2026年九年级数学中考总复习：二次函数图象及性质

二次函数图象及性质 一、核心知识点梳理 （一）定义与解析式 二次函数定义：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0）的函数，叫做二次函数。其中 x 是自变量，y 是因变量，自变量 x 的最高次数为 2。 三种常见解析式及转化： 一般式：y=ax2+bx+c（ a≠0），适用于已知任意三点坐标求解析式； 顶点式：y=a(x−h)2+k（ a≠0），其中 (h,k) 是抛物线的顶点坐标，适用于已知顶点、对称轴或最值求解析式； 交点式（两根式）：y=a(x−x1)(x−x2)（ a≠0），其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标，适用于已知抛物线与 x 轴交点求解析式 自变量取值范围：一般情况下可取全体实数；若涉及实际问题（如面积、利润、高度等），需结合实际意义限定取值（如长度为正、时间非负等）。 （二）图象与画法 图象形状：二次函数的图象是一条抛物线，具有对称性，对称轴是抛物线的 “对称轴”，顶点是抛物线的最高点或最低点。 图象开口方向与 a 的关系： 当 a>0 时，抛物线开口向上，有最低点（顶点），函数有最小值； 当 a<0 时，抛物线开口向下，有最高点（顶点），函数有最大值； ∣a∣ 越大，抛物线开口越陡峭；∣a∣ 越小，抛物线开口越平缓。 对称轴、顶点坐标求解： 对称轴：一般式中，对称轴为直线 x=−​；顶点式中，对称轴为直线 x=h； 顶点坐标：一般式中，顶点横坐标为−​，纵坐标代入解析式求得，即 (−,​)；顶点式中，顶点坐标为 (h,k)。 描点法画图步骤：① 确定对称轴、顶点坐标；② 选取对称轴两侧对称的点（如与 y 轴交点 (0,c)、与 x 轴交点，或对称轴两侧的整数点）；③ 精准描点，用平滑曲线连接，形成抛物线（实际问题需根据取值范围截取部分图象）。 （三）核心性质（围绕 a、b、c 及顶点、对称轴） 增减性（中考基础题高频）： 当 a>0 时，在对称轴左侧（x<−），y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（x>−），y 随 x 的增大而增大； 当 a<0 时，在对称轴左侧（x−），y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧（x>−），y 随 x 的增大而减小。 最值： 当 a>0 时，函数在顶点处取得最小值，最小（或 k）； 当 a<0 时，函数在顶点处取得最大值，最大（或 k）； 若有自变量取值范围限制，需结合取值范围与对称轴的位置，判断最值在顶点或端点处取得。 a、b、c 的几何意义： a：决定开口方向和开口大小（如上述）； b：与 a 共同决定对称轴位置（“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧，a、b 同号；对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号；对称轴为 y 轴，b=0）； c：抛物线与 y 轴交点的纵坐标（交点坐标为 (0,c)），c>0 交正半轴，c<0 交负半轴，c=0 过原点。 二、易错点辨析（中考高频易错，规避丢分） 忽视二次项系数限制：忘记 a≠0 的前提，判断函数类型时误将 a=0 的情况归为二次函数。 对称轴公式记错：混淆对称轴公式 x=−​，符号出错（常见漏写负号）。 顶点坐标计算错误：一般式求顶点纵坐标时，误用公式 （符号颠倒），或代入解析式时计算失误。 “左同右异” 理解偏差：判断对称轴位置时，混淆 a、b 符号关系，导致对称轴方向判断错误。 最值求解忽略自变量范围：仅默认顶点为最值点，未结合实际问题中自变量的取值范围，导致最值计算错误（如自变量范围在对称轴一侧，最值在端点处）。 数形结合误区：求解不等式解集时，未结合开口方向，直接根据 “上下方” 确定解集，导致方向颠倒。 解析式转化失误：顶点式、交点式转化为一般式时，展开或整理过程中符号出错、漏项。 3、 同步练习 1．二次函数的图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2．已知二次函数，则该二次函数图象的对称轴为( ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3．已知点在抛物线上，则点关于抛物线对称轴的对称点坐标 是( ) A. B. C. D. 4．若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则抛物线的顶点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5．关于的二次函数的图象可能是( ) B. C. D. 6．二次函数为常数图象的顶点的纵坐标的最大值为( ) A. B. C. D. 7．已知一个二次函数 的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 8．已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 9．(2025陕西）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 10．已知二次函数的图象如图所示，则( ) A. B. C. D. 11．已知函数，当时，随的增大而 .(填“增大”或“减小”) 12．已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是 . 13．若抛物线是常数与轴没有交点，则的取值范围是 ． 14．已知抛物线经过，，，四点，则与的大小关系是 (填“”“”或“”)． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 . 16．抛物线在上的最大值为1，则的值为 . 17．(2025连云港）已知二次函数，为常数． (1) 若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (2) 若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (3) 求证：该二次函数的图象不经过原点． 参考答案 1. B　【解析】∵题干所给二次函数表达式为顶点式，即y=a(x－h)2＋k，(h，k)为该抛物线顶点坐标，∴二次函数y=－(x＋1)2－3的图象的顶点坐标是(－1，－3). 2. B　【解析】二次函数图象的对称轴为直线x=－=－1. 3. C　【解析】∵点A(1，n)在抛物线y=x2＋2x－3上，∴n=12＋2×1－3=0.∵抛物线y=x2＋2x－3的对称轴为直线x=－=－1，设点A(1，0)关于这条对称轴的对称点的坐标为(a，0)，∴=－1，解得a=－3，故点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(－3，0). 4. B　【解析】∵二次函数y=ax2－4x＋c的图象开口方向向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∴顶点在x轴的上方，∵－=－=＜0，∴抛物线的顶点位于第二象限. 5. C　【解析】当x=0时，y=m2－1.∵m＞1，∴y=m2－1＞0，∴函数图象与y轴的交点应在y轴的正半轴，故选项D错误；y=x2－2mx＋m2－1=(x－m)2－1，函数图象的对称轴为直线x=m，∵m＞1，∴选项A错误；当x=m时，函数值为y=－1，∴选项B错误，选项C正确. 6. A 7. D　【解析】将(0，0)的坐标代入二次函数y=ax2＋bx＋c中，得c=0，∴二次函数的表达式为y=ax2＋bx.将(－2，－8)，(3，－3)代入y=ax2＋bx中，得解得∴二次函数的表达式为y=－x2＋2x，∴该二次函数的图象开口向下，故A选项错误；∴该二次函数图象的对称轴为直线x=－=1，故D选项正确；∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，故B选项错误；该二次函数的图象经过第一、三、四象限，故C选项错误. 8. A　【解析】∵抛物线的函数表达式为y=3x2＋bx＋1，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－=－，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当x=0时，y=1，∴抛物线过点(0，1)，∵3＜b＜4，∴－＜－＜－.∵=－＞－，=－1＜－，∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于点B(1，y2)到对称轴的距离，∴1＜y1＜y2. 9. D　【解析】∵二次函数y=ax2－2ax＋a－3=a(x－1)2－3，∴顶点坐标为(1，－3).∵二次函数y=ax2－2ax＋a－3的图象与x轴有两个交点，∴二次函数图象开口向上，即a＞0，故A选项错误；∴二次函数有最小值，为－3，故C选项错误；由顶点坐标(1，－3)及a＞0，易得当x＜1时，y的值随x值的增大而减小，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故B选项错误；∵二次函数y=ax2－2ax＋a－3的图象与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴当x=0时，y＜0.∵对称轴为直线x=1，∴当x=2时，y＜0，故D选项正确. 10. C　【解析】由题意可知，抛物线开口向上，故a＞0，∵抛物线对称轴在x轴正半轴，故－＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故A选项错误；由题图可得抛物线对称轴在直线x=1左侧，∴－＜1，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故B选项错误；由图象可知，当x=2时，y=0，∴4a＋2b＋c=0，∴c=－4a－2b，∴2b－c=2b＋4a＋2b=4(a＋b)，由题图可得抛物线对称轴在直线x=右侧，∴－＞，∴a＋b＜0，∴2b－c＜0，故C选项正确；由图象可知，当x=－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，故D选项错误. 11. 增大 12. －2＜b＜4　【解析】∵二次函数y=x2－2x－3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∴A(4，y1)关于对称轴对称的点坐标为(－2，y1).∵点A(4，y1)，B(b，y2)在抛物线上，且y1＞y2，∴b的取值范围为－2＜b＜4. 13. c＞　【解析】∵抛物线y=x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，∴Δ=1－4c＜0，∴c＞. 14. ＜　【解析】由抛物线经过点A(－4，1)，B(2，1)知抛物线对称轴为直线x=－1，且a＜0，∴离对称轴水平距离越小，对应函数值越大，∴y1＜y2. 15. 4　【解析】∵当x=0时，y=3，点C(2，3)在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线x==1.∵点B到对称轴直线x=1的距离为2，∴点A(－1，0)，∴AB=4. 16. 4　【解析】由题可知抛物线的对称轴为直线x=2，当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，即当3≤x≤m时，y随x的增大而增大，∴x=m时取得最大值，∴m2－4m＋1=1，解得m=0(舍去)或m=4，∴m=4. 17. (1)解：∵二次函数y=x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， ∴=2a2－4a＋2＜2a2， 解得a＞； (2)解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ=4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)=－8a2＋16a－8=－8(a－1)2≥0， ∴8(a－1)2≤0， 又∵8(a－1)2≥0， ∴8(a－1)2=0， 解得a=1； (3)证明：∵当x=0时，y=3a2－2a＋3=3(a－)2＋＞0， ∴二次函数的图象不经过原点. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $