2025-2026学年沪科版八年级数学上册《第15章轴对称与等腰三角形》期末综合复习训练题

2025-2026学年沪科版八年级数学上册《第15章轴对称与等腰三角形》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．为了实现“村村通数字网络”，移动公司对相邻的、、、四村进行了测量．如图所示，在中，，是边上的高，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（    ） A．70°． B．60° C．55° D．40° 5．如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值为（    ） A．5 B．6 C．17 D．18 7．如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 8．已知点与点关于y轴对称，则 ． 9．已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为 ． 10．如图，平分，，，，，垂足为D，则 ． 11．如图，四边形中，，面积为12且的长为6，则的面积为 ． 12．如图，将斜边长相等的两块三角板按如图所示摆放，连接，，，，则 ． 13．如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则 ，若，则的长为 ． 14．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于，于，过作交于，连接，有如下结论：①，②，③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 16．如图，在平面直角坐标系中，按下列要求作图． (1)画出关于y轴对称的图形（点A、B、C分别对应）； (2)的面积= ； (3)请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小，画出点P并写出P点坐标_________． 17．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 18．如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，是的边上的高，，求的长． 19．已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点E，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，作的平分线，与边相交于点，请直接写出，，之间的数量关系____________． 20．【综合与探究】如图1，已知是边长为3的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰．分别在边、上取点M、N，使． (1)小宛猜想是的平分线，作了如下思考，如图2，延长至F，使，连接，通过证明________，得到，再证明________，即可得到是的平分线； (2)请结合小宛的思路，完整证明他的猜想，并求出的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D的图形都符合轴对称图形的定义，故不符合题意； C的图形不符合轴对称图形的定义，故符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，特别是含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，从而来判断各选项的正确性． 【详解】解：在中，，则是直角三角形， ， 是边上的高， ， ， ， ，， 故选． 3．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理；由可得，再由折叠的性质可得，然后根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解． 【详解】解：∵的周长为， ∴的周长， ∵垂直平分交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，找到取得最小值的条件是解题的关键；结合等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质得，当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小即可求解. 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，是中线， 垂直平分， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，值最小， 即的值最小． ∵是等边三角形，，， ，即的最小值是6． 故选：B． 7．A 【分析】先根据等腰三角形定义与，可证明，得，可判定①正确；②正确；设与交于点G，结合，运用三角形外角性质推出，可判定③正确；过点O作于点E，于点F，由，，得，得，得平分．可判定④正确． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 设与交于点G， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 过点O作于点E，于点F，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴平分．点O在的平分线上． 故④正确，符合题意， ∴正确的结论有4个； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，是解题的关键． 8．5 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征是解题的关键；利用关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，解得． 故答案为5． 9．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握这些知识并分类讨论是关键；分两种情况讨论：当是底角的外角时，底角为；当是顶角的外角时，底角为． 【详解】解：当底角的外角为时，底角； 当顶角的外角为时，底角． 故答案为或． 10．2 【详解】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点E，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得． 【解答】解：如图，过点作于点，    ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， ∴． 故答案为：2． 11．6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 作于点，交的延长线于点，则，可得，，，由面积关系求得，进而求得；再证明 ，得，即可求得的面积． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， ， ，，， ， ，且， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：6． 12．/30度 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． 在上截取，由已知条件可得，，证明，得到，，设，求出，得到，根据三角形内角和定理计算即可 【详解】解：如图，在上截取， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴． 故答案为：． 13． 2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、折叠的性质，由题意可得，由角平分线的定义可得，由折叠的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出的度数，延长和延长线相交于点，证明，得出，从而可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵将沿翻折，点E的对应点为， ∴，， ∴， ∴； 如图，延长和延长线相交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 14．①②③④ 【分析】①根据余角的性质即可判断①正确；②证明，得出，，，证明，得出，即可得出答案，根据等腰三角形的判定，可以得出结论，判断②正确；③证明，得出，证明，得出，根据平行线的判定即可判断③正确；④连接，证明，得出，根据，，即可判断④正确． 【详解】解：①∵在中，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的性质说明，再结合线段中点的意义说明，然后根据角平分线判断得出结论； （2）先根据分别证明，，分别得出，，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴ 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，全等的性质和综合（），角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 16．(1)图见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】此题主要考查了轴对称变换和平移变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点连线即可； （2）根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积解答即可； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出点P位置，求出所在直线表达式为，进而求出点P坐标． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：连接交y轴于点P， 此时，即满足线段的值最小， 设所在直线表达式为， 把代入， ，解得：， 所在直线表达式为， 当时，， ． 17．(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，从而可得； （2）先证明平分，再根据角平分线的性质求出，然后根据，得出，从而可根据三线合一得出平分，进而可说明，从而可得，均为等腰直角三角形，于是有，从而可求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 在与中， ∴ ∴． （2）过点作，垂足为． 由（1）知，， ∵， ∴， ∴平分． ∵，，， ∴． 由（1）知，， ∴， ∵， ∴平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，得出，根据，，，得出，从而得，即可证明； （2）根据，得出，设，则，则，根据三角形内角和定理求出，即可得； （3）在上取点H，使，根据作图得出，证明，得出，，再证明，即可得． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ， 设，则， ， ， ； （3）解：在上取点H，使，如图， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 20．(1)， (2)证明见解析，的周长为6 (3)的周长为3 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据题意填写即可． （2）先证明，由全等三角形的性质得出，．利用角度的和差关系进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，即可得出平分．再根据三角形的周长公式计算即可． （3）延长交于点，延长交于点，作，连接，先证明，再证明和证明，由全等三角形的性质以及等量代换求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：小宛猜想是的平分线，作了如下思考，如图2，延长至F，使，连接，通过证明 ，得到，再证明 ，即可得到是的平分线； 故答案为：， （2）解：，， ， ， ， ． ， ， ，． ，， ， ， ． ，， ， ，． 平分． ， ． 的周长为：． （3）解：延长交于点，延长交于点，作，连接，如图． 是等腰三角形，且， ，，． 是等边三角形， ， ，，， ，， 在和中，， ， ，． ，， ， 在和中，， ， ，． ，， ， ， 即， 在和中，， ， ． 的周长为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $