个核心条件，缺一不可： 1.图形上的每一个点，都沿同一个方向移动了相同的距离 方向要求：所有对应点的移动方向完全一致，不能出现部分点向左、部分点向右的情况。 距离要求：所有对应点移动的线段长度相等，且这些线段相互平行（或在同一条直线上）。 2.变换前后的图形，形状、大小完全相同，仅位置发生改变 对应线段：平行（或共线）且相等。 对应角：大小相等。 图形的方向：不发生改变（这是平移与旋转的核心区别）。 【知识点07.常考解题公式与等量关系】 1.坐标等量关系：按“右加左减、上加下减”计算对应点坐标； 2.几何计算：对应线段/角相等，平移距离=对应点连线长； 不规则图形面积=平移转化后的规则图形面积（矩形S=长×宽；平行四边形S=底×高）； 3.证明等量关系：平移后对应线段平行，可辅助判定平行四边形。 【知识点08.易错点总结】 1.混淆平移方向：平移方向是直线方向，不是曲线方向。 2.忽略对应点连线的位置关系：对应点连线可能平行，也可能在同一条直线上（如竖直平移）。 3.坐标系平移时符号出错：向左、向下平移是减，向右、向上平移是加。 4.作图遗漏关键点：导致平移后图形形状错误。 5.误判平移关系：仅满足全等的两个图形，不一定是平移得到的。 【题型1.生活中的平移现象】 【典例】如图，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移和正方形的面积求解，掌握这些是解题的关键． 通过平移将不规则的阴影部分转换为规则的正方形，计算正方形的面积即可． 【详解】解：由题意得： 阴影部分的面积为； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，某公园小山坡有一处草坪风景欣赏区．坡顶到水平面的高度为20米，坡底到点的距离为100米．为方便游人观赏，公园需要在之间修建一条小路．方案一：在之间修建一条笔直的小路；方案二：在之间沿着斜坡修建折线小路．方案二比方案一线路长 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象．根据题意可得：，在中，利用勾股定理可求出的长，然后利用平移的性质可得：方案二的线路长米，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，米，米， ∴（米）， ∴方案一的线路长为米； 由题意得：方案二的线路长（米）， ∴方案二比方案一线路长米， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意； B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意； C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意； D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型2.图形平移的概念与特征】 【典例】决定平移的条件是平移的 和平移的 ．如图，三角形沿射线的方向移动长可得到三角形，三角形的这个位置变换就是平移．点平移到点，点是点的对应点，原来的三角形是原像，三角形 是三角形在平移下的像． 【答案】 方向 距离 【分析】此题考查了平移的定义，根据平移是由平移的方向和平移的距离决定进行解答即可． 【详解】解：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离．如图，三角形沿射线的方向移动长可得到三角形，三角形的这个位置变换就是平移．点平移到点，点是点的对应点，原来的三角形是原像，三角形是三角形在平移下的像． 故答案为：方向，距离， 【跟踪专练1】下列关于平移的说法正确的是（   ） A．几何图形平移后，面积可能会发生一点变化 B．将平移时，可以将点向左平移个单位，将点向左平移个单位 C．几何图形平移后，形状可能会发生一点变化 D．几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变 【答案】D 【分析】本题考查平移，根据平移前后的图形形状、大小不变解答即可． 【详解】解：A. 几何图形平移后，面积不发生变化，原说法错误； B. 将平移时，可以将点向左平移个单位，同时将点向左平移个单位，原说法错误； C. 几何图形平移后，形状不变，原说法错误； D. 几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变，说法正确； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，可得出等于的长度，则四边形的周长可转化为的周长与和的长度和，据此可解决问题． 【详解】解：由平移可知， ，， 的周长为16cm， ， ， 即四边形的周长为． 故答案为：． 【题型3.平移的性质及应用】 【典例】沿水平方向平移到，若，则等于（    ） A．2.5 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应线段平行且相等．根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应线段平行且相等可求解． 【详解】解：由题意知，沿水平方向平移到，得到对应线段、和， ∵平移后对应线段平行且相等， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．根据平移的性质可得，，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解． 【详解】解：， 沿射线方向平移2个单位后得到， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题考查了平移的性质，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， 将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，，，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：A． 【题型4.平移的实际应用问题】 【典例】如图，某园林内，在一块长，宽的长方形土地上，有两条长方形交叉的小路，其余地方种植花卉进行绿化．已知小路的出路口均为，则绿化地的面积为 ． 【答案】640 【分析】本题考查了图形平移，有理数的乘法运算的运用，理解题意，掌握图形平移，有理数的乘法运算是关键． 【详解】解：根据题意，绿化的长为，宽为， ∴绿化面积为， 故答案为：640 ． 【跟踪专练1】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，整式的乘法运算．根据平移，可得路的宽度，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：由题意得这块草地的绿地面积为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 98米 1152 平方米 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于，据此计算求解即可；根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积． 【详解】解：由平移的性质可得，图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于， ∵米，宽米， ∴他所走的路线（图中虚线）长为（米）， 根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积， ∴阴影部分的面积为平方米， 故答案为：98米；1152平方米． 【题型5.平移作图的方法和步骤】 【典例】数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 【跟踪专练1】在如图所示的单位正方形网格中，将向右平移3个单位后得到（其中、、的对应点分别为、、），则的度数是 度． 【答案】45 【分析】本题考查平移的基本性质，平移前后对应点所连的线段平行且相等、对应角相等．先画出平移后的图形，再根据平移的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，平移后，而过点B向引垂线，垂足为D， ∴，， ∴． 故答案为：45． 【跟踪专练2】.如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 【题型6.点沿x轴.y轴平移后的坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标与图形变化中平移的特征即可求解． 【详解】解：由题意，向右平移个单位，再向下平移个单位， 点的对应点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标中图形平移的特征，熟练掌握相关性质是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【题型7.根据平移方式确定点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是，即． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了图形的平移及平移特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据平移的性质解题即可 【详解】解：由题意可知，由的对应点为，知，线段向上平移了2个单位， 由的对应点为知，线段向右平移了3个单位， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 【题型8.由点的平移前后坐标,判断平移方式】 【典例】已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【答案】先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【分析】本题主要考查点的平移变换，掌握平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减是解题的关键． 根据点坐标的变换，得到平移的方法即可． 【详解】∵由经过平移得到 ∴， 根据平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减， ∴点是先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度就得到点． 故答案为：先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【跟踪专练1】如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点和它的对应点的坐标特征得到线段先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段，然后利用点平移的坐标规律写出点平移后的对应点的坐标． 【详解】解：由图知，线段向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段， ∴点在上的对应点的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 【题型9.已知图形平移,求对应点的坐标】 【典例】如图，将线段平移至，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，得出A，C两点纵坐标差等于B，D两点的纵坐标差，据此可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段平移得到， 所以，， 所以． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为．若将作关于y轴的轴对称变换，得到，则点C的对应点的坐标为 ；再将向上平移1个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据轴对称，平移的性质画出三角形即可． 【详解】解：将作关于y轴的轴对称变换，得到，则点C的对应点的坐标为：； 再将向上平移1个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为：． 故答案为：，． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 【题型10.已知平移后的坐标求原点坐标】 【典例】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点反向平移得到点的坐标． 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 【题型11.平移综合题(几何变换类)】 【典例】在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【答案】B 【分析】本题主要考查了学生对图形的平移等有关知识的掌握情况，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度可得答案． 【详解】解：．横坐标、纵坐标分别乘2，横、纵坐标分别乘以2，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的2倍那么五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标不变，纵坐标分别加2，这表示五边形在垂直方向上向上平移了2个单位长度，在这个过程中五边形的大小和形状都不会发生改变，故该选项符合题意； ．横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，这会使五边形在垂直方向上拉伸，大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标加2，纵坐标乘以2，横坐标加2是水平方向平移，纵坐标乘以2是垂直方向拉伸，五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了对称与平移的性质．首先由是等边三角形，点B、C的坐标分别是、，求得点A的坐标，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点A的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，继而求得把经过连续9次这样的变换得到，则点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图，过作交于， 点B、C的坐标分别是、， ∴轴，， ∵是等边三角形， ∴，轴，， ∴， ∴点A的坐标为， 根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第2次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第3次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第n次变换后的点A的对应点的为： 当n为奇数时为， 当n为偶数时为， ∴把经过连续9次这样的变换得到，则点A的对应点的坐标是：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 【题型12.