2026年九年级数学中考总复习：二次函数图象及性质

二次函数图象及性质

一、核心知识点梳理

（一）定义与解析式

二次函数定义：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0）的函数，叫做二次函数。其中 x 是自变量，y 是因变量，自变量 x 的最高次数为 2。

三种常见解析式及转化：

一般式：y=ax2+bx+c（ a≠0），适用于已知任意三点坐标求解析式；

顶点式：y=a(x−h)2+k（ a≠0），其中 (h,k) 是抛物线的顶点坐标，适用于已知顶点、对称轴或最值求解析式；

交点式（两根式）：y=a(x−x1)(x−x2)（ a≠0），其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标，适用于已知抛物线与 x 轴交点求解析式

自变量取值范围：一般情况下可取全体实数；若涉及实际问题（如面积、利润、高度等），需结合实际意义限定取值（如长度为正、时间非负等）。

（二）图象与画法

图象形状：二次函数的图象是一条抛物线，具有对称性，对称轴是抛物线的 “对称轴”，顶点是抛物线的最高点或最低点。

图象开口方向与 a 的关系：

当 a>0 时，抛物线开口向上，有最低点（顶点），函数有最小值；

当 a<0 时，抛物线开口向下，有最高点（顶点），函数有最大值；

∣a∣ 越大，抛物线开口越陡峭；∣a∣ 越小，抛物线开口越平缓。

对称轴、顶点坐标求解：

对称轴：一般式中，对称轴为直线 x=−​；顶点式中，对称轴为直线 x=h；

顶点坐标：一般式中，顶点横坐标为−​，纵坐标代入解析式求得，即 (−,​)；顶点式中，顶点坐标为 (h,k)。

描点法画图步骤：① 确定对称轴、顶点坐标；② 选取对称轴两侧对称的点（如与 y 轴交点 (0,c)、与 x 轴交点，或对称轴两侧的整数点）；③ 精准描点，用平滑曲线连接，形成抛物线（实际问题需根据取值范围截取部分图象）。

（三）核心性质（围绕 a、b、c 及顶点、对称轴）

增减性（中考基础题高频）：

当 a>0 时，在对称轴左侧（x<−），y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（x>−），y 随 x 的增大而增大；

当 a<0 时，在对称轴左侧（x−），y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧（x>−），y 随 x 的增大而减小。

最值：

当 a>0 时，函数在顶点处取得最小值，最小（或 k）；

当 a<0 时，函数在顶点处取得最大值，最大（或 k）；

若有自变量取值范围限制，需结合取值范围与对称轴的位置，判断最值在顶点或端点处取得。

a、b、c 的几何意义：

a：决定开口方向和开口大小（如上述）；

b：与 a 共同决定对称轴位置（“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧，a、b 同号；对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号；对称轴为 y 轴，b=0）；

c：抛物线与 y 轴交点的纵坐标（交点坐标为 (0,c)），c>0 交正半轴，c<0 交负半轴，c=0 过原点。

二、易错点辨析（中考高频易错，规避丢分）

忽视二次项系数限制：忘记 a≠0 的前提，判断函数类型时误将 a=0 的情况归为二次函数。

对称轴公式记错：混淆对称轴公式 x=−​，符号出错（常见漏写负号）。

顶点坐标计算错误：一般式求顶点纵坐标时，误用公式 （符号颠倒），或代入解析式时计算失误。

“左同右异” 理解偏差：判断对称轴位置时，混淆 a、b 符号关系，导致对称轴方向判断错误。

最值求解忽略自变量范围：仅默认顶点为最值点，未结合实际问题中自变量的取值范围，导致最值计算错误（如自变量范围在对称轴一侧，最值在端点处）。

数形结合误区：求解不等式解集时，未结合开口方向，直接根据 “上下方” 确定解集，导致方向颠倒。

解析式转化失误：顶点式、交点式转化为一般式时，展开或整理过程中符号出错、漏项。

三、同步练习

1．二次函数的图象的顶点坐标是( )

A.  B.  C.  D.

2．已知二次函数，则该二次函数图象的对称轴为( )

A. 直线                       B. 直线 

C. 直线                       D. 直线

3．已知点在抛物线上，则点关于抛物线对称轴的对称点坐标

是( )

A.  B.  C.  D.

4．若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则抛物线的顶点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5．关于的二次函数的图象可能是( )

           

          B.            C.           D.

6．二次函数为常数图象的顶点的纵坐标的最大值为( )

A.  B.  C.  D.

7．已知一个二次函数

的自变量与函数的几组对应值如下表：

则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )

A. 图象的开口向上

B. 当时，的值随值的增大而减小

C. 图象经过第二、三、四象限

D. 图象的对称轴是直线

8．已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是( )

A.  B.  C.  D.

9．(2025陕西）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )

A. 图象的开口向下

B. 当时，的值随值的增大而增大

C. 函数的最小值小于

D. 当时，

10．已知二次函数的图象如图所示，则( )

A.  B.

C.  D.