2026年九年级数学中考总复习：二次函数的表达式

二次函数的表达式

一、核心知识点梳理

（一）解析式求解（待定系数法）

已知三点坐标（无特殊条件）：设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点坐标，列三元一次方程组，求解 a、b、c。

已知顶点坐标（或对称轴、最值）：设顶点式 y=a(x−h)2+k，代入顶点坐标，再结合一个已知点，求解 a，进而转化为所需形式。

已知与 x 轴两个交点坐标：设交点式 y=a(x−x1)(x−x2)（ a≠0），代入交点坐标，再结合一个已知点，求解 a，可转化为一般式或顶点式。

（二）与方程、不等式的关系（数形结合核心考点）

与一元二次方程的关系：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点横坐标，即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，交点个数由根的判别式 Δ=b2−4ac 决定：

Δ>0：抛物线与 x 轴有 2 个不同交点，方程有 2 个不相等实数根；

Δ=0：抛物线与 x 轴有 1 个交点（顶点在 x 轴上），方程有 2 个相等实数根；

Δ<0：抛物线与 x 轴无交点，方程无实数根。

与一元二次不等式的关系：

当 a>0 时，ax2+bx+c>0 的解集为抛物线在 x 轴上方部分的 x 取值范围；ax2+bx+c<0 的解集为抛物线在 x 轴下方部分的 x 取值范围；

当 a<0 时，解集方向相反，需结合交点横坐标和开口方向确定。

二、同步练习

1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( )

A.  B.

C.  D.

2．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：

则此函数的表达式为( )

A.  B.

C.  D.

3．有3个二次函数，甲：；乙：；丙：.则下列叙述不正确的是( )

A. 甲的图象关于轴对称后，可以与乙的图象重合

B. 甲的图象向下平移2个单位长度后，可以与丙的图象重合

C. 乙的图象关于直线对称后，可以与丙的图象重合

D. 乙的图象关于轴对称后，再向上平移2个单位长度，可以与丙的图象重合

4．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是                   .(写出一个即可)

5．抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度所得的抛物线表达式为                       ．

6．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为               ．

7．已知抛物线，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数的图象上，则平移后的抛物线的表达式为                   .

8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点.

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，求平移后抛物线的表达式．

 

 

 

 

 

 

 

9．已知抛物线经过点.

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线.若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值；

(3) 将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，且，求的取值范围.