平面直角坐标系中的平移问题】 【典例】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可． 本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据A点的坐标为，轴， 得到， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故B点的坐标为或， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键． 直接利用点平移的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴点A平移至点C的坐标为， 故答案为：． 1．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 2．请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出变化规律，三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化进而得出答案，根据已知图形得出图形的变与不变是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小人的移动规律是三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化， 故选一个小人放到图中问号的位置最合适的是： 故选：． 3．如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：将一个周长为a厘米的沿射线方向平移后得到， ，， 的周长为a厘米， ， 四边形的周长为b厘米， ，即， ， 即平移的距离是， 故答案为： 4．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 5．点向下平移个单位到达点，点与恰好关于轴对称，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移与轴对称的坐标变换，掌握平移与轴对称的坐标变换特征是解题关键． 根据点的平移规律：“左减右加，上加下减”，可得平移后的点，根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点向下平移个单位到达点， ∴，即， ∵点与恰好关于轴对称， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 6．已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形经多次变换后的规律，通过计算前几次变换，发现规律：奇数次变换后点的纵坐标为，横坐标为2减去变换次数；偶数次变换后点的纵坐标为2，横坐标为2减去变换次数，2024是偶数，即可得出点M的坐标． 【详解】解：∵点， 第一次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第二次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第三次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第四次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； … ∴第n次变换后，若n为奇数，则点M坐标为； 若n为偶数，则点M坐标为， ∵2024为偶数， ∴点M坐标为即． 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移规律是解题关键．利用已知对应点平移距离进而得出答案． 【详解】解：∵线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，点A的对应点的坐标为， ∴点A向右平移5个单位，向下平移1个单位， ∴点B的对应点的坐标为：． 故答案为：． 8．如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．先观察和得到把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到，然后把点向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为，即为点的坐标． 【详解】解：∵把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到， ∴点的对应点的坐标为． 故选：C． 9．平面直角坐标系中，将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则下列结论：①点的坐标为；②线段的长为个单位长度；③线段所在的直线与轴垂直；④点可能在线段上；⑤点一定在线段上．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标，根据平移的性质确定点Q的坐标，进而判断各结论的正确性． 【详解】解：将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则点的坐标为，故①正确； ∵，点的坐标为； ∴，故②正确； ∵P和Q的横坐标相同，纵坐标不同， ∴线段轴，故③正确； 点的横坐标与相同，纵坐标需满足， ∵， ∴，且， 因此，点M一定在线段上，故结论④正确； 点的横坐标与相同，纵坐标需满足， 当时，，此时点N不在线段上， 因此，点N不一定在线段上，故结论⑤错误， 综上：正确的结论为①②③④，共4个， 故选：C． 10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， 三个顶点的坐标分别为 (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点C1的坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别找出点，再依次连接，得，再写出点的坐标，即可作答． （2）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，得，再写出点的坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，点的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点，直线过点、，交轴于点，交轴于点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解． 例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为； 若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标：_____，____，_____； (2)求． (3)若点是轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据平移的性质可得的坐标，分别求出时，的值和时，的值即可得到答案； （2）连接，，根据求解即可； （3）分情况讨论等腰三角形的不同情况即可． 【详解】（1）∵点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点， ∴点， ∵直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解． ∴直线的解析式为：， ∴当时，， 当时，， ∴点，点， 故答案为：； （2）如图，连接，， ∴； （3）∵点， ∴， 当时，如图，过作轴于点， 则， ∴； 当时，如图， 此时点或； 综上，或或．        【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移、直线与坐标轴交点坐标、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，关键是灵活应用解决问题． 12．三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)，； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）∵先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 则先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴内部的对应点的坐标是． 13．如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 14．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 15．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 【答案】(1) (2)点不是不动点；点是不动点 (3) 【分析】（1）根据“优化变换”求解即可； （2）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义可得答案，同理可判断是不动点； （3）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义建立方程可得答案． 【详解】（1）点向左平移5个单位长度为 点关于轴的对称点为； （2）解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与不重合，不是不动点； 把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与重合，是不动点； （3）解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为， ∵关于轴的对称点的坐标为：， 而点为不动点， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，点的坐标平移和对称变换，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的平移寒假预习核心讲义 · 深化理解平移的定义与基本要素，能区分平移与其他图形变换（旋转、轴对称）。 · 熟练掌握平移的性质，能结合坐标系解决平移相关的计算、作图问题。 · 会用平移的思想解决几何证明与面积计算问题，体会平移的应用价值。 预习必备 知识点梳理 1.平移的定义 2.平移的性质 3.平面直角坐标系中的平移规律 4.平移的作图方法 5.平移的叠加性 6.平移的判定条件 7.常考解题公式与等量关系 8.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.生活中的平移现象 2.图形平移的概念与特征 3.平移的性质及应用 4.平移的实际应用问题 5.平移作图的方法与步骤 6.点沿ｘ轴．ｙ轴平移后的坐标求解 7.根据平移方式确定点的坐标 8.由点的平移前后的坐标.判断平移方式 9.已知图形平移.求对应点到坐标 10.已知平移后的坐标求原坐标 11.平移综合题(几何变换类) 12.平面直角坐标系中的平移问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.平移的定义】 1.概念：在平面内，将一个图形沿某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2.关键要素 平移方向：必须是直线方向（如水平向右、竖直向下、与水平成45∘角等）。 平移距离：图形上任意一点移动的路程长度。 3.核心特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 【知识点02.平移的性质】 1.全等性：平移前后的两个图形是全等图形，对应边相等，对应角相等。 2.对应点连线性质：各组对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3.对应线段性质：各组对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 4.对应角性质：各组对应角相等。 【知识点03.平面直角坐标系中的平移规律】 1.点的平移规律 设平面内任意一点坐标为(x,y)，平移a（a>0）个单位长度、b（b>0）个单位长度： 沿x轴向右平移：对应点坐标为(x+a,y)； 沿x轴向左平移：对应点坐标为(x−a,y)； 沿y轴向上平移：对应点坐标为(x,y+b)； 沿y轴向下平移：对应点坐标为(x,y−b)。 2.图形的平移规律：图形的平移等同于图形上所有关键点的平移，按点的平移规律得到对应点，再连接对应点即可得到平移后的图形。 【知识点04.平移的作图方法】 1. 已知原图、平移方向和距离，作平移后图形 找关键点：确定原图形的关键点（多边形顶点、圆的圆心、线段端点等）。 移关键点：按平移方向和距离，逐个平移关键点得到对应点。 连对应点：按原图形的连接顺序，依次连接各对应点，得到平移后的图形。 2. 已知原图和平移后图形，确定平移方向和距离 选对应点：任意选取一组对应点（如点A和其对应点A′）。 定方向：连接对应点的线段的方向，即为平移方向。 量距离：连接对应点的线段的长度，即为平移距离。 【知识点05.平移的叠加性】 1.一个图形经过两次连续平移，最终效果等同于一次平移。 2.平移合成方法：两次平移的方向可通过几何方法合成一个总方向，两次平移的距离可通过勾股定理计算总距离（如先水平移3，再竖直移4，等效于沿对角线移5）。 【知识点06.平移的判定条件】 判定一个图形的变换是平移变换，需同时满足以下 2 个核心条件，缺一不可： 1.图形上的每一个点，都沿同一个方向移动了相同的距离 方向要求：所有对应点的移动方向完全一致，不能出现部分点向左、部分点向右的情况。 距离要求：所有对应点移动的线段长度相等，且这些线段相互平行（或在同一条直线上）。 2.变换前后的图形，形状、大小完全相同，仅位置发生改变 对应线段：平行（或共线）且相等。 对应角：大小相等。 图形的方向：不发生改变（这是平移与旋转的核心区别）。 补充判定技巧 找一组对应点，连接对应点得到的线段若满足平行且相等，再验证图形方向不变，即可判定为平移。 平移不改变图形的形状、大小和方向，这三个属性是判定的关键依据。 【知识点07.常考解题公式与等量关系】 1.坐标等量关系：按“右加左减、上加下减”计算对应点坐标； 2.几何计算：对应线段/角相等，平移距离=对应点连线长； 不规则图形面积=平移转化后的规则图形面积（矩形S=长×宽；平行四边形S=底×高）； 3.证明等量关系：平移后对应线段平行，可辅助判定平行四边形。 【知识点08.易错点总结】 1.混淆平移方向：平移方向是直线方向，不是曲线方向。 2.忽略对应点连线的位置关系：对应点连线可能平行，也可能在同一条直线上（如竖直平移）。 3.坐标系平移时符号出错：向左、向下平移是减，向右、向上平移是加。 4.作图遗漏关键点：导致平移后图形形状错误。 5.误判平移关系：仅满足全等的两个图形，不一定是平移得到的。 【题型1.生活中的平移现象】 【典例】如图，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，某公园小山坡有一处草坪风景欣赏区．坡顶到水平面的高度为20米，坡底到点的距离为100米．为方便游人观赏，公园需要在之间修建一条小路．方案一：在之间修建一条笔直的小路；方案二：在之间沿着斜坡修建折线小路．方案二比方案一线路长 米． 【跟踪专练2】下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【题型2.图形平移的概念与特征】 【典例】决定平移的条件是平移的 和平移的 ．如图，三角形沿射线的方向移动长可得到三角形，三角形的这个位置变换就是平移．点平移到点，点是点的对应点，原来的三角形是原像，三角形 是三角形在平移下的像． 【跟踪专练1】下列关于平移的说法正确的是（   ） A．几何图形平移后，面积可能会发生一点变化 B．将平移时，可以将点向左平移个单位，将点向左平移个单位 C．几何图形平移后，形状可能会发生一点变化 D．几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变 【跟踪专练2】如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．    【题型3.平移的性质及应用】 【典例】沿水平方向平移到，若，则等于（    ） A．2.5 B．5 C．10 D．20 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接，若，则线段的长为 ． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型4.平移的实际应用问题】 【典例】如图，某园林内，在一块长，宽的长方形土地上，有两条长方形交叉的小路，其余地方种植花卉进行绿化．已知小路的出路口均为，则绿化地的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ． 【题型5.平移作图的方法和步骤】 【典例】数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【跟踪专练1】在如图所示的单位正方形网格中，将向右平移3个单位后得到（其中、、的对应点分别为、、），则的度数是 度． 【跟踪专练2】.如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【题型6.点沿x轴.y轴平移后的坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【题型7.根据平移方式确定点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型8.由点的平移前后坐标,判断平移方式】 【典例】已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【跟踪专练1】如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【题型9.已知图形平移,求对应点的坐标】 【典例】如图，将线段平移至，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为．若将作关于y轴的轴对称变换，得到，则点C的对应点的坐标为 ；再将向上平移1个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【题型10.已知平移后的坐标求原点坐标】 【典例】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【题型11.平移综合题(几何变换类)】 【典例】在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是 ． 【跟踪专练2】如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【题型12.平面直角坐标系中的平移问题】 【典例】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【跟踪专练1】已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 1．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 2．请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 4．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 5．点向下平移个单位到达点，点与恰好关于轴对称，则点坐标是 ． 6．已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 9．平面直角坐标系中，将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则下列结论：①点的坐标为；②线段的长为个单位长度；③线段所在的直线与轴垂直；④点可能在线段上；⑤点一定在线段上．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， 三个顶点的坐标分别为 (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点C1的坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 11．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点，直线过点、，交轴于点，交轴于点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解． 例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为； 若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标：_____，____，_____； (2)求． (3)若点是轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 12．三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 14．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 15．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $