2026年中考数学一轮复习讲义：一次函数图象及性质

该初中数学讲义聚焦一次函数图象及性质中考核心考点，系统梳理定义、图象、性质、解析式求解及与方程不等式关系等知识模块，构建“知识点-易错点-应用”逻辑链条。通过考点分层梳理、易错点精准辨析、同步真题训练三维教学环节，帮助学生突破象限判断、待定系数法等难点，体现复习的系统性与针对性。 特色在于“口诀化记忆+模型化应用”教学策略，如用“k正上右升，k负上右降”口诀突破图象象限判断，结合待定系数法规范步骤培养数学思维。设基础到提升分层练习，配套真题详解与即时反馈，助力学生高效掌握数形结合思想，提升应用意识，教师可依此把控复习节奏，实现精准提分。

一次函数图象及性质 一、核心知识点梳理 （一）定义与解析式 一次函数定义：一般地，形如 y = kx + b（k、b 为常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。其中 x 是自变量，y 是因变量，自变量 x 的最高次数为 1。 正比例函数：当 b = 0 时，一次函数化为 y = kx（k ≠ 0），叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数，其图象必过坐标原点 (0,0)。 自变量取值范围：一般情况下可取全体实数；若涉及实际问题（如路程、人数、长度、时间等），需结合实际意义限定取值（如 x > 0、正整数、取值区间等），确保符合现实逻辑。 （二）图象与画法 图象形状：一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，因此一次函数也称为 “线性函数”；正比例函数 y = kx 的图象是过原点 (0,0) 的特殊直线。 图象分布规律（核心考点，中考高频）： 当 k > 0 时，直线从左到右呈上升趋势，必过第一、三象限； 当 k < 0 时，直线从左到右呈下降趋势，必过第二、四象限； 当 b > 0 时，直线与 y 轴交于 x 轴上方（y 轴正半轴），进一步锁定象限（如 k>0 时过一、二、三象限）； 当 b <0 时，直线与 y 轴交于 x 轴下方（y 轴负半轴），同理锁定象限（如 k>0 时过一、三、四象限）； 当 b = 0 时，直线过原点，仅由 k 的符号决定象限（k>0 过一、三象限，k<0 过二、四象限）。 描点法画图步骤：① 确定自变量取值范围（实际问题需标注限制条件）；② 选取 2-3 个特殊点（优先选与坐标轴交点：与 y 轴交点 (0,b)，与 x 轴交点 (-b/k, 0)，正比例函数可加选 (1,k)、(-1,-k) 简化画图）；③ 精准描点，用直尺连接成直线（实际问题需根据取值范围截取线段或射线，取不到的端点画空心，可取的画实心）。 （三）核心性质（围绕 k、b 的几何意义） k 的双重意义：① 决定直线增减性（与图象分布规律一致）；② 表示直线的 “倾斜程度”，|k| 越大，直线越陡峭；|k| 越小，直线越平缓；同一坐标系中，k 相等的直线倾斜方向相同。 b 的几何意义：直线与 y 轴交点的纵坐标，即纵截距，仅决定直线在 y 轴上的位置，不影响直线倾斜方向和增减性。 增减性细分（中考基础题高频）： k > 0 时，y 随 x 的增大而增大，且在全体实数范围内单调递增； k < 0 时，y 随 x 的增大而减小，且在全体实数范围内单调递减。 两直线的位置关系（中考中档题高频，常结合解析式求解）： 平行：两条直线 y = k₁x + b₁ 与 y = k₂x + b₂，若 k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂，则两直线平行，无交点； 重合：若 k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂，则两直线重合，有无数个交点； 相交：若 k₁ ≠ k₂，则两直线必相交，交点坐标可通过联立两函数解析式组成方程组求解。 （四）解析式求解（待定系数法，中考必考点） 核心思路：函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，利用这一性质代入点的坐标，建立方程（组）求解 k、b 的值。 规范步骤：① 设解析式（一次函数设 y = kx + b，正比例函数设 y = kx，注明 k ≠ 0）；② 代入图象上 2 个不同点的坐标（正比例函数只需代入 1 个非原点坐标，避免无解），列二元一次方程组；③ 解方程组求出 k、b 的具体值；④ 将 k、b 代入所设解析式，验证后写出最终表达式。 （五）与方程、不等式的关系（数形结合核心考点） 与一元一次方程的关系：直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标，即为一元一次方程 kx + b = 0 的解；反之，方程 kx + b = 0 的解对应直线与 x 轴的交点横坐标。 与一元一次不等式的关系：① 不等式 kx + b > 0 的解集，对应直线在 x 轴上方所有点的横坐标取值范围；② 不等式 kx + b < 0 的解集，对应直线在 x 轴下方所有点的横坐标取值范围；③ 结合 k 的增减性可快速确定解集，无需画图验证。 二、易错点辨析（中考高频易错，规避丢分） 概念混淆：误将正比例函数与一次函数割裂，忽略 “正比例函数是特殊的一次函数”（b = 0 是关键条件）；同时注意 y = 3（常数函数）、y = x²（二次函数）均不属于一次函数。 图象判断失误：仅根据 k 或 b 单一条件判断象限，如 k <0、b> 0 时直线过第二、一、四象限，切勿漏判；牢记口诀：k 正上右升，k 负上右降；b 正交上，b 负交下，b 零过原点，双重条件锁定象限。 待定系数法用错：求一次函数解析式时仅代入 1 个点，无法确定 2 个未知数；或代入原点求正比例函数解析式，导致结果不唯一，需牢记 “两点定一线” 原则。 忽视实际取值范围：解决实际问题时，仅画出完整直线，未根据题意截取线段 / 射线（如时间、售价不能为负，人数为正整数），导致图象与实际不符，影响后续求解。 两直线平行条件遗漏：仅判断 k₁ = k₂ 就认定两直线平行，忽略 b₁ ≠ b₂（若 b₁ = b₂ 则两直线重合，非平行）；相交条件仅需 k₁ ≠ k₂，无需额外限制 b。 数形结合误区：求解不等式解集时，混淆 “直线上下方” 与 x 取值范围的对应关系，需结合 k 的增减性验证，避免解集反向。 三、同步练习 1．下列函数中，是正比例函数的是( ) A. B. C. D. 2．已知一次函数的图象经过点，则( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是( ) B. C. D. 4．一个正比例函数的图象经过点和点.若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为( ) A. B. C. D. 5．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是( ) A. B. C. D. 6．在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是( ) A. B. C. D. 7．如图，一次函数的图象经过平面直角坐标系中四个点，，，中的任意两个，则使值最大的一次函数的图象经过的两点为( ) A. 点， B. 点， C. 点， D. 点， 8．已知一次函数，随的增大而增大.写出一个符合条件的的值是 . 9．过，两点画一次函数的图象，已知点的坐标为，则点的坐标可以为 (填一个符合要求的点的坐标即可)． 10．已知直线与直线交于点，若点的横坐标为3，则关于的不等式的解集为 ． 11．已知点，都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是 . 12．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 .(写出一个即可) 13．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，若，则关于的方程的解为 . 14．如图，直线的表达式为，且与轴交于点，与轴交于点，直线过点且与垂直交轴于点，则点的坐标为 . 参考答案 1. D　【解析】A.y=3x＋1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；B.y=3x2是二次函数，故不符合题意；C.y=是反比例函数，故不符合题意；D.y=是正比例函数，故符合题意. 2. D　【解析】∵一次函数y=－x＋b的图象经过点P(4，3)，∴将x=4，y=3代入表达式中得3=－4＋b，解得b=7. 3. B　【解析】当a＞0时，正比例函数y=－ax的图象经过第二、四象限且过原点，一次函数y=x＋a的图象经过第一、二、三象限，B选项符合；当a＜0时，正比例函数y=－ax的图象经过第一、三象限且过原点，一次函数y=x＋a的图象经过第一、三、四象限，没有符合的选项. 4. A　【解析】∵点A和点B关于原点对称，∴2=－n，m=－(－6)，∴n=－2，m=6，∴A(2，6)，B(－2，－6).设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0).将A(2，6)的坐标代入y=kx中，得6=2k，解得k=3，∴这个正比例函数的表达式为y=3x. 5. D　【解析】∵一次函数y随x的增大而增大，∴当x＜1时，y＜2，故A，C选项不符合题意；当x＞1时，y＞2，故B选项不符合题意，D选项符合题意. 6. B　【解析】设过点(1，0)，(0，2)的直线表达式为y=kx＋b，则解得所以直线的表达式为y=－2x＋2，则向上平移3个单位长度后，所得直线的表达式为y=－2x＋5，显然只有B选项符合题意. 7. D　【解析】如解图，∵y=kx＋b(k≠0)是一次函数，∴可以经过的直线有AB，AC，BC，BD.∵直线BC，BD经过第一、二、四象限，∴此时k＜0.∵直线AB经过第一、二、三象限，直线AC经过第一、三、四象限，∴此时k＞0，∵直线AC与x轴的夹角大于直线AB与x轴的夹角，∴当直线经过点A，C时，k值最大. 第7题解图 8. 2(答案不唯一)　【解析】∵一次函数y=kx＋b中y随x的增大而增大，∴k＞0，故可取k=2. 9. (1，1)(答案不唯一)　【解析】当x=1时，y=－1×1＋2=1，∴点B的坐标可以为(1，1). 10. x＞3　【解析】∵直线y=x＋m中，k=1＞0，∴y随x的增大而增大，直线y=－2x＋n中，k=－2＜0，∴y随x的增大而减小.∵点A的横坐标为3，∴关于x的不等式x＋m＞－2x＋n的解集为x＞3. 11. y1＜y2　【解析】∵在一次函数y=3x＋4中，k=3＞0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2. 12. 2　【解析】将直线y=3x－1向上平移m个单位长度得y=3x－1＋m.∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限 ， ∴－1＋m＞0，解得m＞1，∴m的值大于1即可. 13. x=－3 14. (0，－1)　 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $