2026年九年级数学中考总复习：二次函数的表达式

二次函数的表达式 一、核心知识点梳理 （一）解析式求解（待定系数法） 已知三点坐标（无特殊条件）：设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点坐标，列三元一次方程组，求解 a、b、c。 已知顶点坐标（或对称轴、最值）：设顶点式 y=a(x−h)2+k，代入顶点坐标，再结合一个已知点，求解 a，进而转化为所需形式。 已知与 x 轴两个交点坐标：设交点式 y=a(x−x1)(x−x2)（ a≠0），代入交点坐标，再结合一个已知点，求解 a，可转化为一般式或顶点式。 （二）与方程、不等式的关系（数形结合核心考点） 与一元二次方程的关系：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点横坐标，即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，交点个数由根的判别式 Δ=b2−4ac 决定： Δ>0：抛物线与 x 轴有 2 个不同交点，方程有 2 个不相等实数根； Δ=0：抛物线与 x 轴有 1 个交点（顶点在 x 轴上），方程有 2 个相等实数根； Δ<0：抛物线与 x 轴无交点，方程无实数根。 与一元二次不等式的关系： 当 a>0 时，ax2+bx+c>0 的解集为抛物线在 x 轴上方部分的 x 取值范围；ax2+bx+c<0 的解集为抛物线在 x 轴下方部分的 x 取值范围； 当 a<0 时，解集方向相反，需结合交点横坐标和开口方向确定。 2、 同步练习 1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( ) A. B. C. D. 2．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 1 0 … 则此函数的表达式为( ) A. B. C. D. 3．有3个二次函数，甲：；乙：；丙：.则下列叙述不正确的是( ) A. 甲的图象关于轴对称后，可以与乙的图象重合 B. 甲的图象向下平移2个单位长度后，可以与丙的图象重合 C. 乙的图象关于直线对称后，可以与丙的图象重合 D. 乙的图象关于轴对称后，再向上平移2个单位长度，可以与丙的图象重合 4．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可) 5．抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度所得的抛物线表达式为 ． 6．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为 ． 7．已知抛物线，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数的图象上，则平移后的抛物线的表达式为 . 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点. (1) 求抛物线的表达式； (2) 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，求平移后抛物线的表达式． 9．已知抛物线经过点. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线.若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值； (3) 将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，且，求的取值范围. 参考答案 1. A　【解析】设二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c，由题图可知，当x=0时，y=6，∴抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋6，又∵抛物线过点(－1，0)，(3，0)，∴ 解得∴二次函数的表达式为y=－2x2＋4x＋6. 一题多解法 由题图知，抛物线过点(－1，0)，(0，6)，(3，0)，∴设抛物线的解析式为y=a(x－3)(x＋1)，将(0，6)代入，得6=－3a，解得a=－2，∴抛物线的表达式为y=－2(x－3)(x＋1)=－2x2＋4x＋6. 2. B　【解析】由表格得该二次函数图象的顶点坐标为(－2，1)，则可设这个二次函数的表达式为y=a(x＋2)2＋1，将(0，－3)代入，得a(0＋2)2＋1=－3，解得a=－1，∴函数的表达式为y=－(x＋2)2＋1，即y=－x2－4x－3. 3. B　【解析】由题意，甲和乙的图象关于x轴对称，乙和丙的图象关于直线y=1对称，A，C选项正确；甲的图象向上平移2个单位长度后，可以与丙的图象重合，B选项错误；乙的图象关于x轴对称后，再向上平移2个单位长度，可以与丙的图象重合，D选项正确. 4. y=－x2＋1(答案不唯一)　【解析】∵二次函数 y=－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，且不经过点(0，0)，∴∴－c＋b＋1=0，∴b=c－1，∴二次函数的表达式为y=－x2＋(c－1)x＋c.∵c≠0，∴c可以取1，当c=1时，二次函数的表达式为y=－x2＋1. 5. y=3x2＋6x＋1　【解析】∵抛物线y=3x2先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线，∴y=3(x＋1)2－2=3x2＋6x＋1. 6. 4　【解析】根据题意，将(4，n)代入y=(x－2)2－4，得n=(4－2)2－4=0，所以“平衡点”为(4，0).将抛物线C1：y=(x－2)2－4向右平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线C2：y=(x－2－m)2－4.将(4，0)代入y=(x－2－m)2－4，得0=(4－2－m)2－4，解得m=4或m=0(舍去). 7. y=－x2－6x－6　【解析】∵y=－x2－2x＋2=－(x＋1)2＋3，∴顶点坐标是(－1，3).由题知，将这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=－x的图象上.∵左、右平移后，顶点的纵坐标不变，∴平移后的顶点坐标为(－3，3)，∴平移后的抛物线的表达式为y=－(x＋3)2＋3=－x2－6x－6. 8. 解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(6，0)两点， ∴将A(－1，0)，B(6，0)的坐标代入， 得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2－x－3； (2)由题意得OC=3，OB=6， ∴BC=3， ∴sin∠ABC==，cos∠ABC==， ∴∙sin∠ABC=1，∙cos∠ABC=2， ∴平移后抛物线的表达式为y=(x－2)2－(x－2)－3＋1=x2－x＋5. 9. 解：(1)∵y=a(x＋1)2－4(a≠0)经过点A(1，0)， ∴4a－4=0， ∴a=1， ∴抛物线L1的函数表达式为y=x2＋2x－3； (2)∵y=(x＋1)2－4， ∴抛物线L1的顶点为(－1，－4). 将抛物线L1向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点坐标为(－1，－4＋m)， 而(－1，－4＋m)关于原点的对称点为(1，4－m)， 把点(1，4－m)的坐标代入y=x2＋2x－3， 得1＋2－3=4－m， ∴m=4； (3)将抛物线L1向右平移n(n＞0)个单位长度得到抛物线L3，则L3的函数表达式为y=(x－n＋1)2－4， ∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上， ∴y1=(2－n)2－4，y2=(4－n)2－4. ∵y1＞y2， ∴(2－n)2－4＞(4－n)2－4， 解得n＞3， ∴n的取值范围为n＞3. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $