第四章 指对幂函数 期末知识点与题型专项复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学讲义以指对幂函数为核心，通过表格对比指数与对数函数性质、图像分析不同底数函数位置关系等工具，系统梳理根式、指数幂运算、函数图像与性质等知识点，构建“概念-运算-应用”递进知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于题型分层设计，涵盖指数运算基础题、指数函数图像判断与单调性求参数等综合题，通过定义法证明单调性培养数学思维，符号运算训练数学语言表达。基础题巩固知识，解答题提升综合应用能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供系统支持。

第四章 指对幂函数期末知识点与题型专项复习 1.指数运算 知识点一　根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a，当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二　分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 知识点三　指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 2.指数函数 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 3.对数运算 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． 4.对数函数 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． 5.幂函数 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 题型1 指数运算 1．（25-26高一上·山东枣庄·月考）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江衢州·期中）若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 题型2 指数函数题型汇总（图像 定点 单调性 求参数） 4．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 5．（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（    ）． A．B．C．D． 7．（25-26高一上·北京·月考）为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 8．（25-26高一上·山西运城·月考）函数的部分图象大致为（   ） A． B．C．D． 9．（25-26高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·期末）设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 11．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·江西·月考）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·山东泰安·月考）函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 15．（25-26高一上·福建厦门·月考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知的最小值为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型3 对数运算 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·安徽·期中）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 题型4 对数函数题型汇总（图像 定点 单调性 比大小 求参数） 20．（25-26高一上·重庆江北·月考）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 21．（25-26高一上·重庆·月考）若函数，且的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·上海·月考）已知（且），若函数在上是严格减函数，则（   ） A．在上是严格减函数，在上是严格增函数. B．在上是严格增函数，在上是严格减函数. C．在上是严格增函数，在上是严格增函数. D．在上是严格减函数，在上是严格减函数. 26．（25-26高一上·河北廊坊·月考）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·河南·月考）函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·云南昆明·月考）函数 (，)的图象经过定点，则点坐标是（ ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·河南安阳·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C．D． 31．（21-22高一上·江西九江·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 32．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·山西运城·月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（17-18高一上·四川·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 37．（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·陕西西安·月考）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 题型5 对数函数题型汇总（图像 单调性 比大小 求参数） 39．（25-26高一上·重庆·月考）已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·湖北·月考）幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A．4或 B． C．或1 D． 41．（25-26高一上·四川成都·月考）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 42．（2025高一·上海·专题练习）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 44．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（    ）. A．且 B． C．且 D． 45．（25-26高一上·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 题型6 指对幂解答题题型汇总 46．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求满足的实数的取值范围. 47．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且. (1)求函数、的解析式； (2)若对任意的恒成立，求k的取值范围； (3)设，，对于，都，使得，求实数m的取值范围. 48．（25-26高一上·福建莆田·月考）（1）计算：； （2）已知，求的值. 49．（25-26高一上·安徽合肥·月考）（1）计算： （2） 计算： 50．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数， (1)求函数定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 51．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 52．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数（且）在上的最大值为4，集合. (1)求实数的值； (2)请用区间的形式表示集合A； (3)若，对，都，使得，求实数的取值范围. 53．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)求满足不等式的的取值范围． 54．（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指对幂函数期末知识点与题型专项复习 1.指数运算 知识点一　根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a，当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二　分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 知识点三　指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 2.指数函数 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 3.对数运算 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． 4.对数函数 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． 5.幂函数 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 题型1 指数运算 1．（25-26高一上·山东枣庄·月考）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 2．（25-26高一上·浙江衢州·期中）若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】由完全平方公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式的运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 题型2 指数函数题型汇总（图像 定点 单调性 求参数） 4．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴， 故选：A. 5．（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定答案. 【详解】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：C 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（    ）． A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由特殊点函数值即可判断. 【详解】因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 7．（25-26高一上·北京·月考）为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【分析】化简函数，由函数图象的平移得到答案. 【详解】， ∴将函数的图象上的所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到函数的图象， 故选：A 8．（25-26高一上·山西运城·月考）函数的部分图象大致为（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】确定函数的奇偶性排除B；由可得排除D；利用函数单调性定义确定在上的单调性排除C即可. 【详解】函数的定义域为R， ， 则函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，，排除D； 任取，则，， ，而，因此， 即，则函数在上单调递增，排除C，A符合题意. 故选：A 9．（25-26高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象过定点即可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点, 令，可得， 即函数的图象恒过定点， 故选：D 10．（25-26高一上·全国·期末）设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值． 【详解】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 故选：A． 11．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论、、、，结合一次函数、指数函数的单调性判断的单调性、值域，结合存在最小值确定参数范围. 【详解】当时，在上单调递减，最小值为， 此时在上单调递增且值域为，在上单调递减， 所以在上单调递减，则， 所以，即时，存在最小值， 当时，在上单调递减，最小值为， 此时在上单调递增且值域为，在上单调递增， 所以在上单调递增，则， 所以，即时，存在最小值， 当时，在上为常数函数， 此时在上单调递增且值域为，在上单调递增， 所以在上单调递增，则，显然无最小值， 当时，在上单调递增， 当时，，显然不可能存在最小值， 综上，存在最小值，则. 故选：D 12．（25-26高一上·江西·月考）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且在其定义域内单调递增， 的单调递减区间为. 故选：C 13．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析已知函数的奇偶性及单调性，再利用性质求解题设不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 由，可知函数是奇函数， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 故不等式， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 14．（25-26高一上·山东泰安·月考）函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】根据题意，求得函数的定义域为，结合二次函数的单调性与复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，则满足， 即，解得，即函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，且对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为在定义域上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 15．（25-26高一上·福建厦门·月考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C 16．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性，利用分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 由指数函数易知在上单调递增. 由题意可得，即，解得. 故选：D. 17．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知的最小值为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时，由对勾函数的性质得到的最小值为2，然后时，由的最小值不小于2求解. 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2； 当时，， 令，则， 在上单调递减，所以当时，取得最小值， 由题意得，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 题型3 对数运算 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式换成以为底的形式，再拆分分子分母的对数结合对数运算法则,化为已知和的组合. 【详解】已知， . 故选：B 19．（24-25高一上·安徽·期中）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 题型4 对数函数题型汇总（图像 定点 单调性 比大小 求参数） 20．（25-26高一上·重庆江北·月考）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数的奇偶性及的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为， ，函数是偶函数，图象关于轴对称，排除D， 而，排除BC，A选项符合题意. 故选：A 21．（25-26高一上·重庆·月考）若函数，且的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选 ：B 22．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数解析式作图，利用换元法整理方程，图像分情况讨论方程的根取值范围，并建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数可作图如下： 令，且， 令，由恒成立， 则方程，必存在两个实数根，由题意可得或， 当时，由图可知方程存在个根，方程存在个根，符合题意， 此时可得，即，可得无解； 当时，由图可知方程或分别存在个根，符合题意， 此时可得，即，解得； 当时，由图可知方程或分别存在个根，符合题意， 此时可得，即，解得； 当时，由图可知方程存在个根，方程存在个根，符合题意， 此时可得，即，可得无解. 综上所述，的取值范围为或. 故选：A. 23．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较. 【详解】因为，，， 所以， 故选：B 24．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是单调递减函数，是单调递增函数，判断分析即可． 【详解】由于，故在R上是单调递减函数，且， 故，即， 又在上是单调递增函数，且 故， 故. 故选：C 25．（25-26高一上·上海·月考）已知（且），若函数在上是严格减函数，则（   ） A．在上是严格减函数，在上是严格增函数. B．在上是严格增函数，在上是严格减函数. C．在上是严格增函数，在上是严格增函数. D．在上是严格减函数，在上是严格减函数. 【答案】A 【分析】根据给定的函数及单调性，结合对数函数、复合函数单调性求出的范围，再确定该函数在的单调性. 【详解】当时，， 函数在上是严格增函数，而函数在上是严格减函数， 则函数在上是严格减函数，因此， 当时，， 函数在上是严格增函数，则函数在上是严格减函数，排除BC； 当时，， 函数在上是严格减函数，而函数在上是严格减函数， 因此函数在上是严格增函数，排除D，A符合题意. 故选：A 26．（25-26高一上·河北廊坊·月考）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出在内的最小值，利用对数函数的单调性求出在的最小值，根据题意可得，计算得解. 【详解】，， ，， 当且仅当时，即，时，等号成立， ，，， ，， ，，， ，，， ，，使得， ， ，， ，，实数的取值范围是. 故答案为：D. 27．（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 28．（25-26高一上·河南·月考）函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数恒过定点这一性质，令函数的真数为1，求出此时的值，并求出取此值时的函数值，即可得函数的图象经过的定点坐标. 【详解】因为对数函数恒过定点， 所以对于函数，令，解得， 当时，， 所以函数的图象经过的定点坐标为. 故选：C 29．（25-26高一上·云南昆明·月考）函数 (，)的图象经过定点，则点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求得正确答案. 【详解】由，解得，， 所以. 故答案为：B 30．（25-26高一上·河南安阳·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数、对数函数的性质分析判断即可. 【详解】函数在定义域内单调递减，值域为，且过点，可知C错误； 函数在定义域内单调递增，值域为，且过点，可知BD错误； 故选：A. 31．（21-22高一上·江西九江·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值的符号排除A、B、D，即得正确选项. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 32．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒大于0列式求解. 【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 33．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性，将不等式转化为关于自变量绝对值的不等式，进而求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 原不等式可转化为， 已知在上单调递减，故， 故或， 当时，解得； 当时，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 34．（25-26高一上·山西运城·月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，转化为内层函数在上单调递增，且，即可求解. 【详解】函数由，构成， 外层函数在是减函数， 则由函数在上单调递减， 则内层函数在上单调递增，且函数值大于0， 所以，得， 所以 取值范围是. 故选：C 35．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性得出的单调性，再利用对数函数、分段函数的单调性求解. 【详解】因为在上单调递减，所以是R上的单调递减函数， 所以且，得， 故实数a的取值范围是. 故选：B 36．（17-18高一上·四川·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判断方法直接判断即可. 【详解】令，得或， 设，或，， 则函数，或，在上单调递减，在上单调递增， 又为减函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 37．（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 38．（25-26高一上·陕西西安·月考）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出的反函数，将点代入反函数的解析式求出，进而确定的解析式，即可求出. 【详解】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 题型5 对数函数题型汇总（图像 单调性 比大小 求参数） 39．（25-26高一上·重庆·月考）已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】由题可得，解得或， 又在区间上单调递增，所以，故， 所以过定点. 故选：B. 40．（25-26高一上·湖北·月考）幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A．4或 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或， 当时，，满足函数在区间是减函数， 当时，，满足函数在区间是减函数. 故选：C 41．（25-26高一上·四川成都·月考）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 42．（2025高一·上海·专题练习）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知： 或3， 又，故在单调递减，故， 所以， 则或或， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 43．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果． 【分析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 44．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（    ）. A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】由条件确定的值，研究幂函数的定义域，奇偶性及在上的单调性，利用单调性解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，即，解得. 因为，所以的可能取值为1，2. 因为幂函数为偶函数，须满足指数为偶数. 当时，，是偶数，符合条件； 当时，，是奇数，不符合条件， 所以，所以不等式为①. 因为幂函数的定义域为， 且对于定义域内的任意，都有， 所以幂函数是偶函数，且在上单调递减. 所以①式可化为②， 将两边平方可得， 即，即，解得， 所以②式为，解得且， 故选：C 45．（25-26高一上·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数及其区间单调性得，不等式为，再解不等式求参数范围. 【详解】由题设，则，可得， 由，即，则， 所以. 故选：B 题型6 指对幂解答题题型汇总 46．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值； （2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； （2）在上单调递减，理由如下： 任取，则， ，，，且， ，即， 所以函数在区间上单调递减； （3）由于函数且该函数为奇函数且该函数在区间上为减函数， 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得且， 因此，满足不等式的实数的取值范围是. 47．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且. (1)求函数、的解析式； (2)若对任意的恒成立，求k的取值范围； (3)设，，对于，都，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据奇偶性得，结合，求得函数、的解析式； （2）结合指数函数的单调性可得在上单调递增，然后利用的奇函数性质和单调递增将不等式恒成立转化为对任意恒成立，利用判别式法求解k的取值范围即可； （3）利用指数函数的单调性求得时，；利用换元法求得的最小值，然后两函数值域关系列不等式即可求解. 【详解】（1）由题设，，又， 所以两式相加可得，两式相减可得； （2）由得， 因为是奇函数，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 故原问题可化为，即对任意恒成立， 所以，解得. （3）时，， 又，故， 时，， 令，则， 则， 由，都，使得，只需，即. 48．（25-26高一上·福建莆田·月考）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）2. 【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则得到答案； （2）指数式化为对数式，并利用换底公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2），故， 故 . 49．（25-26高一上·安徽合肥·月考）（1）计算： （2） 计算： 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据指数幂的运算公式和运算性质，即可求解； （2）根据对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】（1） （2） 50．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数， (1)求函数定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. （2）函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. （3）依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 51．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为； (3). 【分析】（1）分和两种情况分析函数单调性即可求解； （2）由（1）单调性结合对数函数定义即可求解； （3）由（1）单调性结合对数函数定义域即可解不等式. 【详解】（1）当时，函数为减函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的减函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，所以符合题意； 当时，函数为增函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的增函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，不符合； 综上，； （2）由（1）可得函数为减函数， 令， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间； （3）由（1）可得函数为减函数， 则令. 所以解集为. 52．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数（且）在上的最大值为4，集合. (1)求实数的值； (2)请用区间的形式表示集合A； (3)若，对，都，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过换元，先求得的范围，通过对和讨论确定的值; （2）的值代入，利用对数函数的单调性求值域即可得解； （3）通过换元，，构造，将问题转化为：的最小值在上的最小值，分类讨论即可得解. 【详解】（1）令，，则在上单调递增，故， 故的最大值为4， ①时，单调递减，故，此时无符合条件的； ②时，单调递增，，此时. 综上，. （2）， 时，单调递增，， ，， 故 （3）易知， 的最小值在上的最小值，因为的最小值为1，则. 令，时，，由对勾函数性质，. 则，. 对称轴， ①时，在上单调递增，，故，解得：， 不符合题意. ②时，，故 ，解得：， 所以. ③时，在上单调递减，. 故，解得：， 所以， 综上，的取值范围是 53．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得，结合幂函数的性质即可求得的值； （2）根据（1）的结论，可得，解不等式可得答案. 【详解】（1）解：∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）解：由（1）得，，∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 54．（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，然后按照函数奇偶性的定义判断即可；     （2）先利用奇偶性化简得，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得，       则，其定义域为.       因为，所以为奇函数. （2）由，可得. 而在上单调递减且恒负，在上单调递减且恒正， 所以或或，解得或. 故的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $